4.1 二元一次不等式(组)与平面区域 学案（含答案）

1、4简单线性规划4.1二元一次不等式(组)与平面区域学习目标1.会判断二元一次不等式(组)表示的平面区域.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.3.能把平面区域用不等式(组)表示.知识点一二元一次不等式表示的平面区域1.一般地，直线l：axbyc0把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足axbyc0；(2)直线l某一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标都满足axbyc0；(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标都满足axbyc1也可理解为二元一次不等式，其表示的平面区域位于直线x1右侧.()3.表示的平面区域为第一象限.()题型一二元一次不等式(组)表

2、示的平面区域命题角度1由不等式画平面区域例1画出不等式x4y4表示的平面区域.解先作出边界直线x4y4，因为这条线上的点都不满足x4y4，所以画成虚线.取原点(0,0)，代入x4y4，因为040440，所以原点(0,0)在x4y40表示的平面区域内，所以不等式x4y4表示的平面区域在直线x4y4的左下方.所以x4y0表示的平面区域在直线x2y60的()A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方答案B解析在平面直角坐标系中画出直线x2y60，观察图像(图略)知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x2y6，得00660，所以原点(0,0)在不等式x2y60表示的平面区域内，故选B.命题角度

3、2由不等式组画平面区域例2画出下列不等式组所表示的平面区域.(1)(2)解(1)x2y3，即x2y30，表示直线x2y30上及左上方的区域；xy3，即xy30，表示直线xy30上及左下方的区域；x0表示y轴及其右边区域；y0表示x轴及其上方区域.综上可知，不等式组(1)表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示.(2)xy2，即xy20，表示直线xy20左上方的区域；2xy1，即2xy10，表示直线2xy10上及右上方的区域；xy3表示直线x2y30右下方的区域，不等式x2y0表示直线x2y0上及其右上方的区域，所以原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分.题型二二元一次不等式组表示的平面区域的面

4、积例3画出不等式组所表示的平面区域，并求其面积.解如图所示，其中的阴影部分(包括边界)便是不等式组所表示的平面区域.由得A(1,3).同理得B(1,1)，C(3，1).|AC|2，而点B到直线2xy50的距离为d，SABC|AC|d26.引申探究若不等式组为求其所表示的平面区域的面积.解可将原不等式组分解成如下两个不等式组：或上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示(包括边界)，所围成的面积S42213.反思感悟平面区域面积的求法一画：求二元一次不等式组表示的平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域；二求：根据二元一次不等式组表示的平面区域的形状判断求面积的方法，若平面区域是规则图形则直接

5、利用平面图形面积公式求解，若平面区域是不规则的图形，可采用分割的方法，将平面区域分成几个规则图形求解.跟踪训练3求二元一次不等式组所表示的平面区域的面积.解原不等式组可化为在平面直角坐标系内作直线l1：x2y4000和l2：2xy5000.其中l1和y轴交于点C(0,200)，且l2与x轴交于点A(250,0)，因此不等式组表示的区域为四边形OABC，如图.由得即B(200,100)，连接OB，SOABCSOABSOBC25010020020032 500.题型三用二元一次不等式(组)表示实际问题例4某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t需耗A种矿石10 t，B种矿石5 t，煤4 t

6、；生产乙种产品1 t需耗A种矿石4 t，B种矿石4 t，煤9 t.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300 t，B种矿石不超过200 t，煤不超过360 t，那么甲、乙两种产品的生产数量应满足什么条件？用平面区域表示出来.解设生产甲、乙两种产品分别为x t，y t.则由题意得作出上面不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示.反思感悟用二元一次不等式(组)表示的平面区域来解决实际问题的关键是选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示，进而问题中的所有量都用这两个字母表示出来，再由实际问题有关的限制条件或由问题中所有量的实际意义写出所有的不等式，再把由这些不等式组成的不

7、等式组用平面区域表示出来即可.跟踪训练4一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如表所示，设厂里有工人200人，每天只能保证160 kWh的用电额度，每天用煤不得超过150 t，请画出每天甲、乙两种产品允许生产的产量范围.品种电力/kWh煤/t工人/人甲235乙852解设每天分别生产甲、乙两种产品x t和y t，生产x t甲产品和y t乙产品的用电量是(2x8y)kWh，根据条件有2x8y160；用煤量为(3x5y)t，根据条件有3x5y150；用工人数(5x2y)人，根据条件有5x2y200；另外，还有x0，y0.综上所述，x，y应满足不等式组甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示

8、的平面区域，即如图所示的阴影部分(含边界).数形结合求参数典例1已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为()A.1 B.1 C.0 D.0或1答案A解析条件表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，要使约束条件表示直角三角形区域，直线kxy0要么垂直于直线x1，要么垂直于直线xy40，k0或k1.当k0时，直线kxy0，即y0，交直线x1，xy40于点B(1,0)，C(4,0).此时约束条件表示ABC及其内部，其面积SABC|BC|AB|331.同理可验证当k1时符合题意.典例2已知不等式组表示的平面区域为D，若直线ykx1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是_.答案解

9、析由题意可得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3).则不等式组表示的平面区域为ABC及其内部.直线ykx1过点A.要把ABC分成面积相等的两部分，需过BC中点M.此时k.素养评析(1)这类问题的解决，通常利用几何意义求解平面区域，一般先作出平面图形，利用数形结合的思想方法求解.(2)数形结合的应用能力，是培养学生直观想象的数学核心素养的一大具体任务.1.不在不等式3x2y6表示的平面区域内的一个点是()A.(0,0) B.(1,1) C.(0,2) D.(2,0)答案D解析将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x2y6表示的平面区域内，故选D.

10、2.下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是()A.(0,2) B.(2,0) C.(0，2) D.(2,0)答案C3.如图中阴影部分表示的平面区域满足不等式组()A.B.C.D.答案A4.已知点(1,2)和点(3，3)在直线3xya0的两侧，则a的取值范围是()A.(1,6) B.(6,1)C.(，1)(6，) D.(，6)(1，)答案A解析由题意知，(32a)(93a)0，即(a1)(a6)0，1a6.5.(1)画出表示的平面区域；(2)画出(y2x)(x2y4)0表示的平面区域.解1.二元一次不等式(组)的一个解对应一个坐标点，解集对应点集一般形成一个平面区域.2.画边界直线.画出不等式所对应的方程表示的直线，若此区域包括边界，则直线画成实线；若不包括边界，则画成虚线(即看不等式能否取到等号).3.特殊点定域.确定边界后，只需在直线的某一侧取一特殊点(原点不在边界上时，常取原点，在边界上时，取坐标轴上的点)验证其坐标是否满足二元一次不等式，若满足不等式，则区域为特殊点所在一侧，不满足，则为另一侧.简记为“直线定界，特殊点定域”.