1.2 类比推理 课时作业（含答案）

1、1.2类比推理一、选择题1对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A一条中线上的点，但不是中心B一条垂线上的点，但不是垂心C一条角平分线上的点，但不是内心D中心2已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S，可推知扇形面积公式S扇等于()A. B.C. D不可类比3已知x0，由不等式x22，x33，我们可以得出推广结论：xn1(nN)，则a的值为()A2n Bn2 C3n Dnn4设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球

2、半径为R，四面体SABC的体积为V，则R等于()A. B.C. D.5三角形的面积为S(abc)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为()AVabcBVShCV(S1S2S3S4)r，(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)DV(abbcac)h，(h为四面体的高)二、填空题6若数列an(nN)是等差数列，则数列bn也为等差数列，类比上述性质，若数列cn是等比数列，且cn0(nN)，则有dn_也是等比数列7平面内正三角形有很多性质，如三条边相等类似地写出空间正四面体的两条性质：_；_.8类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”

3、的定义，并解答下列问题：已知数列an是等和数列，且a12，公和为5，那么a18_，这个数列的前n项和Sn的计算公式为_9已知结论：“在三边长都相等的ABC中，若D是BC的中点，G是ABC外接圆的圆心，则2”若把该结论推广到空间，则有结论：在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则_.”三、解答题10就任一等差数列an，计算a7a10和a8a9，a10a40和a20a30，你发现了什么一般规律？能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系角度分析这个问题在等比数列中会有怎样的类似的结论？11观察：tan 10tan 20t

4、an 20tan 60tan 60tan 101，tan 5tan 10tan 10tan 75tan 75tan 51，由以上两式成立能得到一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广12(1)椭圆C：1(ab0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：为定值b2a2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线1(a0，b0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)13在平面几何中，对于RtABC，设BCa，CAb，ABc

5、，C90.则(1)a2b2c2；(2)cos2Acos2B1；(3)RtABC的外接圆的半径r；(4)SABCab.把上面的结论类比到空间，写出相类似的结论答案精析1D2.C3D再续写一个不等式：x44，由此可得ann.4C设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为V四面体ABCD(S1S2S3S4)R，R.5CABC的内心为O，连接OA、OB、OC，将ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设四面体ABCD的内切球球心为O，连接OA、OB、OC、OD

6、，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V(S1S2S3S4)r.6.解析c1q，是等比数列7三个侧面与底面构成的二面角相等四个面都全等(答案不唯一)83Sn解析定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和由上述定义，得an故a183.从而Sn93解析如图，易知球心O在线段AM上，不妨设四面体ABCD的棱长为1，外接球的半径为R，则BM，AM ，R ，解得R.于是，3.10解设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d，从而a7a16d，a10a19d，a8a17d，a9a18

7、d.所以a7a102a115d，a8a92a115d，可得a7a10a8a9.同理a10a40a20a30.由此猜想，任一等差数列an，若m，n，p，qN且mnpq，则有amanapaq成立类比等差数列，可得等比数列an的性质：若m，n，p，qN且mnpq，则有amanapaq成立11解观察得到10206090，1075590，猜测推广式子为：若90，且，均不为k，(kZ)，则tan tan tan tan tan tan 1.证明由，得，tan()tan，tan()，tan tan tan()(1tan tan )(1tan tan )tan tan tan tan tan tan tan

8、(tan tan )tan tan tan (1tan tan )tan tan 1tan tan tan tan 1.12解(1)证明如下：设点P(x0，y0)，(x0a)，依题意，得A(a,0)，B(a,0)所以直线PA的方程为y(xa)令x0，得yM，同理得yN，所以yMyN.又点P(x0，y0)在椭圆上，所以1，因此y(a2x)，所以yMyNb2.因为(a，yN)，(a，yM)，所以a2yMyNb2a2.(2)(a2b2)13解(1)设一个三棱锥中三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则SSSS2.(检验：设PA，PB，PC两两互相垂直，PAt，PBn，PCm，PEBC于点E，则S2(m2n2)(t2)SSS.(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为，则cos2cos2cos21.(检验：因为S1Scos ，S2Scos ，S3Scos )(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m、n、t，则这个直四面体的外接球半径为R.(检验：补形为长、宽、高分别为m、n、t的长方体)(4)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m、n、t，则这个直四面体的体积为Vmnt.