1.2 函数的极值ppt课件

1、1.2 函数的极值,第三章 导数应用,学习目标,1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,思考1 观察yf(x)的图像，指出其极大值点和极小值点及极值.,知识点一 函数的极值点和极值,答案 极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h).,思考2 导数为0的点一定是极值点吗？,答案 不一定，如f(x)x3，尽管由f(x)3x20，得出x0，但f(x)在R上是增加的

2、，不满足在x0的左、右两侧符号相反，故x0不是f(x)x3的极值点.,梳理 (1)函数极值的概念 极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在 的函数值都 x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值. 极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在 的函数值都 x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值. 极值：极大值与极小值统称为 ，极大值点与极小值点统称为 .,任何一点,小于或等于,极值点,极值,任何一点,大于或等于,(2)函数的单调性与极值 如果函数yf(x)在区间(a，x0)上

3、是 的，在区间(x0，b)上是 的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值. 如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是 的，在区间(x0，b)上是 _ 的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.,减少,增加,减少,增加,(1)求出导数 ； (2)解方程 ， (3)对于方程f(x)0的每一个解x0，分析f(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定 . 若f(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为 . 若f(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为 . 若f(x)在x0两侧的符号相同，则x0 极值点.,知识点二 函数的极值求法,极值点,极大值点,f(x),f(x)0,极小值点,不

4、是,1.导数为0的点一定是极值点.( ) 2.函数的极大值一定大于极小值.( ) 3.函数yf(x)一定有极大值和极小值.( ) 4.极值点处的导数一定为0.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 求函数的极值点和极值,例1 求下列函数的极值.,解答,命题角度1 不含参数的函数求极值,解 函数f(x)的定义域为R.,令f(x)0，得x1或x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可以看出，当x1时，函数有极小值，且极小值为f(1)3； 当x1时，函数有极大值，且极大值为f(1)1.,解答,令f(x)0，解得xe. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,反

5、思与感悟 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求方程f(x)0的根. (3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格. (4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况. 提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然.,跟踪训练1 求下列函数的极值点和极值.,解答,解 函数f(x)的定义域为R. f(x)x22x3. 令f(x)0，得x11，x23， 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,当x3时，函数有极小值，且极小值f(3)6.,(2)f(x)x2ex.,解答,解 函数f(x

6、)的定义域为R. f(x)2xexx2exx(2x)ex. 令f(x)0，得x0或x2. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可以看出，当x0时，函数有极小值，且极小值为f(0)0. 当x2时，函数有极大值，且极大值为f(2)4e2.,解答,命题角度2 含参数的函数求极值,解 f(x)x2(a2)x2a24aex. 令f(x)0，解得x2a或xa2，,分以下两种情况讨论：,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,所以f(x)在(，2a)，(a2，)上是增函数，在(2a，a2)上是减函数，函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a，函数f(x

7、)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,所以f(x)在(，a2)，(2a，)上是增函数，在(a2，2a)上是减函数， 函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2， 函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.,反思与感悟 讨论参数应从f(x)0的两根x1，x2相等与否入手进行.,解答,跟踪训练2 已知函数f(x)xaln x(aR). (1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；,因而f(1)1，f(1)1. 所以曲线yf(x)在点A(1，f(

8、1)处的切线方程为y1(x1)， 即xy20.,解答,(2)求函数f(x)的极值.,当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值； 当a0时，由f(x)0，解得xa. 又当x(0，a)时，f(x)0， 从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值. 综上，当a0时，函数f(x)无极值； 当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.,例3 已知函数f(x)的导数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是 A.(，1) B.(0，) C.(0,1) D.(1,0),类型二 利用函数的极

9、值求参数,解析 若a0，则f(x)在(1，a)上是减少的，在(a，)上是增加的，与题意不符，故选D.,解析,答案,反思与感悟 已知函数的极值求参数时应注意两点 (1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解. (2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证.,解答,解 f(x)aln xbx2x，,跟踪训练3 设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值；,解答,当x(0,1)时，f(x)0； 当x(2，)时，f(x)0. 故x1是函数f(x)的极小值点，x2是函数f(x)的极大值点

10、.,(2)判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.,达标检测,1.函数f(x)的定义域为R，它的导函数yf(x)的部分图像如图所示，则下面结论错误的是 A.在(1,2)上函数f(x)为增函数 B.在(3,4)上函数f(x)为减函数 C.在(1,3)上函数f(x)有极大值 D.x3是函数f(x)在区间1,5上的极小值点,解析 根据导函数图像知，当x(1,2)时，f(x)0，当x(2,4)时，f(x)0. f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x2是f(x)在1,5上的极大值点，x4是极小值点.故选D.,1,2,3,4,5,解析,答案,1,2,

11、3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,当x(0,2)时，f(x)0. 所以x2为f(x)的极小值点，故选D.,3.函数f(x)ax1ln x(a0)在定义域内的极值点的个数为_.,所以当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立， 所以函数f(x)在(0，)上是减少的， 所以f(x)在(0，)上没有极值点.,0,1,2,3,4,5,解析,答案,2,解析 f(x)3x22axb，,答案,解析,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.,又f(x)的定义域为(0，)， 令f(x)0，解得x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变

12、化情况如下表：,f(x)的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，).,1,2,3,4,5,1.求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数f(x)； (3)解方程f(x)0得方程的根； (4)利用方程f(x)0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号； (5)确定函数的极值，如果f(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值.,规律与方法,2.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点 (1)根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.,