1、第1课时 函数的最大值、最小值的求法,第三章 2.2 最大值、最小值问题,学习目标,1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,如图为yf(x)，xa，b的图像.,知识点 函数的最值点与最值,答案 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).,思考1 观察a，b上函数yf(x)的图像，试找出它的极大值、极小值.,答案 存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3).,思考2 结合图像判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？,梳理 (1)
2、最值点 最大值点：函数yf(x)在区间a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 f(x0). 最小值点：函数yf(x)在区间a，b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 f(x0). (2)最值 函数的 与 统称为最值.,不超过,不小于,最大值,最小值,(3)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤 求函数yf(x)在(a，b)内的 ； 将函数yf(x)的 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 .,极值,各极值,端点,最大值,最小值,1.函数的最大值不一定是函数的极大值.( ) 2.函数f(x)在区间a，b上的最
3、大值与最小值一定在区间端点处取得. ( ) 3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 求函数的最值,命题角度1 利用导数直接求最值,解答,解得x12(舍去)，x21. 当00，函数f(x)是增加的； 当1x2时，f(x)0，函数f(x)是减少的.,又因为f(0)0，f(2)ln 31，所以f(1)f(2)f(0)，,反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.,跟踪
4、训练1 求下列函数的最值.,解答,当f(x)0时，x2， 当f(x)0时，x2. 所以f(x)在(，2)上是增加的，在(2，)上是减少的，,解答,所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0， 当x2时，f(x)有最大值f(2).,解答,命题角度2 对参数讨论求最值,例2 已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数.设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值.,解 因为f(x)exax2bx1， 所以g(x)f(x)ex2axb， 又g(x)ex2a， 因为x0,1，1exe， 所以：,所以函数g(x)在区间0,1上是增加的，g(
5、x)ming(0)1b.,于是当00， 所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上是减少的， 在区间ln(2a)，1上是增加的， g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)b.,所以函数g(x)在区间0,1上是减少的， g(x)ming(1)e2ab.,引申探究 1.若a1，b2，求函数g(x)在区间0,1上的最小值.,解 因为a1，b2， g(x)f(x)ex2x2， 又g(x)ex2，令g(x)0， 因为x0,1，解得xln 2， 所以当xln 2时，函数取极小值，也是最小值， 故g(x)ming(ln 2)22ln 2242ln 2.,解答,解答,2.当b0时，若函数g(x)在区间
6、0,1上的最小值为0，求a的值.,解 当b0时，因为f(x)exax21， 所以g(x)f(x)ex2ax， 又g(x)ex2a，因为x0,1，1exe， 所以：,所以函数g(x)在区间0,1上是增加的， g(x)ming(0)1，不符合题意.,于是当00， 所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上是减少的， 在区间ln(2a)，1上是增加的， g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)0，,所以函数g(x)在区间0,1上是减少的，,反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数
7、可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.,证明,跟踪训练2 已知函数f(x)x2aln x(aR). (1)若a2，求证：f(x)在(1，)上是增加的；,证明 f(x)x22ln x，,所以f(x)在(1，)上是增加的.,解答,(2)求f(x)在1，)上的最小值.,当a0时，f(x)0恒成立， 所以f(x)在1，)上是增加的，最小值为f(1)1.,又f(1)1，所以f(x)在1，)上的最小值为1.,综上，当a2时，f(x)在1，)上的最小值为1；,例3 已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值.,类型二 由函数的最值求参数,解答,解
8、 由题设知a0，否则f(x)b为常数函数，与题设矛盾. 求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)， 令f(x)0，得x10，x24(舍去). 当a0，且当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.,又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)， f(2)16a293，解得a2. 综上可得，a2，b3或a2，b29.,反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分
9、类讨论思想的应用.,解答,跟踪训练3 已知函数h(x)x33x29x1在区间k,2上的最大值是28，求k的取值范围.,解 h(x)x33x29x1， h(x)3x26x9. 令h(x)0，得x13，x21， 当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：,当x3时，取极大值28； 当x1时，取极小值4.而h(2)3h(3)28， 所以如果h(x)在区间k,2上的最大值为28，则k3.,达标检测,1,2,3,4,5,1.如图所示，函数f(x)导函数的图像是一条直线，则 A.函数f(x)没有最大值也没有最小值 B.函数f(x)有最大值，没有最小值 C.函数f(x)没有最大值，有最小值 D.函数f
10、(x)有最大值，也有最小值,解析,答案,解析 由导函数图像可知，函数f(x)只有一个极小值点1， 即f(x)在x1处取得最小值，没有最大值.,1,2,3,4,5,解析,答案,2.函数f(x)x33x1在闭区间3,0上的最大值和最小值分别是 A.1，1 B.1，17 C.3，17 D.9，19,解析 f(x)3x233(x1)(x1)， 令f(x)0，得x1. 又f(3)279117，f(0)1，f(1)1313,1 3,0. 所以f(x)在3,0上的最大值为3，最小值为17.,1,2,3,4,5,解析,答案,3.下列关于函数f(x)(2xx2)ex的判断正确的是 f(x)0的解集是x|0x2；
11、 f(x)没有最小值，也没有最大值； f(x)有最大值，无最小值. A. B. C. D.,解析 由f(x)0，可得(2xx2)ex0，ex0， 2xx20，0x2，故正确；,1,2,3,4,5,4.函数f(x)2x36x2m(m是常数)在区间2,2上有最大值3，则在区间2,2上的最小值为_.,37,解析 f(x)6x212x6x(x2)， 由题意知，在区间2,2上，x0是f(x)的最大值点， f(x)maxf(0)m3. f(2)1624337，f(2)162435， f(x)min37.,答案,解析,1,2,3,4,5,5.已知函数f(x)ax3bxc在点x2处取得极值c16. (1)求a
12、，b的值；,解 因为f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b. 由于f(x)在点x2处取得极值c16，,解答,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最小值.,解 由(1)知f(x)x312xc，f(x)3x212. 令f(x)0，得x12，x22. 当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数； 当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数. 由此可知f(x)在x12处取得极大值，f(2)16c， f(x)在x22处取得极小值，f(2)c16. 由题设条件知16c28，解得c12. 此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4. 因此，f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.,1,2,3,4,5,1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值. 2.已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.,规律与方法,
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