§2 复数的四则运算 学案（含答案）

1、2复数的四则运算学习目标1.熟练掌握复数代数形式的加减乘除运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念知识点一复数代数形式的加减法思考类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.梳理(1)运算法则设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i，(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)知识点二复数的乘法及其运算律思

2、考怎样进行复数的乘法运算？答案两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可梳理(1)复数的乘法法则设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3知识点三共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数，z的共轭复数用表示即当zabi时，abi.知识点四复数的除法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR

3、，z20)，则i(cdi0)1在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部()2复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减()3两个共轭复数的和与积是实数()4若z1，z2C，且zz0，则z1z20.()类型一复数的加法、减法运算例1(1)若z12i，z23ai(aR)，复数z1z2所对应的点在实轴上，则a_.(2)已知复数z满足|z|iz13i，则z_.考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案(1)1(2)1i解析(1)z1z2(2i)(3ai)5(a1)i，由题意得a10，则a1.(2)设zxyi(x，yR)，则|z|，|z|izixyix(y)i13i，解得

4、z1i.反思与感悟(1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设zxyi(x，yR)跟踪训练1(1)若复数z满足zi33i，则z_.(2)(abi)(2a3bi)3i_(a，bR)(3)已知复数z满足|z|z1i，则z_.考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案(1)62i(2)a(4b3)i(3)i解析(1)zi33i，z62i.(2)(abi)(2a3bi)3i(a2a)(b3b3)ia(4b3)i.(3)设zxyi(x，yR)，|z|，|z|z(x)yi1i，解得zi.类型二复数代数形式的乘除运算例2计算

5、：(1)(1i)；(2)；(3).考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则解(1)(1i)(1i)(1i)ii.(2)i.(3)1i.反思与感悟(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似跟踪训练2计算：(1)(4i)(62i)(7i)(43i)；(2)；(3).考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则解(1)(4i)(62i)(7i)(43i)(248i6i

6、2)(2821i4i3)(262i)(3117i)515i.(2)ii0.(3)1i.类型三i的运算性质例3计算：(1)2 016；(2)ii2i2 017.考点虚数单位i及其性质题点虚数单位i的运算性质解(1)原式1 008i(1i)(i)1 008ii2(1)1 008i1 008i1i4252i11i.(2)方法一原式i.方法二因为inin1in2in3in(1ii2i3)0(nN)，所以原式(ii2i3i4)(i5i6i7i8)(i2 013i2 014i2 015i2 016)i2 017i2 017(i4)504i1504ii.反思与感悟(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍

7、适用，i的周期性要记熟，即inin1in2in30(nN)(2)记住以下结果，可提高运算速度(1i)22i，(1i)22i.i，i.i.跟踪训练3(1)2 018_.考点虚数单位i及其性质题点虚数单位i的运算性质答案1解析2 0182 0182 018i2 018(i4)504i21504i21.(2)化简i2i23i3100i100.考点虚数单位i及其性质题点虚数单位i的运算性质解设Si2i23i3100i100，所以iSi22i399i100100i101，得(1i)Sii2i3i100100i101100i1010100i100i.所以S5050i.所以i2i23i3100i100505

8、0i.类型四共轭复数及其应用例4把复数z的共轭复数记作，已知(12i)43i，求z.考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数解设zabi(a，bR)，则abi，由已知得(12i)(abi)(a2b)(2ab)i43i，由复数相等的定义知，得所以z2i.引申探究若将本例条件改为(z2)43i，求z.解设zxyi(x，yR)则xyi，由题意知，(xyi)(xyi2)43i.得解得或所以zi或zi.反思与感悟当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解跟踪训练4已知复数z满足|z|1，且(34i)z是纯虚数，求z的共轭复数.考点共轭复数的定义与应用题

9、点利用定义求共轭复数解设zabi(a，bR)，则|z|1，即a2b21.因为(34i)z(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i是纯虚数，所以3a4b0，且3b4a0.由联立，解得或所以i或i.1设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与点的对应答案D解析z1z257i，z1z2在复平面内对应的点位于第四象限2设复数z满足iz1，其中i为虚数单位，则z等于()Ai BiC1 D1考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数答案A解析zi.3若z43i(i为虚数单位)，则等于()A1 B

10、1C.i D.i考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案D解析z43i，|z|5，i.4设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z，则_.考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数答案1i解析z1i，所以1i.5已知复数z满足：z2zi86i，求复数z的实部与虚部的和考点共轭复数的定义与应用题点与共轭复数有关的综合问题解设zabi(a，bR)，则za2b2，a2b22i(abi)86i，即a2b22b2ai86i，解得ab4，复数z的实部与虚部的和是4.1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化.