§2 微积分基本定理 学案（含答案）

1、2微积分基本定理学习目标1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分知识点微积分基本定理(牛顿莱布尼茨公式)思考1已知函数f(x)2x1，F(x)x2x，则(2x1)dx与F(1)F(0)有什么关系？答案由定积分的几何意义知，(2x1)dx(13)12，F(1)F(0)2，故(2x1)dxF(1)F(0)思考2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F(x)f(x)?答案不唯一根据导数的性质，若F(x)f(x)，则对任意实数c，都有F(x)cF(x)cf(x)梳理(1)微积分基本定理条件：f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)；结

2、论：f(x)dxF(b)F(a)；符号表示：f(x)dxF(x)|F(b)F(a)(2)常用函数积分公式表被积函数f(x)f(x)的一个原函数F(x)f(x)x(1)F(x)f(x)(bkx)(1，k0)F(x)f(x)F(x)ln |x|f(x)ekx(k0)F(x)ekxf(x)ax(a0，a1)F(x)f(x)sin xF(x)cos xf(x)cos xF(x)sin xf(x)F(x)tan xf(x)ln xF(x)xln xxf(x)F(x)ln(x)1若F(x)f(x)，则F(x)唯一()2微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数()3应用微积分基本定理求定积分

3、的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数()类型一求定积分例1求下列定积分(1)dx；(2)；(3)(x3)(x4)dx.考点利用微积分基本定理求定积分题点利用微积分基本定理求定积分解(1)dx(ln x3sin x)|(ln 23sin 2)(ln 13sin 1)ln 23sin 23sin 1.(2)212sin cos 1sin x，(0cos 0)1.(3)(x3)(x4)x27x12，(x3)(x4)dx(x27x12)dx0.反思与感悟(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F(x)(2)由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f

4、(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算函数的增量F(b)F(a)跟踪训练1求下列定积分(1)dx；(2)；(3)(1)dx.考点利用微积分基本定理求定积分题点利用微积分基本定理求定积分解(1)dxln 2.(2) 1.(3)(1)dx(x)dx.例2求下列定积分：(1)f(x)求f(x)dx；(2)|x21|dx.考点分段函数的定积分题点分段函数的定积分解(1)f(x)dx(x1)dx1(40)7.(2)|x21|dx(1x2)dx(x21)dx2.反思与感悟分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数

5、的定积分再计算跟踪训练2(1)e|x|dx_.(2)已知f(x)则f(x)dx_.考点分段函数的定积分题点分段函数的定积分答案(1)2e2(2)eln 2解析(1)e|x|dxexdxexdxex|ex|e0e1e1e02e2.(2)f(x)dx(2xex)dxdx(x2ex)|(1e)(0e0)eln 2.类型二利用定积分求参数例3(1)已知t0，f(x)2x1，若f(x)dx6，则t_.(2)已知2(kx1)dx4，则实数k的取值范围为_考点微积分基本定理的应用题点利用微积分基本定理求参数答案(1)3(2)解析(1)f(x)dx(2x1)dxt2t6，解得t3或2，t0，t3.(2)(kx

6、1)dxk1.由2k14，得k2.引申探究1若将例3(1)中的条件改为f(x)dxf，求t.解由f(x)dx(2x1)dxt2t，又ft1，t2tt1，得t1.2若将例3(1)中的条件改为f(x)dxF(t)，求F(t)的最小值解F(t)f(x)dxt2t2(t0)，当t时，F(t)min.反思与感悟(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念跟踪训练3(1)已知x(0,1，f(x)(12x2t)dt，则f(x)的

7、值域是_(2)设函数f(x)ax2c(a0)若f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为_考点微积分基本定理的应用题点利用微积分基本定理求参数答案(1)0,2)(2)解析(1)f(x)(12x2t)dt(t2xtt2)|2x2，x(0,1f(x)的值域为0,2)(2)f(x)dx(ax2c)dxc.又f(x0)axc，ax，即x0或.0x01，x0.1若dx3ln 2，则a的值是()A5 B4 C3 D2考点微积分基本定理的应用题点利用微积分基本定理求参数答案D解析dx2xdxdxx2|ln x|a21ln a3ln 2，解得a2.2等于()A B C. D.考点利用微积分基本定理求定积分

8、题点利用微积分基本定理求定积分答案D解析.3设f(x)则f(x)dx等于()A. B.C. D不存在考点分段函数的定积分题点分段函数的定积分答案C解析f(x)dxx2dx(2x)dx.4已知函数f(x)xnmx的导函数f(x)2x2，则f(x)dx_.考点微积分基本定理的应用题点微积分基本定理的综合应用答案解析f(x)xnmx的导函数f(x)2x2，nxn1m2x2，解得n2，m2，f(x)x22x，则f(x)x22x，f(x)dx(x22x)dx991.5求函数f(a)(6x24axa2)dx的最小值考点微积分基本定理的综合应用题点微积分基本定理的综合应用解(6x24axa2)dx(2x32ax2a2x)|22aa2，f(a)a22a2(a1)21，当a1时，f(a)有最小值1.1求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分2由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.