1、第2课时最大值、最小值的实际应用学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题.3.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法知识点生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值(3)解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.类型一与最值有关的恒成立问题例1已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1处都取得极值(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若对x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求实数c的取值范围考点利用导数求
2、函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，因为解得所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)，令f(x)0，得x或x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调增区间为，(1，)；单调减区间为.(2)由(1)知，f(x)x3x22xc，x1,2，当x时，fc为极大值，因为f(2)2c，所以f(2)2c为最大值要使f(x)f(2)2c，解得c2.故实数c的取值范围为(，1)(2，)引申探究若本例中条件不变，“把(2)中对x1,2，不等式f(x)c2恒
3、成立”改为“若存在x1,2，不等式f(x)c，所以f(1)c为最小值因为存在x1,2，不等式f(x)f(1)c，即2c22c30，解得cR.故实数c的取值范围为R.反思与感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练1已知函数f(x)2xln x，g(x)x2ax3对一切x(0，)，f(x)g(x)恒成立，则a的取值范围是_考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围答案(，4解析由2xln xx2ax3，得a2ln xx.设h(x)2ln xx(x0)则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)是增加的h(x)minh(1)4.a4.类型二实际生活中的最值问题
4、例2请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题解V(x)(x)2(602x)x2(602x)2x360x2(0x30)V(x)6x2120x6x(x20)令V(x)0，得x0(舍)或x20.当0x0
5、；当20x30时，V(x)0.V(x)在x20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值底面边长为x20(cm)，高为(30x)10(cm)，即高与底面边长的比值为.引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？解AEx，HEx.EF602x，EGEF(602x)(30x)S侧4HEEG4x(30x)8x(30x)8x2240x8(x15)28152.当x15时，S侧最大为1 800 cm2.反思与感悟面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验跟踪训练2已知圆柱
6、的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为_考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题答案解析设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，圆柱的表面积S2r22rh.h，又圆柱的体积Vr2h(S2r2)，V(r)，令V(r)0，得S6r2，h2r，V(r)只有一个极值点，当h2r时圆柱的容积最大又r，h2.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.例3已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)(1)求年利润W(万元)关于
7、年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大利润问题解(1)当010时，WxR(x)(102.7x)982.7x.所以W(2)当00，当x(9,10)时，W10时，W98982 38，当且仅当2.7 x，即x时，Wmax38.综上可得，当x9时，W取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润收入
8、成本(2)利润每件产品的利润销售件数跟踪训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、费用最少问题解(1)由题设知，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此
9、C(x)，而建造费用为C1(x)6x.因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6.令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)当0x5时，f(x)0；当5x0，故当x5时，f(x)取到最小值，对应的最小值为f(5)6570.答当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8 B.C1 D8考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解生活中的其他最值问题答
10、案C解析原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.2当x(0,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，) B6，5C6，) D4，3考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案C解析x0，a恒成立令t，x(0,1，t1，at4t23t3恒成立令g(t)t4t23t3，则g(t)18t9t2，易知g(t)图像的对称轴是t，函数g(t)在1，)上是减少的又g(1)160，g(t)0)，得a2ln xx.设h(x)2ln xx(x0)则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)是增加的h(x)minh(1)4.ah(x)min4.1恒成立问题可转化为函数最值问题2利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值
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