1.1 定积分的背景——面积和路程问题 学案（含答案）

1、1.1定积分的背景面积和路程问题学习目标1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程知识点一曲边梯形的面积思考1如何计算下列两图形的面积？ 思考2如图，为求由抛物线yx2与直线x1，y0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？梳理求曲边梯形面积主要步骤(1)曲边梯形：由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)(2)求曲边梯形面积的方法把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的

2、近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图所示)(3)求曲边梯形面积的步骤：分割；近似代替；求和；估计误差知识点二求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为vv(t)，那么也可以采用_、_、_、_的方法，求出它在atb内的位移s.类型一求曲边梯形的面积例1求直线x0，x3，y0与二次函数曲线f(x)x21所围成的曲边梯形的面积的估计值，并写出估计误差反思与感悟求曲边梯形的面积(1)思想：以直代曲(2)步骤：分割近似代替求和估计误差(3)关键：近似代替(4)结果：分割越细，面积越精确跟踪训练1求由直线x1，x2和y0及曲线yx2所围成的曲边梯形的面积的

3、估计值，并写出估计误差类型二求变速运动的路程例2一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在时刻t的速度v(t)t25(单位：km/h)试估计这辆汽车在0t2(单位：h)这段时间内行驶的路程反思与感悟解决此类问题，是通过分割自变量的区间求得过剩估计值和不足估计值，分割得越细，估计值就越接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值跟踪训练2汽车以v3t2作变速直线运动时，试估计汽车在第1秒至第2秒间1 s内经过的路程1把区间1，3 n等分，所得n个小区间的长度均为()A. B. C. D.2在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi，xi1上的近似值等于()A只能是左

4、端点的函数值f(xi)B只能是右端点的函数值f(xi1)C可以是该区间内任一点的函数值f(i)(ixi，xi1)D以上答案均正确3一物体沿直线运动，其速度v(t)t，这个物体在t0到t1这段时间内所走的路程为()A. B.C1 D.4在区间0,8上插入9个等分点，则第5个小区间是_5由直线x0，x1，y0和曲线yx2所围成的曲边梯形，当把区间0，1等分为10个小区间时，曲边梯形的面积的不足估计值为_求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤(1)分割：n等分区间a，b(2)近似代替：取点ixi1，xi(3)求和：(i).(4)估计误差：S(过剩估计值)s(不定估计值)“近似代替”也可以用较大的矩形来

5、代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)答案精析问题导学知识点一思考1直接利用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解思考2已知图形是由直线x1，y0和曲线yx2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段知识点二分割近似代替求和估计误差题型探究例1解将区间0,310等分，则每个小区间的长度为0.3.分别以每个小区间左、右端点的纵坐标为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值s和过剩估计值S.s(0210.3210.6212.721)0.36.85，S(0.3210.621321)0.38.20.估计误差不会超过Ss8.

6、206.851.35.跟踪训练1解将区间1,25等分，分别以每个小区间的左、右端点的纵坐标为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值s和过剩估计值S.s(121.221.421.621.82)0.21.02，S(1.221.421.621.8222)0.21.32，估计误差不会超过Ss1.321.020.3.例2解将区间0,210等分，如图S(0250.2251.825)0.27.72，s(0.2250.4251.825225)0.26.92，估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km与7.72 km之间跟踪训练2解将行驶时间1 s平均分为10份，则汽车在1 s内行驶的路程的不足估计值s与过剩估计值S分别是s3(11.11.21.31.41.51.61.71.81.9)0.12100.16.35，S3(1.11.21.31.41.51.61.71.81.92)0.12100.16.65，无论是用不足估计值还是过剩估计值估计汽车行驶的路程，误差都不会超过Ss6.656.350.3.当堂训练1B2.C3.B4.5.0.285