§3 计算导数 学案（含答案）

1、3计算导数学习目标1.理解导函数的定义.2.能根据导数的定义求函数yc，yx，yx2，y，y的导数.3.能利用给出的导数公式求简单函数的导数知识点一导函数的概念思考1已知函数f(x)x2，求f(2)，f(1)，f(2)答案f(2)2，f(1)1，f(2)2.思考2对思考1中的函数f(x)，试求f(x0)答案f(x0)x0.梳理导函数的定义若一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x)，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，简称为导数知识点二函数的导数公式函数导函数函数导函数yc(c是常数)y0ysin xycos xyx(是实数)yx1

2、ycos xysin xyax(a0，a1)yaxln a特别地(ex)exytan xyylogax(a0，a1)y特别地(ln x)ycot xy1函数在一点处的导数f(x0)是一个常数()2函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值()3若f(x)sin x，则f(x)cos x()类型一求函数的导数例1(1)利用导函数的定义求函数f(x)(2x1)(3x1)的导数，并求x0和x2处的导数值(2)已知f(3)2，f(3)2，求的值考点求函数的导数题点利用导函数定义求导数解(1)f(x)(2x1)(3x1)6x2x1，f(x)(12x6x1)12x1，f

3、(0)1，f(2)122125.(2)原式2323f(3)8.反思与感悟由导数的定义知，计算函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)通过自变量在x0处的改变量x确定函数yf(x)在x0处的改变量：yf(x0x)f(x0)；(2)确定函数yf(x)在x0处的平均变化率：；(3)当x趋于0时，得到导数：f(x0).上述求导方法可简记为：一差，二比，三极限跟踪训练1求函数yf(x)x的导数f(x)，并利用f(x)求f(1)，f(2)，f(3)考点求函数的导数题点利用导函数的定义求导数解yf(xx)f(x)(xx)xx，则.当x趋于0时，有f(x)1.则f(1)10，f(2)1，f(3).例2

4、求下列函数的导数(1)ysin ；(2)yx；(3)ylg x；(4)y；(5)y2cos21.考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数解(1)y0.(2)yxlnxln 2.(3)y.(4)y，y.(5)y2cos21cos x，y(cos x)sin x.反思与感悟(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导如y可以写成yx4，y可以写成y等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算

5、失误跟踪训练2下列结论：(sin x)cos x；(log3x)；(ln x).其中正确的有()A0个 B1个 C2个 D3个考点求函数的导数题点利用导数公式求导答案C解析；(log3x)，错误，故选C.类型二利用导数公式研究切线问题例3已知曲线yf(x)，yg(x)，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形面积考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用解由得得两曲线的交点坐标为(1,1)两条曲线切线的斜率分别为f(1)，g(1)1.易得两切线方程分别为y1(x1)，y1(x1)，即yx与yx2.其与x轴的交点坐标分别为(1,0)，(2,0)，所以两切线与x轴所围成的三角

6、形面积为1|2(1)|.反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决跟踪训练3已知直线ykx是曲线yln x的一条切线，则k .考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案解析设切点坐标为(x0，y0)，由题意得yk，又y0kx0，而且y0ln x0，由可得x0e，y01，则k.例4求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用解设切点坐标为(x0，x)，依题意知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线的切点到直线xy20的距离最短y(x2)2x，2x01，x0，切点坐标

7、为，所求的最短距离d.反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图像在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图像的切线有关解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算跟踪训练4已知直线l: 2xy40与抛物线yx2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使ABP的面积最大考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用解设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率ky2x0，k2x02，x01，y0 1.故可得P(1,1)，切线方程为2xy10.由于直线l: 2

8、xy40与抛物线yx2相交于A，B两点，|AB|为定值，要使ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，故P(1,1)点即为所求弧上的点，使ABP的面积最大.1下列函数求导运算正确的个数为()(3x)3xlog3e；(log2x)；x；若f(x)，则f(3).A1 B2 C3 D4考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数答案C解析中(3x)3xln 3，均正确2函数f(x)x3的斜率等于1的切线有()A1条 B2条 C3条 D不确定考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数的导数答案B解析设切点坐标为(x0，y0)，f(x0)3x1，

9、x0.故斜率等于1的切线有2条3已知f(x)x2，g(x)ln x，若f(x)g(x)1，则x .考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点指数函数、对数函数的导数答案1解析f(x)2x，g(x)，f(x)g(x)1，即2x1，解得x1或.因为x0，所以x1.4过原点作曲线yex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案(1，e)e解析设切点坐标为(x0，y0)，切线的斜率为y在xx0处的导数，则，又y0，由可得x01，切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e.5求过曲线ysin x上一点P且与在这一点处的切线垂直的直线方程考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用解曲线ysin x在点P处切线的斜率为kcos ，则与切线垂直的直线的斜率为，所求直线方程为y，即12x18y290.1利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求y12sin2的导数因为y12sin2cos x，所以y(cos x)sin x.3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化