1、11导数与函数的单调性(二)一、选择题1若三次函数f(x)ax3x，x(，)是增函数，则()Aa0 Ba0Ca1 Da考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案A解析由题意可知f(x)0恒成立，即3ax210恒成立，显然B，C，D都不能使3ax210恒成立，故选A.2已知f(x)x3x，xm，n，且f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间m，n上()A至少有三个实数根B至少有两个实根C有且只有一个实数根D无实根考点函数的单调性与导数的关系题点利用导数值的正负号判定函数的单调性答案C解析f(x)3x210，f(x)在区间m，n上是减少的又f(m)f(n)0，方程f(
2、x)0在区间m，n上有且只有一个实数根，故选C.3若函数f(x)x3ax2x6在(0,1)内是减少的，则实数a的取值范围是()A1，) Ba1C(，1 D(0,1)考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数单调性求参数(或其范围)答案A解析f(x)3x22ax1，又f(x)在(0,1)内是减少的，不等式3x22ax10在(0,1)内恒成立，f(0)0，且f(1)0，a1.4若函数ya(x3x)在上单调递减，则a的取值范围是()A(0，) B(1,0)C(1，) D(0,1)考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案A解析ya(3x21)3a，当x时，0，要使ya(x3
3、x)在上是减少的，只需y0.5若函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上是减少的，则实数a的取值范围是()A0a3 Ba4Ca2 D10)当x0时，有00且a13，解得1a2.6已知定义域为R的奇函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线，若当x(1，)时，f(x)0，且f(2)0，则关于x的不等式(x1)f(x)0的解集为()A(2，1)(0,2) B(，2)(0,2)C(2,0) D(1,2)考点利用导数研究函数的单调性题点构造法的应用答案A解析由于f(x)为奇函数，且当x(1，)时，f(x)0.因此f(x)在区间(1,0)，(0,1)上是增加的，在区间(，1)，(1，)上是减少的，易知f
4、(2)f(2)0.当x10，即x1时，由(x1)f(x)0，得f(x)0，解得x2或0x2，所以0x2；当x10，即x0，得f(x)0，解得2x2，所以2x0，当x(1,2)时，(x1)(x2)0，a0，a0.10若函数f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是_考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案(，1解析f(x)x，由题意知f(x)x0在(1，)上恒成立，即x在(1，)上恒成立，x1，x210，bx(x2)，设yx(x2)，则yx22x(x1)21，x1，y1，要使bx(x2)成立，则有b1.11若f(x)(xR)在区间1,1上是增函
5、数，则a的取值范围是_考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案1,1解析f(x)2，f(x)在1,1上是增函数，f(x)20.(x22)20，x2ax20对x1,1恒成立令g(x)x2ax2，则即1a1.即a的取值范围是1,1三、解答题12已知函数f(x)ax2ln(x1)(1)当a时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间1，)上为减函数，求实数a的取值范围考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)解(1)当a时，f(x)x2ln(x1)(x1)，f(x)x(x1)当f(x)0时，解得1x1；当f(x)1.故函数f(x)的单
6、调增区间是(1,1)，单调减区间是(1，)(2)因为函数f(x)在区间1，)上为减函数，所以f(x)2ax0对任意x1，)恒成立，即a对任意x1，)恒成立令g(x)，易求得在区间1，)上g(x)0，故g(x)在区间1，)上是增加的，故ming(1)，故a.即实数a的取值范围为.13已知函数f(x)ln x.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)证明：当x1时，f(x)0，得解得0x.故f(x)的单调增区间是.(2)证明令F(x)f(x)(x1)，x(0，)则F(x).当x(1，)时，F(x)1时，F(x)1时，f(x)0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是_考点利用导数研究函数的单调
7、性题点构造法的应用答案(，1)(0,1)解析因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.当x0时，令g(x)，则g(x)为偶函数，且g(1)g(1)0.则当x0时，g(x)0，故g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数所以在(0，)上，当0xg(1)00f(x)0；在(，0)上，当x1时，g(x)g(1)00.综上，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)15设函数f(x)xekx(k0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(1,1)上是增加的，求k的取值范围考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)解(1)由f(x)(1kx)ekx0，得x(k0)若k0，则当x时，f(x)0，函数f(x)是增加的若k0，函数f(x)是增加的；当x时，f(x)0时，f(x)的单调增区间为，减区间为；当k0，则当且仅当1，即0k1时，函数f(x)在(1,1)上是增加的；若k0，则当且仅当1，即1k0时，函数f(x)在(1,1)上是增加的综上可知，函数f(x)在区间(1,1)上是增加的时，k的取值范围是1,0)(0,1
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