2020年冀教新版九年级上册数学《第26章解直角三角形》单元测试卷（解析版）

1、2020年冀教新版九年级上册数学第26章 解直角三角形单元测试卷一选择题（共10小题）1如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（）ABC2D2已知cosAsin80，则锐角A的取值范围是（）A60A80B30A80C10A60D10A303在RtABC中，C90，若sinA，则cosA的值为（）ABCD4下列式子错误的是（）Acos40sin50Btan15tan751Csin225+cos2251Dsin602sin305sin45的值是（）AB1CD6RtABC中，C90，a：b3：4，运用计算器计算，A的度数（精确到1）（）A30B37

2、C38D397如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形上，AB与CD相交于点O，则tanAOD等于（）AB2C1D8西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a已知，冬至时北京的正午日光入射角ABC约为26.5，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（）Aasin26.5BCacos26.5D9如图在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A5cosaBC5sinaD10如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点

3、A、B在同一水平面上）为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为，则A、B两地之间的距离为（）A800sin米B800tan米C米D米二填空题（共8小题）11在ABC中，C90，tanA，则cosB 12如图所示的网格是正方形网格，BAC DAE（填“”，“”或“”）13已知在RtABC中，C90，tanA，则sinA 14已知为一锐角，且cossin60，则 度15如果，那么锐角A的度数为 16用科学记算器计算：2sin15cos15 17在ABC中，ABAC，若BDAC于D，若cosBAD，BD，则CD为 18如图，BC是一条河的

4、直线河岸，点A是河岸BC对岸上的一点，ABBC于B，站在河岸C的C处测得BCA50，BC10m，则桥长AB m（用计算器计算，结果精确到0.1米）三解答题（共8小题）19学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）如图，在ABC中，ABAC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad60的值为 A B1 C D2（2）对于

5、0A180，A的正对值sadA的取值范围是 （3）已知sin，其中为锐角，试求sad的值20下列关系式是否成立（090），请说明理由（1）sin+cos1；（2）sin22sin21小明在某次作业中得到如下结果：sin27+sin2830.122+0.9920.9945，sin222+sin2680.372+0.9321.0018，sin229+sin2610.482+0.8720.9873，sin237+sin2530.602+0.8021.0000，sin245+sin245（）2+（）21据此，小明猜想：对于任意锐角，均有sin2+sin2（90）1（）当30时，验证sin2+sin2（

6、90）1是否成立；（）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例22计算：（1）1+6sin45+（1）200923如图，在ABC中，B为锐角，AB3，AC5，sinC，求BC的长24近年来，共享单车服务的推出（如图1），极大的方便了城市公民绿色出行，图2是某品牌某型号单车的车架新投放时的示意图（车轮半径约为30cm），其中BC直线l，BCE71，CE54cm（1）求单车车座E到地面的高度；（结果精确到1cm）（2）根据经验，当车座E到CB的距离调整至等于人体胯高（腿长）的0.85时，坐骑比较舒适小明的胯高为70cm，现将车座E调整至座椅舒适高度位置E，求EE的长（结果精

7、确到0.1cm）（参考数据：sin710.95，cos710.33，tan712.90）25如图，电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD与地面成45，A60，CD4m，则电线杆AB的长为多少米？26为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：镜子；皮尺；长为2m的标杆；高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）在你设计的方案上，选用的测量工具是 ；（2）在下图中画出你的测量方案示意图；（3）你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，等字母表示测得的数据；（4）写出求树高的算式：AB m2020年冀教新版

8、九年级上册数学第26章 解直角三角形单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（）ABC2D【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解【解答】解：连接BD则BD，AD2，则tanA故选：D【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键2已知cosAsin80，则锐角A的取值范围是（）A60A80B30A80C10A60D10A30【分析】首先明确cos30，sin80cos1

9、0，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析【解答】解：cos30，sin80cos10，余弦函数随角增大而减小，10A30故选：D【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键；还要知道正余弦之间的转换方法：一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值3在RtABC中，C90，若sinA，则cosA的值为（）ABCD【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解【解答】解：sin2A+cos2A1，即（）2+cos2A1，cos2A，cosA或（舍去），cosA故选：D【点评】此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角，都有sin2

10、+cos214下列式子错误的是（）Acos40sin50Btan15tan751Csin225+cos2251Dsin602sin30【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断【解答】解：A、sin40sin（9050）cos50，式子正确；B、tan15tan75tan15cot151，式子正确；C、sin225+cos2251正确；D、sin60，sin30，则sin602sin30错误故选：D【点评】本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系，以及同角之间的正切和余切之间的关系，理解性质是关键5sin45的值是（）AB1CD【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行解答即可

11、【解答】解：由特殊角的三角函数值可知，sin45故选：D【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键6RtABC中，C90，a：b3：4，运用计算器计算，A的度数（精确到1）（）A30B37C38D39【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后求出A【解答】解：a：b3：4，设a3x，b4x，由勾股定理知，c5xsinAa：c3：50.6，运用计算器得，A37故选：B【点评】本题考查在直角三角形中解题，根据角的正弦值求出三角形的角度7如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形

12、上，AB与CD相交于点O，则tanAOD等于（）AB2C1D【分析】首先连接BE，由题意易得BFCF，ACOBHO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得HO：CO1：3，即可得OF：CFOF：BF1：2，在RtOBF中，即可求得tanBOF的值，继而求得答案【解答】解：如图，连接BE，与CD交于点F，四边形BCEH是正方形，HFCFCH，BFEFBE，CHBE，BECH，BFCF，ACBH，ACOBHO，HO：COBH：AC1：3，COHF，HO：HF1：2，HOOF，在RtOBF中，tanBOF2AODBOF，tanAOD2故选：B【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关

13、内容8西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a已知，冬至时北京的正午日光入射角ABC约为26.5，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（）Aasin26.5BCacos26.5D【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题【解答】解：由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为：，故选：B【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答9如图在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）

14、A5cosaBC5sinaD【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离AB即可【解答】解：由于相邻两树之间的水平距离为5米，坡角为，则两树在坡面上的距离AB故选：B【点评】此题主要考查了坡度坡角问题，正确掌握三角函数关系是解题关键10如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为，则A、B两地之间的距离为（）A800sin米B800tan米C米D米【分析】在RtABC中，CAB90，B，AC800米，根据tan，即可解决问题；【解答】解：在RtABC中，CAB90，B

15、，AC800米，tan，AB故选：D【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型二填空题（共8小题）11在ABC中，C90，tanA，则cosB【分析】法一：本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解；法二：利用正切求出A30，B60，再求cosB的值【解答】解：法一：利用三角函数的定义及勾股定理求解在RtABC中，C90，tanA，设ax，b3x，则c2x，cosB法二：利用特殊角的三角函数值求解tanAA30，C90B60，cosBcos60故答案为：【点评】此题考查的知识点是锐角三角函数的定义：在直角三角形

16、中，一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值；也可利用特殊角的三角函数值求解12如图所示的网格是正方形网格，BACDAE（填“”，“”或“”）【分析】解法一：取点G、F，构建等腰直角三角形，由正切的值可作判断，或直接根据BAC45，EADFAG45，来作判断；解法二：作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN，再分别求BAC、DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断【解答】解：解法一：在AD上取一点G，在网格上取点F，构建AFG为等腰直角三角形，tanBAC1，tanEAD1，BACEAD；解法二：连接NH，BC，过N作NP

17、AD于P，SANH2211AHNP，PN，PN，RtANP中，sinNAP0.6，RtABC中，sinBAC0.6，正弦值随着角度的增大而增大，BACDAE，故答案为：【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键13已知在RtABC中，C90，tanA，则sinA【分析】根据tanA，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出sinA的值【解答】解：在RtABC中，C90，tanA，设a3x，则b4x，则c5xsinA故答案是：【点评】本题考查了同角三角函数的关系求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三

18、角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值14已知为一锐角，且cossin60，则30度【分析】根据A，B均为锐角，若sinAcosB，那么A+B90即可得到结论【解答】解：sin60cos（9060），coscos（9060）cos30，即锐角30故答案为：30【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，牢记互余两角的三角函数关系是解答此类题目的关键15如果，那么锐角A的度数为30【分析】根据30角的余弦值等于解答【解答】解：cosA，锐角A的度数为30故答案为：30【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30、45、60的三角函数值是解题

19、的关键16用科学记算器计算：2sin15cos150.5【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学记算器进行计算【解答】解：用计算器按MODE，有DEG后，按2sin15cos15显示结果为0.5故答案为0.5【点评】本题考查了熟练应用计算器的能力17在ABC中，ABAC，若BDAC于D，若cosBAD，BD，则CD为1或5【分析】分ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，在RtABD中由cosBAD，可设设AD2x，则AB3x，结合BD的长根据勾股定理可得，求得x的值后即可得ABAC3，AD2，在锐角三角形中CDACAD，在钝角三角形中CDAC+AD即可得答案【解答】解：如图1，若AB

20、C为锐角三角形，BDAC，ADB90，cosBAD，设AD2x，则AB3x，AB2AD2+BD2，解得：x1或x1（舍），ABAC3x3，AD2x2，CDACAD1；如图2，若ABC为钝角三角形，由知，AD2x2，ABAC3x3，CDAC+AD5，故答案为：1或5【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，解此题的关键是根据三角形的形状分类讨论18如图，BC是一条河的直线河岸，点A是河岸BC对岸上的一点，ABBC于B，站在河岸C的C处测得BCA50，BC10m，则桥长AB11.9m（用计算器计算，结果精确到0.1米）【分析】在RtABC中，tanBCA，由此可以求出AB之

21、长【解答】解：在ABC中，BCBA，tanBCA又BC10m，BCA50，ABBCtan5010tan5011.9m故答案为11.9【点评】此题考查了正切的概念和运用，关键是把实际问题转化成数学问题，把它抽象到直角三角形中来三解答题（共8小题）19学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）如图，在ABC中，ABAC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述对

22、角的正对定义，解下列问题：（1）sad60的值为A B1 C D2（2）对于0A180，A的正对值sadA的取值范围是0sadA2（3）已知sin，其中为锐角，试求sad的值【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）作出直角ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答【解答】解：（1）根据正对定义，当顶角为60时，等腰三角形底角为60，则三角形为等边三角形，则sad601故选B（2）当A接近0时，sad接近0，当A接近180时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sad接近2于是

23、sadA的取值范围是0sadA2故答案为0sadA2（3）如图，在ABC中，ACB90，sinA在AB上取点D，使ADAC，作DHAC，H为垂足，令BC3k，AB5k， 则ADAC4k，又在ADH中，AHD90，sinADHADsinAk，AHk则在CDH中，CHACAHk，CDk于是在ACD中，ADAC4k，CDk由正对的定义可得：sadA，即sad【点评】此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答20下列关系式是否成立（090），请说明理由（1）sin+cos1；（2）sin22sin【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立

24、；（2）举出反例进行论证【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在ABC中，B90，C则sin+cos+1，故sin+cos1不成立；（2）该等式不成立，理由如下：假设30，则sin2sin60，2sin2sin3021，1，sin22sin，即sin22sin不成立【点评】本题考查了同角三角函数的关系解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值21小明在某次作业中得到如下结果：sin27+sin2830.122+0.9920.9945，sin222+sin2680.372+0.9321.0018，sin229+sin2610.482+0.8720.9873，sin237+

25、sin2530.602+0.8021.0000，sin245+sin245（）2+（）21据此，小明猜想：对于任意锐角，均有sin2+sin2（90）1（）当30时，验证sin2+sin2（90）1是否成立；（）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例【分析】（1）将30代入，根据三角函数值计算可得；（2）设A，则B90，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证【解答】解：（1）当30时，sin2+sin2（90）sin230+sin260（）2+（）2+1；（2）小明的猜想成立，证明如下：如图，在ABC中，C90，设A，则B90，sin2+sin2（90）（）2+（）21

26、【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键22计算：（1）1+6sin45+（1）2009【分析】本题涉及乘方、负整数指数幂、特殊三角函数值、二次根式化简4个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式+1+2610【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算23如图，在ABC中，B为锐角，AB3，AC5，sinC，求BC的长【分析】作ADBC，在ACD中求得ADACsinC3、，再在A

27、BD中根据AB3、AD3求得BD3，继而根据BCBD+CD可得答案【解答】解：作ADBC于点D，ADBADC90AC5，ADACsinC3在RtACD中，AB，在RtABD中，BCBD+CD7【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义24近年来，共享单车服务的推出（如图1），极大的方便了城市公民绿色出行，图2是某品牌某型号单车的车架新投放时的示意图（车轮半径约为30cm），其中BC直线l，BCE71，CE54cm（1）求单车车座E到地面的高度；（结果精确到1cm）（2）根据经验，当车座E到CB的距离调整至等于人体胯高（腿长）的0.85时，坐骑比较

28、舒适小明的胯高为70cm，现将车座E调整至座椅舒适高度位置E，求EE的长（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin710.95，cos710.33，tan712.90）【分析】（1）作EMBC于点M，由EBECsinBCE54sin71可得答案；（2）作EHBC于点H，先根据EC求得EC的长度，再根据EECECE可得答案【解答】解：（1）如图1，过点E作EMBC于点M，由题意知BCE71、EC54，EBECsinBCE54sin7151.3，则单车车座E到地面的高度为51.3+3081cm；（2）如图2所示，过点E作EHBC于点H，由题意知EH700.8559.5，则EC62.6，EECECE

29、62.6548.6（cm）【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答25如图，电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD与地面成45，A60，CD4m，则电线杆AB的长为多少米？【分析】延长AD交地面于E，作DFBE于F，求出BEBC+CF+FE，根据正切求出AB的值即可【解答】解：延长AD交地面于E，作DFBE于FDCF45CD4CFDF由题意知ABBCEDFA60DEF30EFBEBC+CF+FE在RtABE中，E30ABBEtan30（m）答：电线杆AB的长为6米【点评】此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际

30、生活中的问题作辅助线、求出BEBC+CF+FE是解题的关键26为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：镜子；皮尺；长为2m的标杆；高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）在你设计的方案上，选用的测量工具是镜子，皮尺；（2）在下图中画出你的测量方案示意图；（3）你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，等字母表示测得的数据；（4）写出求树高的算式：ABm【分析】此题要求学生根据题意，自己设计方案，答案不唯一；可借助相似三角形的对应边成比例的性质进行设计测量方法，先测得CE，EA与CD的大小，根据相似三角形的性质；可得：；即AB【解答】解：（1）镜子，皮尺；（2）测量方案示意图；（3）EA（镜子离树的距离）a，EC（人离镜子的距离）b，DC（目高）c；（4）根据相似三角形的性质；可得：；即AB【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形