2018-2019学年浙江省杭州市下城区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

1、2018-2019学年浙江省杭州市下城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1（3分）在RtABC中，C90，AB5，AC3，则sinB的值是（）ABCD2（3分）下列命题中是真命题的为（）A弦是直径B直径相等的两个圆是等圆C平面内的任意一点不在圆上就在圆内D一个圆有且只有一条直径3（3分）已知二次函数yax2+4x+c，当x等于2时，函数值是1；当x1时，函数值是5则此二次函数的表达式为（）Ay2x2+4x1Byx2+4x2Cy2x2+4x+1Dy2x2+4x+14（3分）下列是任意抛掷一枚质地

2、均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性很大的是（）A朝上的点数为2B朝上的点数为7C朝上的点数不小于2D朝上的点数为3的倍数5（3分）若a：bc：d，则下列各式成立的是（）Aa：dc：bBb：dc：aCD（ b+d0）6（3分）如图，在ABC中，ACB90，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，记三个半圆的弧长分别为m，n，l，则下列各式成立的是（）Am+nlBm+nlCm2+n2l2Dm2+n2l27（3分）在ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，且AC2EC，连结AD，BE，交于点F设xCD：BD，yAF：FD，则（）Ayx+1Byx+1CyDy8（3分）在一个不透明的布袋中装有4个

3、只有标号不一样的球，从中任取两个球，设所得球上两个标号的数字的积为k，并记事件“2，8，k三个数中正好有一个数为另两个数的比例中项”为 A若4个球上所标的数字分别为，1，3，4，则P（A）（）ABCD9（3分）已知二次函数y（a1）x2+3ax+1图象上的四个点的坐标为（x1，m），（x2，m），（x3，n），（x4，n），其中mn下列结论可能正确的是（）A若a，则 x1x2x3x4B若a，则 x4x1x2x3C若a，则 x1x3x2x4D若a，则 x3x2x1x410（3分）已知ABC内接于O，连接OA，OB，OC，设OAC，OBA，OCB则下列叙述中正确的有（）若，且OCAB，则90；若：

4、1：4：3，则ACB30；若，则+90；若，则BAC+ABC+2ABCD二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11（4分）如图，已知ABCD，AC，BD交于点O，若AB：CD1：2，AO3，则OC 12（4分）“手机阅读”已逐渐成了眼科病的主要病因，据调查表明在“中年人”中有“手机阅读”习惯的占比约达66%若随机选择150名“中年人”进行调查，则估计有 人有此习惯13（4分）在ABC中，（cosA）2+|tanB1|0，则C 14（4分）若圆内接正六边形的两条对角线长为m，n（mn），则m：n 15（4分）已知函数y1（m+1）x2+nx+2与y2mx+2的图象都经过A（4，4）若

5、y2y1，则x的取值范围为 16（4分）已知P为O外的一点，P到O上的点的最大距离为6，最小距离为2若AB为O内一条长为1的弦，则点P到直线AB的距离的最大值为 ，最小值为 三、解答题（本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（6分）为了有效保护环境，某景区要求游客将垃圾按可回收垃圾，不可回收垃圾，有害垃圾分类投放一天，小林一家游玩了该景区后，把垃圾按要求分成三袋并随机投入三类垃圾桶中，请用列树状图的方法求三袋垃圾都投对的概率18（8分）如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形请在图中找出与HBC相似的三角形，并说明它们相似的理由19（8分

6、）如图，汽车在一条南北走向的公路上以每小时60千米的速度匀速向北行驶当汽车在A处时，某信号塔C在它的北偏西30方向，汽车前行2分钟到达B处，此时信号塔C在它的北偏西45方向（1）求AB的距离（2）求信号塔C到该公路的距离（ 1.73，结果精确到0.1千米）20（10分）一个斜抛物体的水平运动距离为x（m），对应的高度记为h（m），且满足hax2+bx11a（其中a0）已知当x0时，h2；当x10时，h2（1）求h关于x的函数表达式和自变量x的取值范围（2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离21（10分）在O中，的度数为120，点P为弦AB上的一点，连结OP并延长交O于点C，连结OB

7、，AC（1）若P为AB中点，且PC1，求圆的半径（2）若BP：BA1：3，请求出tanOPA22（12分）已知二次函数yax2+bx3（a0），且a+b3（1）若其图象经过点（3，0），求此二次函数的表达式（2）若（m，n）为（1）中二次函数图象在第三象限内的点，请分别求m，n的取值范围（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数图象上两个点，满足x1+x22且x1x2，试比较y1和y2的大小关系23（12分）如图，在ABC中，C90，D为AC上的一点，过D作DEAC，过B作BEAB，DE，BE交于点 E已知BC3，AB5（1）证明：EFBABC（2）若CD1，请求出ED的长（3）连结AE

8、，记CDa，AFE与EBF面积的差为b若存在实数t1，t2，m（其中t1t2），当at1或at2时，b的值都为m求实数m的取值范围2018-2019学年浙江省杭州市下城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1（3分）在RtABC中，C90，AB5，AC3，则sinB的值是（）ABCD【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinB的值【解答】解：如图，在RtABC中，ACB90，AC3，AB5，sinB故选：A【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键2（3分）下

9、列命题中是真命题的为（）A弦是直径B直径相等的两个圆是等圆C平面内的任意一点不在圆上就在圆内D一个圆有且只有一条直径【分析】根据圆的基本概念判断即可【解答】解：弦不一定是直径，A是假命题；直径相等的两个圆是等圆，B是真命题；平面内的任意一点在圆上、圆内或圆外，C是假命题；一个圆有无数条直径，D是假命题；故选：B【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理3（3分）已知二次函数yax2+4x+c，当x等于2时，函数值是1；当x1时，函数值是5则此二次函数的表达式为（）Ay2x2+4x1Byx2+4x2Cy2x2+4x+1D

10、y2x2+4x+1【分析】把两组对应值代入yax2+4x+c得到关于a、c的方程组，然后解方程组即可【解答】解：根据题意得，解得，所以抛物线解析式为y2x2+4x1故选：A【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解4（3分）下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性很大

11、的是（）A朝上的点数为2B朝上的点数为7C朝上的点数不小于2D朝上的点数为3的倍数【分析】分别求得各个选项中发生的可能性的大小，然后比较即可确定正确的选项【解答】解：A、朝上点数为2的可能性为；B、朝上点数为7的可能性为0；C、朝上点数不小于2的可能性为；D、朝上点数为3的倍数的可能性为，故选：C【点评】主要考查可能性大小的比较：只要总情况数目（面积）相同，谁包含的情况数目（面积）多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况（面积）相当，那么它们的可能性就相等5（3分）若a：bc：d，则下列各式成立的是（）Aa：dc：bBb：dc：aCD（ b+d0）【分析】根据比例的性质，两內项之积等于两外

12、项之积，对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、a：bc：d，adbc，故本选项错误；B、a：bc：d，bcad，b：da：c，故本选项错误；C、+1，1，故本选项错误；D、令k，则k，故本选项正确；故选：D【点评】本题考查了比例性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键6（3分）如图，在ABC中，ACB90，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，记三个半圆的弧长分别为m，n，l，则下列各式成立的是（）Am+nlBm+nlCm2+n2l2Dm2+n2l2【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2AB2，根据弧长公式计算即可【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2AB2，mAC，nBC，1

13、AB，m22AC2，n22BC2，122AB2，m2+n22（AC2+BC2）2AB212，故选：D【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2c27（3分）在ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，且AC2EC，连结AD，BE，交于点F设xCD：BD，yAF：FD，则（）Ayx+1Byx+1CyDy【分析】如图，过D作DGAC交BE于G，根据相似三角形的性质得到，求得，由于xCD：BD，yAF：FD，于是得到结论【解答】解：如图，过D作DGAC交BE于G，BDGBCE，DGFAEF，AC2EC，AECE，xCD：BD，yAF：FD，1+x

14、y，yx+1，故选：A【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键8（3分）在一个不透明的布袋中装有4个只有标号不一样的球，从中任取两个球，设所得球上两个标号的数字的积为k，并记事件“2，8，k三个数中正好有一个数为另两个数的比例中项”为 A若4个球上所标的数字分别为，1，3，4，则P（A）（）ABCD【分析】首先根据题意得出所有等可能的情况数，然后找出事件A的情况数，进而求出概率【解答】解：由题意，可知k的值有6种等可能的情况：，2，3，4，12，其中事件A的情况数有两种：2，8，；2，8，4，所以P（A）故选：C【点评】此题考查了概率公式，比例线段用到的知识点为：

15、概率所求情况数与总情况数之比9（3分）已知二次函数y（a1）x2+3ax+1图象上的四个点的坐标为（x1，m），（x2，m），（x3，n），（x4，n），其中mn下列结论可能正确的是（）A若a，则 x1x2x3x4B若a，则 x4x1x2x3C若a，则 x1x3x2x4D若a，则 x3x2x1x4【分析】分析两种情况若，则a10，此时抛物线y（a1）x2+3ax+1的开口向上；若，则a10，抛物线y（a1）x2+3ax+1的开口向下根据抛物线的开口情况即可以判断【解答】解：依题意得若，则a10抛物线y（a1）x2+3ax+1的开口向上，（x1，m），（x2，m），（x3，n），（x4，n），当

16、mn时，则x3x1x2x4（假设x1x2，x3x4）或则x4x1x2x3（假设x1x2，x3x4）若，则a10抛物线y（a1）x2+3ax+1的开口向下（x1，m），（x2，m），（x3，n），（x4，n），当mn时，则x1x3x4x2（假设x1x2，x3x4）综上所述，A、C、D选项不正确，故选：B【点评】此题主要考查的是二次函数的图象及图象上坐标点的性质，在此只要注意到二次函数的开口，二次项系数a，a0时开口向上，a0时，开口向下，画出大致图象即可解题，同时做此类题型，尽可能地利用数形结合的思想进行快速解题10（3分）已知ABC内接于O，连接OA，OB，OC，设OAC，OBA，OCB则下列

17、叙述中正确的有（）若，且OCAB，则90；若：1：4：3，则ACB30；若，则+90；若，则BAC+ABC+2ABCD【分析】由OCAB得BOCOBA，AOC180，再利用三角形内角和定理，可得到90，故正确；由：1：4：3可知：4，3，再根据三角形内角和定理可得：3+4+5180，ACB230；故正确；显然有2（+）180，故+90，故不正确；易得：BAC+ABC2+，故不正确【解答】解：如图1，OCAB，BOCOBA，AOC180，OBOCOBCOCBBOC+OBC+OCB180，即：+18090，AOC+OAC+OCA180，180+180290故正确；如图2，OACOCA，OBAOAB

18、，OCBOBC：1：4：3，设x，4x，3xBAC5x，ABC7x，ACB4x，BAC+ABC+ACB1805x+7x+4x180xACB4x45，故不正确如图3，OAOCOBOCAOAC，OABOBA，OBCOCB2（+）180+90故不正确如图3，BAC+ABC2+2故不正确故选：A【点评】本题主要考查了三角形外接圆及圆心，圆周角定理，三角形内角和定理，解题关键要根据题意判断外接圆圆心的位置，画出正确图形二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11（4分）如图，已知ABCD，AC，BD交于点O，若AB：CD1：2，AO3，则OC6【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论【解

19、答】解：ABCD，ABOCDO，OC6，故答案为：6【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键12（4分）“手机阅读”已逐渐成了眼科病的主要病因，据调查表明在“中年人”中有“手机阅读”习惯的占比约达66%若随机选择150名“中年人”进行调查，则估计有99人有此习惯【分析】用总人数乘以有“手机阅读”习惯的百分比，据此可估计总体中有此习惯的人数【解答】解：根据题意知估计有此习惯的人数为15066%99（人），故答案为：99【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确13（4分）

20、在ABC中，（cosA）2+|tanB1|0，则C75【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质分别得出cosA，tanB1，再利用特殊角的三角函数值得出答案【解答】解：（cosA）2+|tanB1|0，cosA0，tanB10，则cosA，tanB1，A60，B45，C180604575故答案为：75【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键14（4分）若圆内接正六边形的两条对角线长为m，n（mn），则m：n：2【分析】根据正多边形的内角的计算公式求出ABC和BCD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出BCA，求出ACD，根据正弦的定义解答【解答】解：ABC

21、BCD120，BABC，BACBCA30，ACDBCDBCA90，ADC12060，sin60，m：n：2，故答案为：2【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的内角的计算方法，正弦的定义是解题的关键15（4分）已知函数y1（m+1）x2+nx+2与y2mx+2的图象都经过A（4，4）若y2y1，则x的取值范围为x0或x4【分析】先A点坐标代入y2mx+2得4m+24，再求出m，则可判断二次函数图象的开口向上，易得函数y1（m+1）x2+nx+2与y2mx+2的图象都经过点（0，2），然后根据函数图象，写出直线不在抛物线上方所对应的自变量的范围即可【解答】解：把A（4，4）代入y2mx+

22、2得4m+24，解得m，（m+1）0，二次函数图象的开口向上，函数y1（m+1）x2+nx+2与y2mx+2的图象都经过点（0，2），y2y1，则x的取值范围为x0或x4故答案为x0或x4【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数yax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解16（4分）已知P为O外的一点，P到O上的点的最大距离为6，最小距离为2若AB为O内一条长为1的弦，则点P到直线AB的距离的最大值为4+，最小值为0【分析】由题意设直线OP交O

23、于C，D，则PD6，PC2，CD4，当线段AB线段CD于H时，点P到直线AB的距离最大，当A，B，P共线时，点P到直线AB的距离最小【解答】解：如图，由题意设直线OP交O于C，D，则PD6，PC2，CD4，当线段AB线段CD于H时，点P到直线AB的距离最大，、在RtAOH中，OA2，AH，OH，PH4+，点P到直线AB的最大距离为4+，当A，B，P共线时，点P到直线AB的距离最小，最小值为0，故答案为4+，0【点评】本题考查点与圆的位置关系，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型三、解答题（本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17

24、（6分）为了有效保护环境，某景区要求游客将垃圾按可回收垃圾，不可回收垃圾，有害垃圾分类投放一天，小林一家游玩了该景区后，把垃圾按要求分成三袋并随机投入三类垃圾桶中，请用列树状图的方法求三袋垃圾都投对的概率【分析】首先根据题意求得所有等可能的结果与垃圾投放正确的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下：由树状图可知随机投入三类垃圾桶共有6种等可能结果，其中三袋垃圾都投对的只有1种结果，三袋垃圾都投对的概率为【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比18（8分

25、）如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形请在图中找出与HBC相似的三角形，并说明它们相似的理由【分析】根据正方形的性质得到A90，设ABx，则AHBCCDx，推出，由HBCHBC，即可得到结论【解答】解：DBHHBC，理由：四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，A，B，C，D在一条直线上，A90，设ABx，则AHBCCDx，BHx，BD2x，HBCHBC，DBHHBC【点评】此题主要考查了相似三角形的判定方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；需注意的是所有的全等三角形都相似19（8分）如图，汽车在一条南北

26、走向的公路上以每小时60千米的速度匀速向北行驶当汽车在A处时，某信号塔C在它的北偏西30方向，汽车前行2分钟到达B处，此时信号塔C在它的北偏西45方向（1）求AB的距离（2）求信号塔C到该公路的距离（ 1.73，结果精确到0.1千米）【分析】（1）把分钟化为小时，用路程速度时间，计算即可；（2）过点C作CDAB于点D，构造直角三角形ACD和BCD，利用直角三角形中特殊角对应的边角关系，用含CD的代数式表示出线段AD、BD，由线段的和差关系得关于CD的方程，求解即可【解答】解；（1）AB602（千米）（2）过点C作CDAB于点D，设CDx千米，则在RtACD和RtBCD中，CAD30，CBD45

27、，AB2，ADx，BDxABADBDxx2x2.7答：信号塔C到该公路的距离为2.7千米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形应用方向角是解决本题的关键20（10分）一个斜抛物体的水平运动距离为x（m），对应的高度记为h（m），且满足hax2+bx11a（其中a0）已知当x0时，h2；当x10时，h2（1）求h关于x的函数表达式和自变量x的取值范围（2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离【分析】（1）解方程组即可得到结论；（2）把二次函数的解析式化为顶点式即可得到结论【解答】解：（1）由题意得，解得：a，b，hx2+x+2；（2）h（x5）2+，x5在0x11内，当x

28、5时，h的最大值为，答：斜抛物体的最大高度是m，达到最大高度时的水平距离是5m【点评】此题主要考查了二次函数的应用题，正确的理解题意是解题的关键21（10分）在O中，的度数为120，点P为弦AB上的一点，连结OP并延长交O于点C，连结OB，AC（1）若P为AB中点，且PC1，求圆的半径（2）若BP：BA1：3，请求出tanOPA【分析】（1）由P是AB的中点，的度数为120知OCAB，OBP30，据此得sinB，由PC1知OP1，据此可得答案；（2）作ODAB，由（1）知B30，ADBD，据此得OD：BD：3，设ODx，知BD3x，结合BP：BA1：3得PDx，从而得出答案【解答】解：（1）如

29、图1，P是AB的中点，的度数为120，OCAB，POB60，OBP30，sinB，OPPC1，则OC2；（2）如图2，过点O作ODAB于点D，由（1）知B30，ADBD，OD：BD1：3，设ODx，则BD3x，BP：BA1：3，PDx，tanDPO【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、圆心角定理、垂径定理及三角函数的应用等知识点22（12分）已知二次函数yax2+bx3（a0），且a+b3（1）若其图象经过点（3，0），求此二次函数的表达式（2）若（m，n）为（1）中二次函数图象在第三象限内的点，请分别求m，n的取值范围（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数

30、图象上两个点，满足x1+x22且x1x2，试比较y1和y2的大小关系【分析】（1）依据待定系数法可求得二次函数的解析式；（2）利用配方法可得：yx2+2x3（x+1）24，图象过（1，0）和（3，0），可得结论；（3）根据已知得：b3a，并将P和Q的坐标分别代入抛物线的解析式，并计算y2y1（x2x1）（a+3），分情况讨论可得结论【解答】解：（1）由题意得：，解得：，此二次函数的表达式为：yx2+2x3；（2）如图，yx2+2x3（x+1）24，且（m，n）是二次函数图象在第三象限内的点，4n0，当y0时，x2+2x30，x3或1，图象过（1，0）和（3，0），3m0；（3）由条件可得：y1

31、ax12+（3a）x13，y2ax22+（3a）x23，y2y1（x2x1）a（x2+x1）+3a，x1+x22且x1x2，y2y1（x2x1）（a+3），当a3且a0时，y2y1，当a3时，y2y1，当a3时，y2y1【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，利用数形结合思想求得m和n的取值范围是解题的关键23（12分）如图，在ABC中，C90，D为AC上的一点，过D作DEAC，过B作BEAB，DE，BE交于点 E已知BC3，AB5（1）证明：EFBABC（2）若CD1，请求出ED的长（3）连结AE，记CDa，AFE与EBF面积的差为b若存在实数t1，t2，m（其中t1t2

32、），当at1或at2时，b的值都为m求实数m的取值范围【分析】（1）由DEAC，BEAB，C90知DEBC，EBFACB90，据此即可得证；（2）作BGED，知四边形BGDC是矩形，据此得BGCD1，BCGD3，证EBGABC得，据此求得EG，根据EDEG+DG可得答案；（3）证EBGABC得，据此求得BEa，证AFDABC得，据此求得AF（4a），BFABAFa，由b（4a）aaa（a1）2+（0a4），根据二次函数的性质可得m的取值范围【解答】解：（1）DEAC，BEAB，C90，DEBC，EBFACB90，EFBABC，EFBABC；（2）如图，过点B作BGED于G，则BGEBGDEDCC90，四边形BGDC是矩形，BGCD1，BCGD3，EFBABC，BEFCAB，EBGABC，即，解得EG，则EDEG+DG+3；（3）CDa，AC4，BGa，AD4a，EBGABC，即，解得BEa，DEBC，AFDABC，即，解得AF（4a），则BFABAF5（4a）a，b（4a）aaaa（2a）a2+a（a1）2+，（0a4），m的取值范围是0m【点评】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质的运用等知识点