1、三角形一选择题1（2019恩施州）如图，在ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知ADE65，则CFE的度数为（）A60B65C70D752如图，在CEF中，E80，F50，ABCF，ADCE，连接BC，CD，则A的度数是（）A45B50C55D803（2019营口）如图，AD是ABC的外角EAC的平分线，ADBC，B32，则C的度数是（）A64B32C30D404（2019抚顺）若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（）A2B3C4D2或45（2019朝阳）把RtABC与RtCDE放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若B2
2、5，D58，则BCE的度数是（）A83B57C54D336（2019青海）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放：两个三角板的一直角边重合，含30角的三角板的斜边与纸条一边重合，含45角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1的度数是（）A15B22.5C30D457（2019西藏）如图，在O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在O上，E22.5，AB2，则半径OB等于（）A1BC2D28（2019大庆）如图，在ABC中，BE是ABC的平分线，CE是外角ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若A60，则BEC是（）A15B30C45D609（2019陕西）如图，在ABC中，B30，C
3、45，AD平分BAC交BC于点D，DEAB，垂足为E若DE1，则BC的长为（）A2+B +C2+D310（2019宁夏）如图，在ABC中ACBC，点D和E分别在AB和AC上，且ADAE连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若C40，则GAD的度数为（）A40B45C55D7011（2019赤峰）如图，点D在BC的延长线上，DEAB于点E，交AC于点F若A35，D15，则ACB的度数为（）A65B70C75D8512（2019铜仁市）如图，D是ABC内一点，BDCD，AD7，BD4，CD3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（）A12B14C24D2113
4、（2019梧州）如图，DE是ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC8，BC5，则BEC的周长是（）A12B13C14D1514（2019毕节市）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB1，EC2，那么正方形ABCD的面积为（）AB3CD515（2019山西）如图，在ABC中，ABAC，A30，直线ab，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC与点E，若1145，则2的度数是（）A30B35C40D4516（2019眉山）如图，一束光线从点A（4，4）出发，经y轴上的点C反射后经过点B（1，0），则点C的坐标是（）A（0，）B（0，）C（0，1）D（0，2）17（
5、2019黄石）如图，在ABC中，B50，CDAB于点D，BCD和BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CDCF，则ACD+CED（）A125B145C175D190二填空题18如图，点A1，A2，A3，An在x轴正半轴上，点C1，C2，C3，n在y轴正半轴上，点B1，B2，B3，Bn在第一象限角平分线OM上，OB1B1B2B1B3Bn1Bna，A1B1B1C1，A2B2B2C2，A3B3B3C3，AnBnBnn，则第n个四边形OAnBnn的面积是 19如图，在ABC中，C90，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分BAC若DE1，则BC的长是 20（2019南通）如图，ABC中，ABBC
6、，ABC90，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AECF，若BAE25，则ACF 度21（2019锦州）如图，边长为4的等边ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，依此规律继续作等边On1BAn，记OO1A的面积为S1，O1O2A1的面积为S2，O2O3A2的面积为S3，On1OnAn1的面积为Sn，则Sn （n2，且n为整数）22（2019上海）在ABC和A1B1C1中，已知CC190，ACA1C13，BC4，B
7、1C12，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且ACDC1A1D1，那么AD的长是 23（2019上海）如图，已知直线11l2，含30角的三角板的直角顶点C在l1上，30角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么1 度24（2019永州）已知AOB60，OC是AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DEOA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示若DE2，则DF 25（2019大连）如图，ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CDAC，连接AD若AB2，则AD的长为 26（2019大庆）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形
8、拼成的一个大正方形（如图所示）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（ab）2的值是 27（2019荆州）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图），则图中阴影部分的面积为 cm228（2019鸡西）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形
9、，连接A2A4，得到A2A3A4记AA1A2、A1A2A3、A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去，则S2019 29（2019哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，ABAD，BCDC，A60，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CEAB，若AB8，CE6，则BC的长为 30（2019广州）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），DAM45，点F在射线AM上，且AFBE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：ECF45；AEG的周长为（1+）a；BE2+DG2EG2；EAF的面积的最大值a2其中正确的结论是 （填写
10、所有正确结论的序号）三解答题31（2019恩施州）如图，在四边形ABCD中，ADBC，点O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE试判断四边形AECF的形状，并证明32（2019铁岭）如图，ABC中，ABAC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且GEF+BAC180（1）如图1，当B45时，线段AG和CF的数量关系是 （2）如图2，当B30时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明（3）若AB6，DG1，cosB，请直接写出CF的长33（2019阜新）如图，是具有公共边AB
11、的两个直角三角形，其中，ACBC，ACBADB90（1）如图1，若延长DA到点E，使AEBD，连接CD，CE求证：CDCE，CDCE；求证：AD+BDCD；（2）若ABC与ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系34（2019莱芜区）如图，已知等边ABC，CDAB于D，AFAC，E为线段CD上一点，且CEAF，连接BE，BF，EGBF于G，连接DG（1）求证：BEBF；（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系35（2019锦州）已知，在RtABC中，ACB90，D是BC边上一点，连接AD，分别以CD和AD为直角边作RtCDE和RtADF，使DCEADF90，点E，F在B
12、C下方，连接EF（1）如图1，当BCAC，CECD，DFAD时，求证：CADCDF，BDEF；（2）如图2，当BC2AC，CE2CD，DF2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？并说明理由36（2019赤峰）【问题】如图1，在RtABC中，ACB90，ACBC，过点C作直线l平行于ABEDF90，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DPDB，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不
13、含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DGCD交BC于点G，就可以证明DPDB，请完成证明过程；【拓展引申】（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AMBN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大若ACBC4，请你直接写出BQ的最大值37（2019长春）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容例2 如图，在ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：证明：连结ED请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程结论应用：在ABCD中
14、，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F（1）如图，若ABCD为正方形，且AB6，则OF的长为 （2）如图，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则ABCD的面积为 38（2019鸡西）如图，在ABC中，ABBC，ADBC于点D，BEAC于点E，AD与BE交于点F，BHAB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H（1）如图所示，若ABC30，求证：DF+BHBD；（2）如图所示，若ABC45，如图所示，若ABC60（点M与点D重合），猜想线段DF、BH与BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明39（2019北京）已知AOB30，H为
15、射线OA上一定点，OH+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150，得到线段PN，连接ON（1）依题意补全图1；（2）求证：OMPOPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ONQP，并证明40（2019河北）如图，ABC和ADE中，ABAD6，BCDE，BD30，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为APC的内心（1）求证：BADCAE；（2）设APx，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当ABAC时，AIC的取值范围为mAICn，分别
16、直接写出m，n的值参考答案一选择题1证明：点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，DEBC，EFAB，ADEB，BEFC，ADEEFC65，故选：B2解：连接AC并延长交EF于点MABCF，31，ADCE，24，BAD3+41+2FCE，FCE180EF180805050，BADFCE50，故选：B3解：ADBC，EADB32，AD是ABC的外角EAC的平分线，EAC2EAD64，EAC是ABC的外角，CEACB643232，故选：B4解：4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，能组成三角形，所以，第三边为4；4是底边时，三角形的三边分别为2、2、4，2+24，不能组成三角形，综上所述，第
17、三边为4故选：C5解：过点C作CFAB，BCFB25又ABDE，CFDEFCEE90D905832BCEBCF+FCE25+3257故选：B6解：如图，过A点作ABa，12，ab，ABb，3430，而2+345，215，115故选：A7解：半径OC弦AB于点D，EBOC22.5，BOD45，ODB是等腰直角三角形，AB2，DBOD1，则半径OB等于：故选：B8解：BE是ABC的平分线，EBMABC，CE是外角ACM的平分线，ECMACM，则BECECMEBM（ACMABC）A30，故选：B9解：过点D作DFAC于F如图所示，AD为BAC的平分线，且DEAB于E，DFAC于F，DEDF1，在Rt
18、BED中，B30，BD2DE2，在RtCDF中，C45，CDF为等腰直角三角形，CDDF，BCBD+CD2，故选：A10解：ACCB，C40，BACB（18040）70，ADAE，ADEAED（18070）55，GHDE，GADADE55，故选：C11解：DEAB，A35AFECFD55，ACBD+CFD15+5570故选：B12解：BDCD，BD4，CD3，BC5，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，EHFGBC，EFGHAD，四边形EFGH的周长EH+GH+FG+EFAD+BC，又AD7，四边形EFGH的周长7+512故选：A13解：DE是ABC的边AB的垂直平分线，AEBE
19、，AC8，BC5，BEC的周长是：BE+EC+BCAE+EC+BCAC+BC13故选：B14解：四边形ABCD是正方形，B90，BC2EC2EB222123，正方形ABCD的面积BC23故选：B15解：ABAC，且A30，ACB75，在ADE中，1A+AED145，AED14530115，ab，AED2+ACB，21157540，故选：C16解：如图所示，延长AC交 x轴于点D这束光线从点A（4，4）出发，经y轴上的点C反射后经过点B（1，0），设C（0，c），由反射定律可知，1OCBOCBOCDCODB于OCODBOC在COD和COB中CODCOB（ASA）ODOB1D（1，0）设直线AD的
20、解析式为ykx+b，则将点A（4，4），点D（1，0）代入得直线AD为y点C坐标为（0，）故选：B17解：CDAB，F为边AC的中点，DFACCF，又CDCF，CDDFCF，CDF是等边三角形，ACD60，B50，BCD+BDC130，BCD和BDC的角平分线相交于点E，DCE+CDE65，CED115，ACD+CED60+115175，故选：C二填空题（共13小题）18解：如图，过点C1作C1EOB1于点E，过点A1作A1FOB1于点F，过点B1分别作B1HOC1于点H，B1NOA1于点N，B1OC1B1OA1，B1HB1NHB1NC1BA190HB1C1NB1A1B1HC1B1NA190B
21、1HC1B1NA1（AAS）B1C1B1A1C1B1F+A1B1F90，A1B1F90C1B1FB1A1FC1EB1B1FA190B1C1EA1B1F（AAS）C1EB1FB1OA145FA1O45A1FOFC1E+A1FB1F+OFOB1+C1E+（C1E+A1F），同理，故答案为：19解：AD平分BAC，且DEAB，C90，CDDE1，DE是AB的垂直平分线，ADBD，BDAB，DABCAD，CADDABB，C90，CAD+DAB+B90，B30，BD2DE2，BCBD+CD1+23，故答案为：320解：在RtABE与RtCBF中，RtABERtCBF（HL）BAEBCF25；ABBC，A
22、BC90，ACB45，ACF25+4570；故答案为：7021解：由题意：OO1AO1O2A1O2O3A2，On1OnAn1，相似比：sin60，S11，S2S1，S3（）2S1，Sn（）n1S1（）n1，故答案为：（）n122解：如图，在ABC和A1B1C1中，CC190，ACA1C13，BC4，B1C12，AB5，设ADx，则BD5x，ACDC1A1D1，C1D1ADx，A1C1D1A，A1D1C1CDA，C1D1B1BDC，B90A，B1C1D190A1C1D1，B1C1D1B，C1B1DBCD，即2，解得x，AD的长为，故答案为23解：D是斜边AB的中点，DADC，DCADAC30，2
23、DCA+DAC60，11l2，1+2180，118060120故答案为12024解：过点D作DMOB，垂足为M，如图所示OC是AOB的平分线，DMDE2在RtOEF中，OEF90，EOF60，OFE30，即DFM30在RtDMF中，DMF90，DFM30，DF2DM4故答案为：425解：ABC是等边三角形，BBACACB60，CDAC，CADD，ACBCAD+D60，CADD30，BAD90，AD2故答案为226解：根据勾股定理可得a2+b213，四个直角三角形的面积是： ab413112，即：2ab12，则（ab）2a22ab+b213121故答案为：127解：已知正方体ABCDA1B1C1
24、D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，GFGEEF2，过G作GHEF于H，GHGF，图中阴影部分的面积22cm2故答案为：228解：四边形OAA1B1是正方形，OAAA1A1B11，S1，OAA190，OA1212+122，OA2A2A32，S21，同理可求：S32，S44，Sn2n2，S201922017，故答案为：2201729解：如图，连接AC交BD于点OABAD，BCDC，A60，AC垂直平分BD，ABD是等边三角形BAODAO30，ABADBD8，BOOD4CEABBAOACE30，CEDBAD60DAOACE30AECE6DEADAE2CEDADB60EDF
25、是等边三角形DEEFDF2CFCEEF4，OFODDF2OC2BC230解：如图1中，在BC上截取BHBE，连接EHBEBH，EBH90，EHBE，AFBE，AFEH，DAMEHB45，BAD90，FAEEHC135，BABC，BEBH，AEHC，FAEEHC（SAS），EFEC，AEFECH，ECH+CEB90，AEF+CEB90，FEC90，ECFEFC45，故正确，如图2中，延长AD到H，使得DHBE，则CBECDH（SAS），ECBDCH，ECHBCD90，ECGGCH45，CGCG，CECH，GCEGCH（SAS），EGGH，GHDG+DH，DHBE，EGBE+DG，故错误，AEG的
26、周长AE+EG+AGAE+AHAD+DH+AEAE+EB+ADAB+AD2a，故错误，设BEx，则AEax，AFx，SAEF（ax）xx2+ax（x2ax+a2a2）（xa）2+a2，0，xa时，AEF的面积的最大值为a2故正确，故答案为三解答题（共10小题）31解：四边形AECF为菱形证明如下：ADBC，12O是AC中点，AOCO在AOE和COF中AOECOF（AAS）AECF又AECF，四边形AECF为平行四边形，EFAC，平行四边形AECF为菱形32解：（1）相等，理由：如图1，连接AE，DE垂直平分AB，AEBE，BAEB45，AEBC，ABAC，BEECAE，BAEEACC45，GE
27、F+BAC180，AGE+AFE360180180，AFE+CFE180，AGECFE，GAEC45，AEGCEF（AAS），AGCF；故答案为：AGCF；（2）AGCF，理由：如图2，连接AE，ABAC，BC30，BAC120，DE垂直平分AB，AEBE，BAEB30，CAE90，BAEC，GEF+BAC180，AGE+AFE180，CFE+AFE180，AGECFE，AGECFE，在RtACE中，C30，sinC，AGCF；（3）当G在DA上时，如图3，连接AE，DE垂直平分AB，ADBD3，AEBE，cosB，BE4，AEBE4，BAEB，ABAC，BC，CBAE，GEF+BAC180，
28、AGE+AFE360180180，AFE+CFE180，CFEAGE，CFEAGE，过 A作AHBC于点H，cosB，cos45，B45，E在H的左侧，cosB，BHAB6，ABAC，BC2BH9，BE4，CE945，AGADDG312，CF2.5；当点G在BD上，如图4，同（1）可得，CFEAGE，AGAD+DG3+14，CF5，综上所述，CF的长为2.5或533（1）证明：在四边形ADBC中，DAC+DBC+ADB+ACB360，ADB+ACB180，DAC+DBC180，EAC+DAC180，DBCEAC，BDAE，BCAC，BCDACE（SAS），CDCE，BCDACE，BCD+DCA
29、90，ACE+DCA90，DCE90，CDCE；CDCE，CDCE，CDE是等腰直角三角形，DECD，DEAD+AE，AEBD，DEAD+BD，AD+BDCD；（2）解：ADBDCD；理由：如图2，在AD上截取AEBD，连接CE，ACBC，ACB90，BACABC45，ADB90，CBD90BADABC90BAD4545BAD，CAEBACBAD45BAD，CBDCAE，BDAE，BCAC，CBDCAE（SAS），CDCE，BCDACE，ACE+BCEACB90，BCD+BCE90，即DCE90，DECD，DEADAEADBD，ADBDCD34证明：（1）ABC是等边三角形ABACBC，BAC
30、ACBABC60CDAB，ACBCBDAD，BCD30，AFACFAC90FABFACBAC30FABECB，且ABBC，AFCEABFCBE（SAS）BFBE（2）AF2GD，AFDG理由如下：连接EF，ABFCBEABFCBE，ABE+EBC60ABE+ABF60，且BEBFBEF是等边三角形，且GEBFBGFG，且BDADAF2GD，AFDG35（1）证明：ACB90，CAD+ADC90，CDF+ADC90，CADCDF；作FHBC交BC的延长线于H，则四边形FECH为矩形，CHEF，在ACD和DHF中，ACDDHF（AAS）DHAC，ACCB，DHCB，DHCDCBCD，即HGBD，B
31、DEF；（2）BDEF，理由如下：作FGBC交BC的延长线于G，CADGDF，ACDDGF90，ACDDGF，2，即DG2AC，GF2CD，BC2AC，CE2CD，BCDG，GFCE，BDCG，GFCE，GFCE，G90，四边形FECG为矩形，CGEF，BDEF36证明：【探究发现】（1）ACB90，ACBCCABCBA45CDABCBADCB45，且BDCDDCBDBC45DBDC即DBDP【数学思考】（2）DGCD，DCB45DCGDGC45DCDG，DCPDGB135，BDPCDG90CDPBDG，且DCDG，DCPDGB135，CDPGDB（ASA）BDDP【拓展引申】（3）如图4，过
32、点M作MHMN交AC于点H，连接CM，HQ，MHMN，AMH+NMB90CDAB，CDB90DBM90NMB+MNB90HMAMNB，且AMBN，CABCBN45AMHBNQ（ASA）AHBQACB90，ACBC4，AB4，ACAHBCBQCHCQCHQCQH45CABHQABHQMQMBACBHMQ90点H，点M，点Q，点C四点共圆，HCMHQMHCMQMB，且ACBA45ACMBMQBQAM2时，BQ有最大值为237教材呈现：证明：如图，连结ED在ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，DEAC，DEAC，DEGACG，2，3，；结论应用：（1）解：如图四边形ABCD为正方形，E为边BC
33、的中点，对角线AC、BD交于点O，ADBC，BEBCAD，BOBD，BEFDAF，BFDF，BFBD，BOBD，OFOBBFBDBDBD，正方形ABCD中，AB6，BD6，OF故答案为；（2）解：如图，连接OE由（1）知，BFBD，OFBD，2BEF与OEF的高相同，BEF与OEF的面积比2，同理，CEG与OEG的面积比2，CEG的面积+BEF的面积2（OEG的面积+OEF的面积）21，BOC的面积，ABCD的面积46故答案为638（1）证明：连接CF，如图所示：ADBC，BEAC，CFAB，BHAB，CFBH，CBHBCF，点M是BC的中点，BMMC，在BMH和CMF中，BMHCMF（ASA
34、），BHCF，ABBC，BEAC，BE垂直平分AC，AFCF，BHAF，ADDF+AFDF+BH，在RtADB中，ABC30，ADBD，DF+BHBD；（2）解：图猜想结论：DF+BHBD；理由如下：同（1）可证：ADDF+AFDF+BH，在RtADB中，ABC45，ADBD，DF+BHBD；图猜想结论：DF+BHBD；理由如下：同（1）可证：ADDF+AFDF+BH，在RtADB中，ABC60，ADBD，DF+BHBD39解：（1）如图1所示为所求（2）设OPM，线段PM绕点P顺时针旋转150得到线段PNMPN150，PMPNOPNMPNOPM150AOB30OMP180AOBOPM18030150OMPOPN（3）OP2时，总有ONQP，证明如下：过点N作NCOB于点C，过点P作PDOA于点D，如图2NCPPDMPDQ90AOB30，OP2PDOP1ODOH+1DHOHOD1OMPOPN180OMP180OPN即PMDNPC在PDM与NCP中PDMNCP（AAS）PDNC，DMCP设DMCPx，则OCOP+PC2+x，MHMD+DHx+1点M关于点H的对称点为QHQMHx+1DQDH+HQ1+x+12+xOCDQ在OCN与QDP中OCNQDP（SAS）ONQP40解：（1）在ABC和ADE中，（如图1）
浙公网安备33030202001339号