1、2018-2019学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）直线x+3y+40的倾斜角大小是（）ABCD2（4分）椭圆的焦距为（）A1B2C3D43（4分）设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m“是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（4分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为（）ABCD5（4分）已知双曲线1的一个焦点在直线x+y5上，则双曲线的渐近线方程为（）Ay
2、xByxCyxDyx6（4分）由曲线x2+y22|x|+2|y|围成的图形的面积为（）A4+2B4+4C8+2D8+47（4分）直线ax+3y90与直线x3y+b0关于原点对称，则a，b的值是（）Aa1，b9Ba1，b9Ca1，b9Da1，b98（4分）如果直线l，m与平面，满足l，l，m，m，那么必有（）Am，且lmB，且C，且lmD，且lm9（4分）点M（x，y）在曲线C：x24x+y2210上运动，tx2+y2+12x12y150a，且t的最大值为b，则a2+b2的最小值为（）ABC9D310（4分）已知A，B，C是椭圆+1（ab0）上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆右焦点
3、F，若BFAC，且|BF|5|CF|，则椭圆的离心率是（）ABCD二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分）11（6分）已知直线l1：3x+4y30与直线l2：6x+my+140平行，则m ，它们之间的距离是 12（6分）已知抛物线C：x24y，则其焦点坐标为 ，直线yx+1与抛物线C交于A，B两点，则|AB| 13（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 cm3，表面积是 cm214（6分）若点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，若区域表示一个三角形，则实数a的取值范围是 ，若a2，则x+2y的最大值是 15（4分）已知一水平
4、放置的三角形的平面直观图是边长为1的正三角形，那么原三角形的面积为 16（4分）在三棱锥ABCD中，ABCD6，ACBDADBC5，则该三棱锥的外接球的表面积为 17（4分）若不全为零的实数a，b，c成等差数列，点A（1，2）在动直线l：ax+by+c0上的射影为P，点Q在直线3x4y+120上，则线段PQ长度的最小值是 三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18（14分）已知ABC中，A（2，2），B（4，0），C（3，1），ADBC，垂足为D（）求直线AD的方程；（）求过点D且平行于边AC的直线方程19（15分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有
5、棱长都相等，D为AC的中点（）求证：AB1平面C1BD；（）求证：平面BDC1平面AA1C1C20（15分）已知圆C过A（2，2），B（2，6）两点，且圆心C在直线3x+y0上（）求圆C的方程；（）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求l的方程21（15分）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，APPC，ABC60，APPC，直线BP与平面ABC成角（）若平面PAC平面ABC时，求；（）若30，求二面角PABC的余弦值22（15分）已知椭圆E：+1（ab0）的离心率为e，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为（）求椭圆E的方程；（）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E
6、的切线交圆O：x2+y2a2于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形ACMN面积的最大值2018-2019学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）直线x+3y+40的倾斜角大小是（）ABCD【分析】求出直线的斜率，再求直线的倾斜角，【解答】解：直线x+3y+40的斜率为，tan，直线x+3y+40的倾斜角大小是，故选：C【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题2（4分）椭圆的焦距为（）A1B2C3D4【分析】直接利用椭圆的标准方程求解2c即可【
7、解答】解：椭圆，可得a2，b，所以c，椭圆的焦距为：2c2故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查3（4分）设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m“是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】m并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且m，显然能得到m，这样即可找出正确选项【解答】解：m，m得不到，因为，可能相交，只要m和，的交线平行即可得到m；，m，m和没有公共点，m，即能得到m；“m”是“”的必要不充分条件故选：B【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定
8、定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念4（4分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为（）ABCD【分析】建立空间直角坐标系，先求向量，夹角的余弦值，可得异面直线所成角的余弦值，可得答案【解答】解：分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，可得D（0，0，0），E（1，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），（1，1，2），（2，0，2），cos，异面直线DE与B1C所成角的余弦值为，异面直线DE与B1C所成角的大小为：30，故选：C【点评】本题考查异面直线所成的角，
9、建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题5（4分）已知双曲线1的一个焦点在直线x+y5上，则双曲线的渐近线方程为（）AyxByxCyxDyx【分析】根据题意，由双曲线的方程可以确定其焦点在位置，由直线的方程可得直线与x轴交点的坐标，即可得双曲线焦点的坐标，由双曲线的几何性质可得9+m25，解可得m的值，即可得双曲线的标准方程，进而由双曲线的渐近线方程计算可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的方程为1，则其焦点在x轴上，直线x+y5与x轴交点的坐标为（5，0），则双曲线的焦点坐标为（5，0），则有9+m25，解可得，m16，则双曲线的方程为：1，其渐近线方程为：yx，故选：B【点评】本题考查
10、双曲线的几何性质，关键是求出焦点的坐标，确定m的值6（4分）由曲线x2+y22|x|+2|y|围成的图形的面积为（）A4+2B4+4C8+2D8+4【分析】根据题意作出图形，结合图形知曲线所围成的图形是一个正方形与四个半圆组成，由此求得面积【解答】解：曲线x2+y22|x|+2|y|可化为（|x|1）2+（|y|1）22；由题意，作出图形如图所示；由曲线关于原点对称，当x0，y0时，解析式为（x1）2+（y1）22，则此曲线所围成的图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，所围成的面积是22+4（）28+4故选：D【点评】本题考查了圆的方程与应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是中档
11、题7（4分）直线ax+3y90与直线x3y+b0关于原点对称，则a，b的值是（）Aa1，b9Ba1，b9Ca1，b9Da1，b9【分析】直线ax+3y90上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（m，n），分别代入已知的直线方程，即可求得结论【解答】解：直线ax+3y90上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（m，n），则点（m，n）是直线ax+3y90上任意一点a1，b9故选：D【点评】本题考查直线的对称性，考查学生的计算能力，属于基础题8（4分）如果直线l，m与平面，满足l，l，m，m，那么必有（）Am，且lmB，且C，且lmD，且lm【分析】由m和m知，由l，l知lm，得到结果
12、【解答】解：m和m，l，llm故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题9（4分）点M（x，y）在曲线C：x24x+y2210上运动，tx2+y2+12x12y150a，且t的最大值为b，则a2+b2的最小值为（）ABC9D3【分析】问题转化为直线16x12y129aa0与圆有交点，转化为圆心到直线的距离小于等于半径，可得t的最大值为3a，所以 a+b3，再根据重要不等式可得结果【解答】解：曲线C：（x2）2+y225，由tx2+y2+12x12y150a4x+21+12x12y150a16x12y1
13、29a，即16x12y129at0，依题意直线16x12y129at0与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d5，即|t+a+97|100，即197at3a，依题意得3ab，即a+b3，a2+b2+2ab9，9（a2+b2）2aba2+b2，a2+b2（当且仅当ab时取等），故选：B【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题10（4分）已知A，B，C是椭圆+1（ab0）上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆右焦点F，若BFAC，且|BF|5|CF|，则椭圆的离心率是（）ABCD【分析】利用椭圆的定义及勾股定理求得a和c的关系，根据椭圆的离心率即公式即可求得椭圆E的离心率【解答】解：设
14、椭圆的左焦点F1（c，0），连接AF1，BF1，CF1，设|CF|m，由对称性可知：|AF1|BF|5m，由椭圆的定义可知：|AF|2a5m，|CF1|2am由AF1BF，则AF1AC，则AF1C中，由|AF1|2+|AC|2|CF1|2，则25m2+（2a4m）2（2am）2，整理得：m，在RtAF1F中，25m2+（2a5m）2（2c）2，将m代入，解得椭圆的离心率e故选：C【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆位置关系，考查勾股定理的应用，考查转化思想，属于中档题二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分）11（6分）已知直线l1：3x+4y30与直线l2：
15、6x+my+140平行，则m8，它们之间的距离是2【分析】利用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出【解答】解：直线l1：3x+4y30与直线l2：6x+my+140平行，则3m460，解得m8直线l2：6x+my+140化为：3x+4y+70它们之间的距离2故答案为：8，2【点评】本题考查了直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（6分）已知抛物线C：x24y，则其焦点坐标为（0，1），直线yx+1与抛物线C交于A，B两点，则|AB|8【分析】利用抛物线方程求解焦点坐标即可，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可
16、【解答】解：已知抛物线C：x24y，则其焦点坐标为（0，1），由，可得：x24x40，直线yx+1与抛物线C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，所以x1+x24，x1，x24，所以|AB|故答案为：（0，1），8【点评】本题考查抛物线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查计算能力13（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是cm3，表面积是5+2cm2【分析】由三视图还原原几何体，可知几何体为圆柱截去一部分，圆柱底面半径为1，母线长为2，然后分别以圆柱的表面积公式及体积公式求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为圆柱截去一部分，圆柱底面
17、半径为1，母线长为2，则该几何体的体积Vcm3，表面积为cm2故答案为：；5+2【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题14（6分）若点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，若区域表示一个三角形，则实数a的取值范围是a10，若a2，则x+2y的最大值是25【分析】由不等式组表示的平面区域是一个三角形，画出图形结合图形知a的取值范围是什么；当a2时，设zx+2y，找出最优解，求出目标函数的最大值【解答】解：由不等式组表示的平面区域表示一个三角形，画出图形，如图所示；由，解得A（5，10），则实数a的取值范围是a10；当a2时，设zx+2y，目标函数过点A时
18、，z取值最大值为5+21025故答案为：a10；25【点评】本题考查了不等式组表示平面区域的应用问题，也考查了简单的线性规划应用问题，是基础题15（4分）已知一水平放置的三角形的平面直观图是边长为1的正三角形，那么原三角形的面积为【分析】根据平面图形的直观图与原图形的面积比为1：2，计算所求的面积即可【解答】解：ABC的直观图是边长为1的正三角形ABC，且ABC的面积为1，所以原ABC的面积为2故答案为：【点评】本题考查了平面图形与它的直观图面积的计算问题，是基础题16（4分）在三棱锥ABCD中，ABCD6，ACBDADBC5，则该三棱锥的外接球的表面积为43【分析】分别取AB，CD的中点E，
19、F，连接相应的线段，由条件可知，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，求出球的半径，然后求出球的表面积【解答】解：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，由条件，ABCD6，BCACADBD5，可知，ABC与ADB，都是等腰三角形，AB平面ECD，ABEF，同理CDEF，EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，（AGBCGD）DE4，DF3，EF，GF，球半径DG，外接球的表面积为4DG243，故答案为：43【点评】本题考查球的内接几何体，球的表面积的求法，考查计算能力17（4分）若不全为零的实数a，b，c成等差数列，点A（1，2）在动直线l：ax
20、+by+c0上的射影为P，点Q在直线3x4y+120上，则线段PQ长度的最小值是1【分析】由已知得点P在以（1，0）为圆心，2为半径的圆上，线段PQ长度的最小值等于圆心（1，0）到直线3x4y+120的距离d减去圆半径2【解答】解：不全为零的实数a，b，c成等差数列，b，代入动直线l：ax+by+c0，得ax+c0，化为a（2x+y）+c（y+2）0，a，c不全为0，解得x1，y2，动直线l过定点Q（1，2），设点P（x，y），APQP（x1，y2）（x1，y+2）0，整理，得x2+y22x30，点P在以（1，0）为圆心，2为半径的圆上，点Q在直线3x4y+120上，线段PQ长度的最小值等于圆
21、心（1，0）到直线3x4y+120的距离d减去圆半径2，|PQ|min21故答案为：1【点评】本题考查线段长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18（14分）已知ABC中，A（2，2），B（4，0），C（3，1），ADBC，垂足为D（）求直线AD的方程；（）求过点D且平行于边AC的直线方程【分析】（）求出BC的斜率，根据垂直关系得出AD的斜率，利用点斜式写出AD的直线方程；（）写出BC的直线方程，求出点D的坐标，再求直线AC的方程【解答】解：（）因为，ADBC，所以kAD7；
22、（2分）所以AD的直线方程为y27（x2），即y7x12；（4分）（）因为BC的直线方程为，所以，解得，所以； （7分）又kAC3，所以AD的直线方程为y+3（x），即y3x+4 （10分）【点评】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题19（15分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D为AC的中点（）求证：AB1平面C1BD；（）求证：平面BDC1平面AA1C1C【分析】（）连结B1C交BC1于E，连结ED证明AB1DE，推出AB1平面C1BD（）证明BD平面AA1C1C，推出平面BDC1平面AA1C1C【解答】证明：（）连结B1C交BC1于E，连结ED在AB1C中，D，E分别
23、为AC与B1C的中点，所以AB1DE，又AB1平面C1BD，DE平面C1BD，所以AB1平面C1BD （5分）（）因为BDAC，由平面ABC平面AA1C1C，所以BD平面AA1C1C，又BD平面BDC1，所以平面BDC1平面AA1C1C （10分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力20（15分）已知圆C过A（2，2），B（2，6）两点，且圆心C在直线3x+y0上（）求圆C的方程；（）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求l的方程【分析】（）根据题意，设圆C的圆心为（a，b），半径为r，结合题意可得，解出
24、a、b、r的值，将其值代入圆的方程即可得答案；（）根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：当直线l的斜率不存在时，满足题意，当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y5kx，由点到直线的距离公式求得k的值，即可得直线的方程，综合2种情况即可得答案【解答】解：（）根据题意，设圆C的圆心为（a，b），半径为r，则圆C方程为（xa）2+（yb）2r2，又由圆C过A（2，2），B（2，6）两点，且圆心C在直线3x+y0上，则有，解可得a2，b6，r216，则圆C的方程为（x+2）2+（y6）216；（）根据题意，设直线l与圆C交与MN两点，则|MN|4，设D是线段MN
25、的中点，则有CDMN，则|MD|2，|MC|4在RtACD中，可得|CD|2当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x0，满足题意，当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y5kx，即kxy+50由点C到直线MN的距离公式：2，解可得k，此时直线l的方程为3x4y+200故所求直线l的方程为x0或3x4y+200【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，属于中档题21（15分）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，APPC，ABC60，APPC，直线BP与平面ABC成角（）若平面PAC平面ABC时，求；（）若30，求二面
26、角PABC的余弦值【分析】由ABBC，APPC，取D为AC的中点，可得AC平面PBD，进一步得到平面PBD平面ABC，则直线PB与平面ABC所成角是PBD，即PBD（）当平面PAC平面ABC时，二面角PACB为直二面角，即PDB90，设AC2a，则BD，PDa，可得PB2a，有PBD30；（）若30，即PBD30，设AC2a，则BD，PDa，求得PBa或2a，然后分类找出二面角PABC的平面角PNM，求解三角形可得二面角PABC的余弦值【解答】解：ABBC，APPC，取D为AC的中点BDAC，PDAC，则AC平面PBD，平面PBD平面ABC，则直线PB与平面ABC所成角是PBD，即PBD（）当
27、平面PAC平面ABC时，二面角PACB为直二面角，由BDAC，PDAC，得二面角PACB的平面角为PDB90得PD平面ABC，PD2+DB2PB2设AC2a，则BD，PDa，可得PB2a，有PBD30，即30；（）若30，即PBD30，设AC2a，则BD，PDa，由余弦定理得：PBa或2a由平面PBD平面ABC，平面PBD平面ABCBD，作PMBD于M，得PM平面ABC故PMAB，过M作MNAB于N，连接PN，得AB平面PMN，PNAB故二面角PABC的平面角为PNM当PB2a时，由PD平面ABC，故M与D重合，可得PMPDaNM，故cosPNM；当PBa时，由PBPD，得M为BD的中点，可得
28、PMNM，PN，故cos故二面角PABC的余弦值为【点评】本题考查空间中直线与平面，平面与平面的位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的平面角的求法，是中档题22（15分）已知椭圆E：+1（ab0）的离心率为e，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为（）求椭圆E的方程；（）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：x2+y2a2于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形ACMN面积的最大值【分析】（） 结合已知可得，bc求出a，b的值，即可得椭圆方程；（）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得m
29、24k2+1，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得SMCO+SANO，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出SMON，得到SACMNSMON+SMCO+SANO，整理后利用基本不等式求最值【解答】解：（） 可得，bc结合a2b2+c2，解得a2，c，b1 得椭圆方程；（）易知直线MN的斜率k存在，设MN：ykx+m，由，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m21）0，由64k2m216（4k2+1）（m21）0，得m24k2+1，SACMNSMON+SMCO+SANO，设点O到直线MN：kxy+m0的距离为d，d，|MN22SMON+d，由，得（k2+1）x2+2kmx+m240，y1+y2kx1+m+kx2+mk（x1+x2）+2mk（+2mSMCO+SNAO（|y1|+|y2|）（|y1+y2|，SACMNSMON+（SNAO+SMCO）+而m24k2+1，k2，易知k20，m21，则|m|1，四边形ACMN的面积S当且仅当|m|，即m时取“”四边形ACMN面积的最大值为4【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆、直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属难题
浙公网安备33030202001339号