2018-2019学年浙江省嘉兴市高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

1、2018-2019学年浙江省嘉兴市高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）1（4分）直线xy+a0（a为常数）的倾斜角为（）A30B60C150D1202（4分）“a+cb+d”是“ab且cd”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（4分）已知圆x2+y2+Dx+Ey0的圆心在直线x+yl上则D与E的关系是（）AD+E2BD+E1CD+E1DD+E24（4分）圆的位置关系为（）A外离B外切C相交D内切5（4分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A（，5）B7，+）C5，7）D（，5）7，+）6（4分

2、）设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（）Pa，PaabP，baab，a，Pb，Pbb，P，PPbABCD7（4分）若圆（x3）2+（y+5）2r2上有且只有两个点到直线4x3y20的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A（4，6）B4，6C（4，5）D（4，58（4分）已知不等式ax2+bx+c0的解集是x|x（0），则不等式cx2+bx+a0的解集是（）A（，）B（，）（，+）Cx|xD（，）（，+）9（4分）设x0，y0，且+1，若3x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，64，+）B（，46，+）C（6，4）D（4，6）1

3、0（4分）设集合A（x，y）|（x2）2+y2m2，B（x，y）|2mx+y2m+1，若AB，则实数m的取值范围是（）A，2+B2，2+C1+，+）D二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分.11（3分）若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为 12（3分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 13（3分）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的否命题是 命题（填真或假）14（3分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是 15（3分）直线ax+y+10与连接A（4，5），

4、B（1，2）的线段相交，则a的取值范围是 16（3分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与A1B1所成的角为 17（3分）若f（a）（3m1）a+b2m，当m0，1时，f（a）1恒成立，则a+b的最大值为 18（3分）在正方体ABCDA1B1C1D1中边长AB为2，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，Q为正方形ABCD内一点，M，N分别为AB，BC上靠近A和C的三等分点，若线段D1Q与OP相交且互相平分，则点Q的轨迹与线段MN形成的封闭图形的面积为 三、解答题（本大题有4小题，共36分）19（

5、8分）分别解答下列两题：（）已知x0，y0，且2x+5y20，求xy的最大值（）已知ab0，cd0，k0，求证：20（8分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点（）求证：AB1面A1BD；（）求二面角AA1DB的余弦21（10分）已知圆C1：x2+y22x80关于直线l1：yx+1对称的圆为C（I）求圆C的方程；（）过点（1，0）作直线l与圆C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在直线l，使得AOB90？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由22（10分）如图，正方形ABCD中，边长为2，E为AB中点，F是边BC上的动点（）将ADE沿DE翻折9

6、0到SDE，求二面角SDCE的正切值；（）若BF，将ADE沿DE翻折到SDE，BEF沿EF翻折到SEF，接DF，设直线DS与平面DEF所成角为，求sin的最大值2018-2019学年浙江省嘉兴市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）1（4分）直线xy+a0（a为常数）的倾斜角为（）A30B60C150D120【分析】由直线的倾斜角与斜率k的关系，可以求出的值【解答】解：设直线xy+a0的倾斜角是，则直线的方程可化为yx+a，直线的斜率ktan，0180，60故选：B【点评】本题考查了利用直线的斜率求倾斜角的问题，是基础题2（4分）“a+cb

7、+d”是“ab且cd”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】由不等式的基本性持得ab且cd时必有a+cb+d若a+cb+d时，则可能有ad且cb【解答】解：ab且cda+cb+d若a+cb+d时，则可能有ad且cb，故选：A【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要认真审题，仔细解答3（4分）已知圆x2+y2+Dx+Ey0的圆心在直线x+yl上则D与E的关系是（）AD+E2BD+E1CD+E1DD+E2【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程，即可得到D、E的关系【解答】解：圆的圆心坐标是（），圆x2+y2+Dx+Ey0的圆心在直线x+yl上，所以，即

8、D+E2故选：D【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，常考题型4（4分）圆的位置关系为（）A外离B外切C相交D内切【分析】利用圆C1与C2两圆心之间的距离与两圆半径之间的关系即可得到答案【解答】解：圆C1：x2+y22y0的圆心为：C1（0，1），半径r11，圆C2：x2+y22x60的圆心为：C2（，0），半径r23，|C1C2|2，又r1+r24，r2r12，|C1C2|r2r12，圆C1与C2内切，故选：D【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，求得两圆心之间的距离与两圆半径是解决问题的关键，属于中档题5（4分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围

9、是（）A（，5）B7，+）C5，7）D（，5）7，+）【分析】根据已知的不等式组画出满足条件的可行域，根据图形情况分类讨论，不难求出表示的平面区域是一个三角形时a的取值范围【解答】解：满足约束条件的可行域如下图示由图可知，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是：5a7故选：C【点评】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围6（4分）设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（）Pa，PaabP，baab，a，Pb，Pbb，P，PPbA

10、BCD【分析】根据公理1及直线在面内的定义，逐一对四个结论进行分析，即可求解【解答】解：当aP时，Pa，P，但a，错；当aP时，错；如图ab，Pb，Pa，由直线a与点P确定唯一平面，又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点P，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确故选：D【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：利用线面平行的定义（无公共点）；利用线面平行的判定定理（a，b，aba）；利用面面平行的性质定理（，aa）；利用面面平行的性质（，a，a，aa）线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据垂直问题的证明

11、，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来7（4分）若圆（x3）2+（y+5）2r2上有且只有两个点到直线4x3y20的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A（4，6）B4，6C（4，5）D（4，5【分析】求出圆心P（3，5）到直线4x3y2的距离等于5，由|5r|1，能求出半径r的取值范围【解答】解：圆心P（3，5）到直线4x3y2的距离等于 5，由|5r|1，解得 4r6，半径r的取值范围是（4，6）故选：A【点评】本题考查圆的半径的取值范围的求法，考查圆、点到直线的距离

12、公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题8（4分）已知不等式ax2+bx+c0的解集是x|x（0），则不等式cx2+bx+a0的解集是（）A（，）B（，）（，+）Cx|xD（，）（，+）【分析】根据不等式ax2+bx+c0的解集得出，是一元二次方程ax2+bx+c0的实数根，得出+和的关系，把不等式cx2+bx+a0化为x2（+）x+10，求出解集即可【解答】解：不等式ax2+bx+c0的解集是x|x（0），则，是一元二次方程ax2+bx+c0的实数根，且a0；+，；不等式cx2+bx+a0化为x2+x+10，x2（+）x+10；化为（x1）

13、（x1）0；又0，0；不等式cx2+bx+a0的解集为：x|x故选：A【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系，是中档题9（4分）设x0，y0，且+1，若3x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，64，+）B（，46，+）C（6，4）D（4，6）【分析】先把3x+2y转会为（3x+2y）（+）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据3x+2ym2+2m求得m2+2m8，进而求得m的范围【解答】解：+13x+2y（3x+2y）（+）12+12+2243x+2ym2+2m恒成立，m2+2m24，求得6m4，故选：C【点评】本题主要考查了基本不等

14、式在最值问题中的应用考查了学生分析问题和解决问题的能力10（4分）设集合A（x，y）|（x2）2+y2m2，B（x，y）|2mx+y2m+1，若AB，则实数m的取值范围是（）A，2+B2，2+C1+，+）D【分析】求出使集合A非空的m的范围，再由AB，得圆（x2）2+y2m2（m0）与x+y2m或x+y2m+1有交点，利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系求解【解答】解：由题意，A，则，m0或m；显然B要使AB，只需圆（x2）2+y2m2（m0）与x+y2m或x+y2m+1有交点，即或，或，又m0或m，当m0时，（2，0）不在0x+y1内综上，实数m的取值范围是，2+故选：A【点评】本题考查交集

15、及其运算，考查数学转化思想方法，是中档题二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分.11（3分）若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为1【分析】因x21得x1或x1，又“x21”是“xa”的必要不充分条件，知“xa”可以推出“x21”，反之不成立由此可求出a的最大值【解答】解：因x21得x1或x1，又“x21”是“xa”的必要不充分条件，知“xa”可以推出“x21”，反之不成立则a的最大值为1故答案为1【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答12（3分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为48+8【分析】根据几何体的三

16、视图，得出该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱，根据图中数据即可求出它的表面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱，所以它的表面积为4（4+2+2）+2（2+4）448+8故答案为：48+8【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目13（3分）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的否命题是假命题（填真或假）【分析】可先写出原命题的逆命题，然后判断真假，根据互为逆否命题的真假关系相同即可判断【解答】解：若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是：若一个数的平方是正数，则这个数是负数，为假命题而命题的逆命题与否命题是互为逆否关系，真

17、假相同，可知否命题为假命题故答案为：假【点评】本题主要考查了互为逆否命题的真假关系相同的应用，要判断命题的否命题的真假时，也可先判断其逆命题的真假14（3分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是【分析】以D为坐标原点，建立如图直角坐标系，可得出A1、E、G、F各点的坐标，从而得到（2，0，1），（2，1，1），再利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦之值，取绝对值即可得到A1E与GF所成角的余弦值【解答】解：分别以DA、DC、DD1、为x、y、z轴建立如图坐标系，设正方体的棱长为2，则A1（2，0，2），E（

18、0，0，1），G（0，2，1），F（2，1，0）（2，0，1），（2，1，1）设、的夹角为，则cos即异面直线A1E与GF所成角的余弦值是故答案为：【点评】本题在正方体中求两条异面直线所成的角，着重考查了正方体的性质和利用空间坐标系求异面直线所成角等知识点，属于基础题15（3分）直线ax+y+10与连接A（4，5），B（1，2）的线段相交，则a的取值范围是a或a3【分析】判断直线ax+y+10恒过定点P（0，1），计算PA、PB的斜率，再利用数形结合法求出实数a的取值范围【解答】解：由直线ax+y+10的方程，判断直线恒过定点P（0，1），如图所示，计算kPA，kPB3，且kkPA或kkPB，

19、则akPA或akPB，即实数a的取值范围是：a或a3故答案为：a或a3【点评】本题考查了直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题16（3分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与A1B1所成的角为【分析】以C1 为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出 的坐标，由数量积求夹角公式可得MN与A1B1所成的角【解答】解：如图，以C1 为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系棱长为a，A1MAN，B1（a，0，0），A1（a，a，0），M

20、（a，），N（，a），cos0MN与A1B1所成的角为故答案为：【点评】本题考查异面直线及其所成角，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题17（3分）若f（a）（3m1）a+b2m，当m0，1时，f（a）1恒成立，则a+b的最大值为【分析】把已知函数解析式变形，结合当m0，1时，f（m）1恒成立，得到关于a，b的约束条件，然后利用线性规划知识求得a+b的最大值【解答】解：f（m）（3m1）a+b2m（3a2）ma+b，当m0，1时，f（m）1恒成立，即画出可行域如图，联立，解得A（），令za+b，化为ba+z，由图可知，当直线ba+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为故答案为：【点评

21、】本题考查函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用线性规划知识求最值，是中档题18（3分）在正方体ABCDA1B1C1D1中边长AB为2，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，Q为正方形ABCD内一点，M，N分别为AB，BC上靠近A和C的三等分点，若线段D1Q与OP相交且互相平分，则点Q的轨迹与线段MN形成的封闭图形的面积为【分析】根据线段D1Q与OP互相平分，可得四边形D1PQO是平行四边形，点Q的轨迹为两条线段（过O与AB，AD平行的两条线段），设过O平行于AB的直线交MN于点H，过O平行于AD的直线与MN交于点G，则点Q的轨迹与线段MN形成的封闭

22、图形是等腰直角GHO，由此能求出点Q的轨迹与线段MN形成的封闭图形的面积【解答】解：线段D1Q与OP互相平分，四边形D1PQO是平行四边形OQD1PO为底面正方形ABCD的中心，点Q的轨迹为两条线段（过O与AB，AD平行的两条线段），设过O平行于AB的直线交MN于点H，过O平行于AD的直线与MN交于点G，点Q的轨迹与线段MN形成的封闭图形是等腰直角GHO，OGOH1+，点Q的轨迹与线段MN形成的封闭图形的面积为：S故答案为：【点评】本题考查立体几何中的轨迹问题，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题有4小题，共36分）19（8分）

23、分别解答下列两题：（）已知x0，y0，且2x+5y20，求xy的最大值（）已知ab0，cd0，k0，求证：【分析】（1）利用基本不等式即可求出xy的最小值，（2）根据不等式的基本性质即可证明【解答】解：（1）x0，y0，且2x+5y20，xy（2x5y）（）210010，当且仅当2x5y，即x5，y2时取等号，故xy的最大值为10，证明（）ab0，cd0，cd0，acbd0，0，k0，【点评】本题考查基本不等式、不等式的基本性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（8分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点（）求证：AB1面A1BD；（）求二面角AA1

24、DB的余弦【分析】（）取BC中点O，连结AO，由已知条件推导出AO平面BCC1B1，连结B1O，则B1OBD，AB1BD，AB1A1B，由此能证明AB1平面A1BD（）设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GFA1D于F，连结AF，则AFG为二面角AA1BB的平面角，由此能求出二面角AA1DB的余弦值【解答】（）证明：取BC中点O，连结AO，ABC为正三角形，AOBC，正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，AO平面BCC1B1，连结B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，B1OBD，AB1BD，在正方形ABB1A1中，AB1A1B，AB1平面

25、A1BD（）解：设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GFA1D于F，连结AF，由（）得AB1平面A1BD，AFG为二面角AA1BB的平面角，在AA1D中，由等面积法可求得AF，又AG，sin，cosAFG二面角AA1DB的余弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养21（10分）已知圆C1：x2+y22x80关于直线l1：yx+1对称的圆为C（I）求圆C的方程；（）过点（1，0）作直线l与圆C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在直线l，使得AOB90？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由【分

26、析】（）求出圆C的圆心（1，2），半径为3，再写出标准方程；（）通过经过直线l与圆C1的圆的圆心在AB上，且经过原点，列方程解得【解答】解：（）圆C1：（x1）2+y29，圆心C1（1，0），半径为3，因为C1关于直线yx+1对称，所以C（1，2），圆C的方程为（x+1）2+（y2）29，（）假设存在直线l，显然直线l有斜率，设直线l：yk（x1），设经过直线l和圆C的圆的方程为：（x+1）2+（y2）29+k（x1）y0即x2+y2+（2+k）x（4+）y4k0，依题意该圆过原点且圆心在直线l上，解得4，k1，所以存在直线l：yx1【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题22（10分）

27、如图，正方形ABCD中，边长为2，E为AB中点，F是边BC上的动点（）将ADE沿DE翻折90到SDE，求二面角SDCE的正切值；（）若BF，将ADE沿DE翻折到SDE，BEF沿EF翻折到SEF，接DF，设直线DS与平面DEF所成角为，求sin的最大值【分析】（）过S作SFDE于F，过F作FMDC于M，连接SM，可得SMF为二面角SDCE的平面角求得DF可得MFDFsinEDC，即可（）设S在面AEF上的射影为O，连接DO，则SDO为直线DS与平面DEF所成角设BFx，（），则CF2x可得 SDSF，利用VSDEFVEDFS，1（1+）SOSO可得sin令，t（0，利用函数单调性求解【解答】解：

28、（）如图1，过S作SFDE于F，过F作FMDC于M，连接SM，面SDE面BCDE，面SDE面BCDEDE，SF面BCDE可得SMF为二面角SDCE的平面角在RtDAE中，AD2，AE1，A900，DFMFDFsinEDC，tan二面角SDCE的正切值为：（）设S在面AEF上的射影为O，连接DO，则SDO为直线DS与平面DEF所成角SESD，SESB，SE面DSF设BFx，（），则CF2x在DSF中，DS2，SFx，DF可得cosSDSF，VSDEFVEDFS，1（1+）SOSOsin，令，t（0，sin，函数f（t）t+在（0，）递减，当t，即x2时sin最大，最大值为【点评】本题考查了空间二面角、线面角的求解，考查了计算能力、函数思想，属于难题