1、2018-2019学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在空间直角坐标系中，点（1，2，3）与点（1，2，3）（）A关于xOy平面对称B关于xOz平面对称C关于yOz平面对称D关于x轴对称2（5分）圆x2+y22与圆x2+y2+2x2y0的位置关系是（）A相交B内切C外切D相离3（5分）“xa“是“x|a|“的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）给定两个命题：为“若ab，则a2b2”的逆否命题；为“若x3，则x2+x60”的否命题则以下判
2、断正确的是（）A为真命题，为真命题B为假命题，为假命题C为真命题，为假命题D为假命题，为真命题5（5分）设l，m是两条异面直线，下列命题中正确的是（）A存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面B存在与l，m都垂直的直线，不存在与l，m都平行的平面C不存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面D不存在与l，m都垂直的直线，不存在与l，m都平行的平面6（5分）已知f（x），则f（）（）A2ln2B2+ln2C2ln2D2+ln27（5分）如图，在空间四边形ABCD中，ABDCBD90，ABC45，BCBD1，AB，则异面直线AB与CD所成角的大小是（）A90B60C45D308（
3、5分）经过坐标原点O的直线l与曲线y|sinx|相切于点P（x0，y0）若x0（，2），则（）Ax0+cosx00Bx0cosx00Cx0+tanx00Dx0tanx009（5分）已知椭圆+1（ab0）的右焦点是F，O为坐标原点若椭圆上存在一点P，使POF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能是（）ABCD10（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为线段A1D1、BC上的动点，设直线EF与平面AC、平面BC1所成角分别是、，则（）A，（tan）minB，max45C，max45D，min45二、填空题（每题4分，满分40分，将答案填在答题纸上）11（6分）已知直线l：m2x+m
4、y50，若l的倾斜角为45，则实数m ；若直线l与直线x2y10垂直，则实数m 12（6分）已知函数f（x）x33x，则f（x）在x0处的切线方程为 ；单调递减区间是 13（6分）某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为2的正方形，侧视图是等腰直角三角形则该几何体的最长的棱的长度为 ；该几何体的体积为 14（6分）如图，已知抛物线C：y28x，则其准线方程为 ；过抛物线C焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AF|3，则|BF| 15（6分）若函数f（x）ex（x2+
5、axa）在R上单调递减，则实数a的值为 16（6分）过曲线C1：的左焦点F1作曲线C2：x2+y2a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y22px（p0）于点N，其中C1、C3有一个共同的焦点，若|MF1|MN|，则曲线C1的离心率为 17（4分）已知矩形ABCD，AB，AD1，现将ACD沿对角线AC向上翻折，若翻折过程中BD的长度在|，|范围内变化，则点D的运动轨迹的长度是 三、解答题（本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（12分）已知平面上有两点A（1，0），B（1，0）（）求过点B（1，0）的圆（x3）2+（
6、y4）24的切线方程；（）若P在圆（x3）2+（y4）24上，求AP2+BP2的最小值，及此时点P的坐标19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1CAB，侧面BCC1B1为菱形（1）求证：平面ABC1平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE平面ABC120（12分）如图，在三棱锥ABCD中，AB垂直于平面BCD，BCCD，BCCD，ABBD，点E，G分别为AD，BD的中点，点F为AC上一点，AFAC，直线CG平面BEF（）求的值；（）求直线FG和平面BEF所成角的正弦值21（12分）已知椭圆C：+1（ab0），右焦点F2（2，0），点（，1）在椭
7、图上（）求椭圆的方程；（）设P（x0，y0）（y00）为椭圆C上一点，过焦点F1，F2的弦分别为PA，PB，设1，2，若12，求2的值22（12分）已知函数f（x）x32x|xa|，其中x2，2（）当a0时，求f（x）的最大值和最小值；（）当a2时，证明：f（x）在2，2上有且仅有一个极大值点和一个极小值点（分别记为x1，x2），且为定值2018-2019学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在空间直角坐标系中，点（1，2，3）与点（1，2，3）（）A关于xOy
8、平面对称B关于xOz平面对称C关于yOz平面对称D关于x轴对称【分析】在空间直角坐标系中，点（a，b，c）与点（a，b，c）关于yOz平面对称【解答】解：在空间直角坐标系中，点（1，2，3）与点（1，2，3）关于yOz平面对称故选：C【点评】本题考查空间中点的对称的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）圆x2+y22与圆x2+y2+2x2y0的位置关系是（）A相交B内切C外切D相离【分析】根据圆心距小于两圆半径之和可得相交【解答】解：圆心分别为（0，0），（1，1），半径分别为，圆心距为：，两圆半径之和为2所以两圆相交故选：A【点评】本题考查了圆与圆的位
9、置关系及其判定，属中档题3（5分）“xa“是“x|a|“的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据绝对值的意义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若a0，由x|a|得xa，若a0，则由x|a|得xa，此时xaa成立，即必要性成立，当a0时，不妨设a1，则由x1，不一定推出x|1|，即充分性不成立，则“xa“是“x|a|“的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键4（5分）给定两个命题：为“若ab，则a2b2”的逆否命题；为“若x3，则x2+x60”的否命题则以下判断正确的是（
10、）A为真命题，为真命题B为假命题，为假命题C为真命题，为假命题D为假命题，为真命题【分析】由原命题和逆否命题等价，可判断；写出命题的否命题，取x2，计算可判断【解答】解：若ab，则a2b2为真命题，可得其逆否命题也为真命题，故为真命题；“若x3，则x2+x60”的否命题为“若x3，则x2+x60”，取x2，可得x2+x60，故为假命题故选：C【点评】本题考查四种命题的形式和真假判断，注意运用相互关系和反例法，考查推理能力，属于基础题5（5分）设l，m是两条异面直线，下列命题中正确的是（）A存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面B存在与l，m都垂直的直线，不存在与l，m都平行的平面C
11、不存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面D不存在与l，m都垂直的直线，不存在与l，m都平行的平面【分析】在正方体ABCD中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，AB和CC1是异面直线，BCAB且BCCC1；AB平面MNPQ，CC1平面MNPQ【解答】解：在正方体ABCD中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，AB和CC1是异面直线，BCAB且BCCC1；AB平面MNPQ，CC1平面MNPQ由l，m是两条异面直线，知：存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思
12、想，是中档题6（5分）已知f（x），则f（）（）A2ln2B2+ln2C2ln2D2+ln2【分析】求函数的导数，令x，代入求解即可【解答】解：f（x）（），则函数的导数为f（x）（），则f（）（）（2+ln2）2+ln2，故选：D【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据导数的运算法则进行求导是解决本题的关键7（5分）如图，在空间四边形ABCD中，ABDCBD90，ABC45，BCBD1，AB，则异面直线AB与CD所成角的大小是（）A90B60C45D30【分析】在平面BCD内过B作BGCD，且BGCD，则ABG为异面直线AB与CD所成角，求解三角形得到BG，AG的长度，结合已知AB，可得A
13、BG为等边三角形，即ABG60，即异面直线AB与CD所成角的大小是60【解答】解：如图，在平面BCD内过B作BGCD，且BGCD，则ABG为异面直线AB与CD所成角，连接AC，AG，CG，在BCD中，由CBD90，BCBD1，可得CD，BG在ABC中，ABC45，BC1，AB，由余弦定理可得由ABDCBD90，可得BD平面ABC，则CG平面ABC，可得ACG90在RtACG中，可得AG，又AB，ABG为等边三角形，即ABG60异面直线AB与CD所成角的大小是60故选：B【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题8（5分）经过坐标原点O的直线l与曲线y|sinx|
14、相切于点P（x0，y0）若x0（，2），则（）Ax0+cosx00Bx0cosx00Cx0+tanx00Dx0tanx00【分析】由题意可得得直线与ysinx相切于P，求得函数的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，结合同角基本关系式，即可得到结论【解答】解：经过坐标原点O的直线l与曲线y|sinx|相切于点P（x0，y0），若x0（，2），可得直线与ysinx相切于P，由ysinx的导数ycosx，可得cosx0，即有x0tanx0，即为x0tanx00，故选：D【点评】本题考查导数的几何意义，考查直线的斜率公式，以及同角基本关系式，考查运算能力，属于基础题9（5分）已知椭圆+1（ab0）
15、的右焦点是F，O为坐标原点若椭圆上存在一点P，使POF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能是（）ABCD【分析】由题意画出图形，然后分类求解得答案【解答】解：如图，当OFB90时，则，即b2a2c2ac，e2+e10，解得e（舍），或e；当POF90时，bc，则b2a2c2c2，得e；当OPF90时，以OF为直径的圆的方程为，联立，得c2x2a2cx+a2b20由a4c24a2b2c20，得a24b2a24（a2c2）0，即，可得，1），1）椭圆的离心率不可能是故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题10（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分
16、别为线段A1D1、BC上的动点，设直线EF与平面AC、平面BC1所成角分别是、，则（）A，（tan）minB，max45C，max45D，min45【分析】过E作EM平面AC，交AD于M，过E作EN平面BC1，交B1C1于N，连结MF，NF，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为a，则EMENa，MFa，NFa，EFM，EFN，从而tan1，进而max45，再由四边形EMFN的四个内角都是90，能推导出【解答】解：过E作EM平面AC，交AD于M，过E作EN平面BC1，交B1C1于N，连结MF，NF，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为a，则EMENa，MFa，NFa，EFM，EFN，ta
17、n1，max45，在正方体ABCDA1B1C1D1中，EM平面AC，EN平面BC1，四边形EMFN的四个内角都是90，max45，故选：C【点评】本题考查线面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题二、填空题（每题4分，满分40分，将答案填在答题纸上）11（6分）已知直线l：m2x+my50，若l的倾斜角为45，则实数m1；若直线l与直线x2y10垂直，则实数m2【分析】求出直线的斜截式方程，结合直线斜率和倾斜角的关系进行求解即可得m，结合直线垂直与斜率关系进行求解即可【解答】解：直线的倾斜角为45，直线的斜率ktan451，即直线斜率存在，
18、则m0，则直线的斜截式方程为ymx+，即m1，得m1，直线x2y10的斜截式方程为yx，直线斜率为，直线l的斜截式方程为ymx+，直线斜率km，若直线l与直线x2x10垂直，则m1，即m2，故答案为：1，2【点评】本题主要考查直线斜率和倾斜角的关系，结合直线垂直于斜率的关系是解决本题的关键12（6分）已知函数f（x）x33x，则f（x）在x0处的切线方程为y3x；单调递减区间是（1，1）【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线方程；由导数小于0，可得减区间【解答】解：函数f（x）x33x的导数为f（x）3x23，可得f（x）在x0处的切线斜率为3，切点为（0，0），则切线的方
19、程为y3x；由3x230，可得1x1，可得减区间为（1，1）故答案为：y3x，（1，1）【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查方程思想和运算能力，属于基础题13（6分）某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为2的正方形，侧视图是等腰直角三角形则该几何体的最长的棱的长度为；该几何体的体积为【分析】首先利用几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积和勾股定理的应用公式求出结果【解答】解：根据几何体的三视图，复原为几何体是：下底为边长为2的长方形，高为的四棱锥体，所以：最长的棱长为l几何体的体积为：V，故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，主
20、要考察几何体的体积公式的应用和相关的运算问题的应用，属于基础题型14（6分）如图，已知抛物线C：y28x，则其准线方程为x2；过抛物线C焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AF|3，则|BF|6【分析】由抛物线方程求得p，进一步求得的值，则抛物线的准线方程可求；再由已知结合抛物线性质求解|BF|的值【解答】解：由抛物线C：y28x，得p4，抛物线的准线方程为x2；设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义知：|AF|，|BF|，且|AF|+|BF|AB|，x1+x2|AB|p，又，由抛物线的性质可得：，又|AF|3，|BF|6故答案为：x2；6【点评】本题考查抛物线的方程及其简单
21、性质，是基础题15（6分）若函数f（x）ex（x2+axa）在R上单调递减，则实数a的值为2【分析】求出函数的导数，问题转化为x2+（a2）x2a0在R恒成立，结合二次函数的性质求出a的值即可【解答】解：f（x），若f（x）在R递减，则x2+（2a）x+2a0在R恒成立，即x2+（a2）x2a0在R恒成立，故（a2）2+8a0恒成立，故（a+2）20恒成立，故a2，故答案为：2【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道常规题16（6分）过曲线C1：的左焦点F1作曲线C2：x2+y2a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y22px（p0）于点N，其中C1
22、、C3有一个共同的焦点，若|MF1|MN|，则曲线C1的离心率为【分析】由题意可知根据根据三角形相似，求得，即b2ac，则c2a2ac0，由双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率【解答】解：设双曲线C1的右焦点F2，作NA抛物线C2的准线于点A，则易得：丨NF1丨2丨MF1丨2b，丨NF2丨2丨MO丨2a丨AN丨，由RtF1MORtNAF1，则，b2ac，则c2a2ac0，由e，则e2e10，e1曲线C1的离心率故答案为：【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，相似三角形的性质，中位线定理，考查计算能力，属于中档题17（4分）已知矩形ABCD，AB，AD1，现将A
23、CD沿对角线AC向上翻折，若翻折过程中BD的长度在|，|范围内变化，则点D的运动轨迹的长度是【分析】过D作DEAC，垂足为E，则D点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧，以E为原点建立坐标系，设二面角DACD的大小为，用表示出B和D的坐标，利用距离公式计算的范围，从而确定圆弧对应圆心角的大小，进而计算出圆弧长【解答】解：过D作DEAC，垂足为E，连接BE，DE矩形ABCD中，AB，AD1，DE，BE2AB2+AE22ABAEcos303+2，则BED点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧DED为二面角DACD的平面角以E为原点，以EA，ED，ED为坐标轴建立空间直角坐标系Exyz，设DED，则D（
24、0，cos，sin），B（1，0）BD，解得cos，D点轨迹的圆心角为，D点轨迹的长度为故答案为：【点评】本题考查了空间距离的计算，建立坐标系用表示出BD的长是解题的关键，属于难题三、解答题（本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（12分）已知平面上有两点A（1，0），B（1，0）（）求过点B（1，0）的圆（x3）2+（y4）24的切线方程；（）若P在圆（x3）2+（y4）24上，求AP2+BP2的最小值，及此时点P的坐标【分析】（）根据题意，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合即可得答案；（）根据题意，设P（m，n），分析可得AP2+BP2（
25、m+1）2+n2+（m1）2+n22（m2+n2）+2，分析（m2+n2）的几何意义，结合直线与圆的位置关系，分析可得答案【解答】解：（）根据题意，圆（x3）2+（y4）24的圆心为（3，4），半径r2，分2种情况讨论：，当直线的斜率不存在时，直线方程为x1，与圆相切，符合题意，当直线的斜率存在时，设切线的方程为yk（x1），则有2，解可得k，此时切线的方程为y（x1），即3x4y30，综合可得：切线的方程为x1或3x4y30；（）根据题意，设P（m，n），则AP2+BP2（m+1）2+n2+（m1）2+n22（m2+n2）+2，又由OP，则当OP最小时，AP2+BP2取得最小值，又由P在圆（
26、x3）2+（y4）24上，则OPmin523，即（m2+n2）的最小值为9，此时AP2+BP2取得最小值，且其最小值为29+220；此时m3，n3，即P的坐标为（，）【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1CAB，侧面BCC1B1为菱形（1）求证：平面ABC1平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE平面ABC1【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABC1平面BCC1B1；（2）根据线面平行的判定定理进行证明即可【解答】解：（1）因三棱柱ABCA1B1C1的侧面B
27、CC1B1为菱形，故B1CBC12分又B1CAB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，故B1C平面ABC15分因B1C平面BCC1B1，故平面ABC1平面BCC1B17分（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE又D为A1C1的中点，故DFAC1，EFAB因DF平面ABC1，AC1平面ABC1，故DF面ABC110分同理，EF面ABC1因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF面ABC112分因DE平面DEF，故DE面ABC114分【点评】本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键20（12分）如图，在三棱锥ABCD中，AB垂直于
28、平面BCD，BCCD，BCCD，ABBD，点E，G分别为AD，BD的中点，点F为AC上一点，AFAC，直线CG平面BEF（）求的值；（）求直线FG和平面BEF所成角的正弦值【分析】（）连结AG，交BE于P，连结PF，推导出CGPF，由此能求出结果（）以B为原点，BD，BA所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线FG和平面BEF所成角的正弦值【解答】解：（）连结AG，交BE于P，连结PF，CG平面BEF，CG平面ACG，平面ACG平面BEFPF，CGPF，在ACG中，在ACG中，点E，G分别为AD，BD的中点，（）如图，以B为原点，BD，BA所在直线分别为y轴，z轴，建
29、立空间直角坐标系，设AB2，则B（0，0，0），E（0，1，1），F（，），G（0，1，0），（0，1，1），（，），G（0，1，0），设平面BEF的法向量（x，y，z），则，取y1，得（0，1，1），设直线FG和平面BEF所成角为，（），sin直线FG和平面BEF所成角的正弦值为【点评】本题考查实数值的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21（12分）已知椭圆C：+1（ab0），右焦点F2（2，0），点（，1）在椭图上（）求椭圆的方程；（）设P（x0，y0）（y00）为椭圆C上一点，过焦点F1，F2的
30、弦分别为PA，PB，设1，2，若12，求2的值【分析】（）由题意可得c2，即a2b24，代入已知点的坐标，可得a，b的方程组，解方程可得椭圆方程；（）设直线AP：xmy2，BP：xny+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，消元可得m的值，即有P的坐标，化简整理可得822652+80，解方程可得所求值【解答】解：（）由题意可得c2，即a2b24，又+1，解得a，b，则椭圆方程为+1；（）设直线AP：xmy2，BP：xny+2，A（x1，y1），B（x2，y2），2，可得y02y1，2，可得y02y2，（21），联立xmy2和x2+3y26，可得
31、（3+m2）y24my20，y0+y1，y0y1，同理可得y0+y2，y0y2，由y02y1，可得y1，2y12，消去y1，可得m2，由y00，可得m，可得P（，），由y02y2，代入可得（12）y2，2y22，可得，又n，即有822652+80，解得28或（舍去），所以28【点评】本题考查椭圆方程的求法，以及直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题22（12分）已知函数f（x）x32x|xa|，其中x2，2（）当a0时，求f（x）的最大值和最小值；（）当a2时，证明：f（x）在2，2上有且仅有一个极大值点和一个极小值点（分别记为x1，x2）
32、，且为定值【分析】（）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值（）通过讨论a的范围，求出f（x）的分段函数的形式，根据导函数的单调性得到x1，x2是方程f（x）3x2+4x2a0的两个根，求出x1+x2，x1x2，以及f（x1）f（x2）（x1x2）（），+，从而求出的值【解答】解：（）当a0时，f（x）x32x|x|，考虑x0时，f（x）x32x2，f（x）3x（x），当x时，f（x）0，当0x时，f（x）0，故f（x）在（0，）递减，在（，2）递增，又根据奇函数的对称性知：f（x）在（，）递减，在（2，），（，2）递增，而f（2）f（2）0，
33、f（），f（），故f（x）的最大值是f（），最小值是f（）；（）当a2时，f（x），当ax2时，f（x）3x24x+2a3+2a0，故f（x）在（a，2）递增，没有极值点，当2xa时，f（x）3x2+4x2a，f（2）42a0，f（0）2a0，f（a）3a2+2a0，故f（x）在（2，a）有2个根x1，x2，其中x1（2，0），x2（0，a），则f（x）在（2，x1）和（x2，a）递增，在（x1，x2）递减，又f（x）在（a，2）递增，故f（x）在（2，x1）递增，在（x1，x2）递减，在（x2，2）递增，故f（x）在（2，2）上有且只有一个极大值点x1和一个极小值点x2，x1，x2是方程f（x）3x2+4x2a0的两个根，x1+x2，x1x2，f（x1）f（x2）（+22ax1）（+22ax2）（x1x2）（+x1x2+）+2（x1+x2）2a（x1x2）（+2a）（x1x2）（），又4x1x2+，为定值【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题
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