1、2018-2019学年浙江省绍兴市上虞区高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）集合A0，2，a，B1，a2，若AB0，1，2，4，16，则a的值为（）A0B1C2D42（4分）双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A1B2CD3（4分）若实数x，y满足，则2x+y的最大值为（）A3B4C5D64（4分）若实数a，b满足loga2logb2，则下列关系中不可能成立的是（）A0ba1B0a1bCab1D0b1a5（4分）在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出来体积计算原理：“幂势相同，则积不容异”其意思
2、是用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等则两个几何体的体积必然相等根据祖暅原理，“两个几何体A，B的体积不相等”是“A，B在等高处的截面面积不恒相等”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（4分）函数yax2+a与y（a0）在同一坐标系中的图象可能是（）ABCD7（4分）已知圆（x+1）2+y212的圆心为C，点P是直线l：mxy5m+40上的点，若圆C上存在点Q使CPQ60，则实数m的取值范围是（）A1，1+B（，11+，+）C0，D（，0，+）8（4分）已知椭圆C1：与双曲线C2：有相同的焦点F1，F2，点P使两曲线的一个公共点，且
3、F1PF260，若椭圆离心率e1，则双曲线C2的离心率e2（）ABC2D39（4分）在ABC中，ACB，ACBC，现将ABC绕BC所在直线旋转至PBC，设二面角PBCA的大小为，PB与平面ABC所成角为，PC与平面PAB所成角为，若0，则（）ABC0DZ10（4分）已知数列an满足a1，an1+lnan+1，nN*，设Tn为数列an的前n项之积，则T19（）A（0，B（，C（，D（，1）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）sin ； 12（6分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ；表面积为 &
4、nbsp; 13（6分）复数zai且（a，bR，i为虚数单位），则ab ；|z| 14（6分）在ABC中，D在边AB上，CD平分ACB，若AC2，BC1，且CD，则AB ；ABC的面积为 15（4分）已知正数x，y满足x+2y3，则的最小值 16（4分）已知平面向量，满足|1，|1，|（+）|，则|的最大值为 17（4分）已知函数f（x）有四个零点，则实数a的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）已知函数f（x）sincos+cos
5、2（）求函数f（x）的最大值，并求f（x）取最大值时x的取值集合；（）若f（）且（0，），求cos19（15分）如图，四棱锥PABCD中，ABCBCD90，PAD是以AD为底的等腰直角三角形，AB2BC2CD4，E为BC中点，且PE（）求证：平面PAD平面ABCD；（）求直线PE与平面PAB所成角的正弦值20（15分）已知数列an中，a12，其前n项和Sn满足：Sn2an+n3（）求数列an的通项公式；（）令bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn21（15分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点F（0，1）（）求抛物线C的方程；（）P是抛物线C上一点，过点P的直线交C与另一
6、点Q，满足PQ与C在点P处的切线垂直，求PFQ面积的最小值，并求此时点P的坐标22（15分）已知函数f（x）x2（xa），xR，2a2（）当a1时，求曲线yf（x）在点 （1，f （1）处的切线方程；（）设f（x）是f（x）的导函数，函数g（x），求g（x）在x2，2时的最小值2018-2019学年浙江省绍兴市上虞区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）集合A0，2，a，B1，a2，若AB0，1，2，4，16，则a的值为（）A0B1C2D4【分析】根据题意，由并集的计算方法，结合a与
7、a2的关系，易得，即可得答案【解答】解：A0，2，a，B1，a2，AB0，1，2，4，16a4，故选：D【点评】本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题2（4分）双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A1B2CD【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论【解答】解：由题得：其焦点坐标为（4，0），（4，0），渐近线方程为yx所以焦点到其渐近线的距离d2故选：D【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题3（4分）若实数x，y满足，则2x+y的最大值为（）A3B4C5D6【
8、分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）设z2x+y得y2x+z，平移直线y2x+z，由图象可知当直线y2x+z经过点B时，直线y2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即B（1，2），代入目标函数z2x+y得z21+24即目标函数z2x+y的最大值为4故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法4（4分）若实数a，b满足loga2logb2，则下列关系中不可能成立的是（）A0ba1B0a1bCab1D0b1a【分析】根据题意，
9、结合对数函数的性质，依次分析选项，综合即可得答案【解答】解：根据题意，实数a，b满足loga2logb2，对于A，若a，b均大于0小于1，依题意，必有0ba1，故A有可能成立；对于B，若logb20loga2，则有0a1b，故B有可能成立；对于C，若a，b均大于1，由loga2logb2，知必有ab1，故C有可能成立；对于D，当0b1a时，loga20，logb20，loga2logb2不能成立，故选：D【点评】本题考查对数函数的单调性，注意分类讨论a、b的值，属于中档题5（4分）在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出来体积计算原理：“幂势相同，则积不容异”其意思是用一组平行平面截两个
10、几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等则两个几何体的体积必然相等根据祖暅原理，“两个几何体A，B的体积不相等”是“A，B在等高处的截面面积不恒相等”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】此题考察命题的基础知识【解答】解：两个几何体A，B的体积不相等A，B在等高处的截面面积不恒相等，是幂势相同，则积不容异的逆否命题，所以正确；由立体几何的知识，正反放置的两个相同的圆锥在等高处的截面面积不恒相等，但是他们体积相等，所以两个几何体A，B的体积不相等A，B在等高处的截面面积不恒相等错误故选：A【点评】分清充分条件和必要条件，合理应用原命题与逆否命题的关系，此
11、题属于基础题6（4分）函数yax2+a与y（a0）在同一坐标系中的图象可能是（）ABCD【分析】由二次函数yax2+a中一次项系数为0，我们易得函数yax2+a的图象关于Y轴对称，然后分当a0时和a0时两种情况，讨论函数yax2+a的图象与函数y（a0）的图象位置、形状、顶点位置，可用排除法进行解答【解答】解：由函数yax2+a中一次项系数为0，我们易得函数yax2+a的图象关于Y轴对称，可排除A；当a0时，函数yax2+a的图象开口方向朝上，顶点（0，a）点在X轴上方，可排除D；当a0时，函数yax2+a的图象开口方向朝下，顶点（0，a）点在X轴下方，函数y（a0）的图象位于第二、四象限，可
12、排除B；故选：C【点评】本题考查的知识点是函数的表示方法3图象法，熟练掌握二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系是解答本题的关键7（4分）已知圆（x+1）2+y212的圆心为C，点P是直线l：mxy5m+40上的点，若圆C上存在点Q使CPQ60，则实数m的取值范围是（）A1，1+B（，11+，+）C0，D（，0，+）【分析】问题转化为C到直线l的距离d4，【解答】解：如图所示：过P作圆C的切线PR，切点为R，则CPQCPR，sin60sinCPR，即CP4有解，CPmin4，则C到直线l的距离d4，4，解得0m，故选：C【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题8（4分）已知椭圆C1：与
13、双曲线C2：有相同的焦点F1，F2，点P使两曲线的一个公共点，且F1PF260，若椭圆离心率e1，则双曲线C2的离心率e2（）ABC2D3【分析】设|PF1|s，|PF2|t，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m与c的关系，结合离心率公式，可得e1，e2的关系，计算可得所求值【解答】解：设|PF1|s，|PF2|t，P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得s+t2a，st2m，解得sa+m，tam，在三角形F1PF2中，F1PF260，可得4c2s2+t22stcos60a2+m2+2am+a2+m22am（a2m2），即有a2+3m24c2，可得+4，即为+4
14、，由e1，可得e2，故选：B【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题9（4分）在ABC中，ACB，ACBC，现将ABC绕BC所在直线旋转至PBC，设二面角PBCA的大小为，PB与平面ABC所成角为，PC与平面PAB所成角为，若0，则（）ABC0DZ【分析】由题意画出图形，由线面角的概念可得的范围，得到C正确，取特殊情况说明A，B，D错误【解答】解：如图，ABC为等腰直角三角形，ACBC，将ABC绕BC所在直线旋转至PBC，则PCBC，可得BC平面PAC，二面角PBCA的大小ACP，PB是平面ABC的一条斜线，则PC与平面
15、ABC垂直时，PB与平面ABC所成角最大，则的范围为（0，故C正确；此时，故A错误；当PC与平面ABC垂直时，三棱锥CPAB满足CACB，CACP，CBCP，CACBCP，则PAPBAB，设ACBC1，则PAPBAB，C在平面PAB的射影为PAB的中心，求得OP，即PC与平面PAB所成角的余弦值cos，则，故D错误；当无限接近0时，无限接近，故B错误综上，正确的选项是C故选：C【点评】本题考查空间角及其求法，考查空间想象能力与思维能力，属难题10（4分）已知数列an满足a1，an1+lnan+1，nN*，设Tn为数列an的前n项之积，则T19（）A（0，B（，C（，D（，1）【分析】该题首先从
16、an1+lnan+1切入，通过算a2，a3可以猜想an，然后用数学归纳法证明，然后判断数列an的单调性，最后用放缩法找到T19的范围【解答】解：a1，an1+lnan+1，猜想an，下面用数学归纳法证明：证明：当n1时，a1，显然成立；假设nk时，ak成立，则当nk+1时，ak1+lnak+1，lnak+1，假设成立；由知，an，T19a1a2a19，a1，an1+lnan+1，an0，故选：A【点评】本题考查数列的乘积运用，考查学生的分析与计算能力，属于难题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）sin；9【分析】利用诱导公式，对数的运算性质即可求解【
17、解答】解：sinsin（3）sin；229故答案为：，9【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值以及对数的运算，考查了转化思想，属于基础题12（6分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为8；表面积为32【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，底面ABC为直角三角形，ACBC，AC4，BC3，AB5，侧棱PB底面ABC，且PB4然后由三棱锥体积公式与表面积公式求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面ABC为直角三角形，ACBC，AC4，BC3，AB5，侧棱PB底面ABC，且PB4则；表面积为S32故答案为：8；32【点评】本题考查由三视图求面
18、积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题13（6分）复数zai且（a，bR，i为虚数单位），则ab6；|z|【分析】把zai代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合复数相等的条件即可求出a，b的值，再由复数模的公式计算得答案【解答】解：由zai，得1+bi，则，解得ab6；z3i，|z|故答案为：6；【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题14（6分）在ABC中，D在边AB上，CD平分ACB，若AC2，BC1，且CD，则AB；ABC的面积为【分析】设BDx，则AD2x，由角平分线的性质可得ACDBCD，由余弦定理可解得x，可得AB的值，由
19、余弦定理可求cosC，结合范围C（0，），可求C，sinC，利用三角形的面积公式即可求得SABC【解答】解：由题意，如图，设BDx，则AD2x，由于ACDBCD，所以，由余弦定理可得：，即：，解得：x，可得：BD，AD，ABAD+DB由于cosC，又C（0，），可得：C，sinC，可得：SABCACBCsinC故答案为：，【点评】本题主要考查了角平分线的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题15（4分）已知正数x，y满足x+2y3，则的最小值【分析】根据条件可得，然后利用基本不等式求解即可【解答】解：x+2y3，当且仅当，即时取等号，的最小
20、值为故答案为：【点评】本题考查了基本不等式及其应用，关键掌握“1“的代换，属基础题16（4分）已知平面向量，满足|1，|1，|（+）|，则|的最大值为【分析】只有不等号左边有，当|为定值时，相当于存在的一个方向使得不等式成立适当选取使不等号左边得到最小值，且这个最大值不大于右边【解答】解：当|为定值时，|（+）|当且仅当与+同向时取最小值，此时|（+）|+|，所以|+|+|因为|1，所以（+）2+（）22（2+2）4，所以（|+|+|）2（+）2+（）2+2|+|2（+）2+（）28所以|+|+|2，当且仅当且与+同向时取等号故答案填2【点评】本题考察平面向量的最值问题，需要用到转化思想、基本
21、不等式等，综合性很强，属于中档题17（4分）已知函数f（x）有四个零点，则实数a的取值范围是（2，0）【分析】根据条件判断函数f（x）是偶函数，则函数f（x）有四个零点，等价为当x0时，f（x）有两个零点，利用参数分离法进行求解即可【解答】解：由条件可得f（x）是偶函数，根据対称性得x43x2ax0在（0，+）上有两个不同的实根，即ax33x在（0，+）上有两个不同的实根，等价为直线ya与曲线yx33x，（x0）有两个交点函数的导数y3x233（x+1）（x1），则当0x1时，y0此时函数；当x1时，y0即当x1时，函数取得极小值，此时极小值为y132要使ya与曲线yx33x，（x0）有两个交
22、点，则2a0，故实数a的取值范围是（2，0），故答案为：（2，0）【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合分段函数的表达式，判断函数是偶函数，以及，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）已知函数f（x）sincos+cos2（）求函数f（x）的最大值，并求f（x）取最大值时x的取值集合；（）若f（）且（0，），求cos【分析】（）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的最值，求出f（x）取最大值时x的取值集合（）根据f（）且（0，），求得，再利用两角
23、差的余弦公式求出cos【解答】解：（）令 ，可得 ，得x（）由，得，若，则，所以，【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最值，两角和差的三角公式的应用，属于中档题19（15分）如图，四棱锥PABCD中，ABCBCD90，PAD是以AD为底的等腰直角三角形，AB2BC2CD4，E为BC中点，且PE（）求证：平面PAD平面ABCD；（）求直线PE与平面PAB所成角的正弦值【分析】（） 过P作AD垂线，垂足为F，由PE2PF2+FE2得，PFE90又PFAD，可得PF平面ABCD，即可证明（）易得E到平面PAB距离等于F到平面PAB距离过F作AB垂线，垂足为G，在PFG中，过F作PG垂线，垂足
24、为Q，可证得：FQ平面PAB求得：，从而，即可求解【解答】解：（） 过P作AD垂线，垂足为F，则F为AD中点，EF3AD2，则有PE2PF2+FE2得，PFE90又PFAD，PF平面ABCD，平面PAD平面ABCD；（）EFAB，E到平面PAB距离等于F到平面PAB距离过F作AB垂线，垂足为G，在PFG中，过F作PG垂线，垂足为Q，可证得：FQ平面PAB由PFFGPGFQ，PF，FG1，PG求得：，从而，即直线PE与平面PAB所成角的正弦值为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的求解、是中档题20（15分）已知数列an中，a12，其前n项和Sn满足：Sn2an+n3（）求数列an的通项公
25、式；（）令bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn【分析】（）由Sn2an+n3，可得an12（an11），即数列an1时以1为首项公比为2的等比数列，即可求解（），当n2时，当n1时，即有【解答】解：（）由Sn2an+n3，于是，当n2时，anSnSn12an2an1+1，即an2an11，an12（an11），a111，数列an1时以1为首项公比为2的等比数列，即（），当n2时，当n1时，显然成立，综上，对于任意的nN*，都有【点评】本题考查了数列的递推式，等比数列的求和、放缩法，属于中档题21（15分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点F（0，1）（）求抛物线C的方程
26、；（）P是抛物线C上一点，过点P的直线交C与另一点Q，满足PQ与C在点P处的切线垂直，求PFQ面积的最小值，并求此时点P的坐标【分析】（）设抛物线C的方程是x2ay，根据焦点为F的坐标求得a，进而可得抛物线的方程（）设P（2t，t2），进而可得抛物线C在点P处的切线方程和直线PQ的方程，代入抛物线方程根据韦达定理可求得xQ，从而，又点F到直线PQ的距离，可得利用导数求解【解答】解：（）设抛物线C的方程是x2 ay，则，a4，故所求抛物线C的方程为x2 4y（）设P（2t，t2），由抛物线方程为，得，则，直线PQ方程为：联立方程，得，由，得从而又点F到直线PQ的距离令|t|x，x0，则，则，f（
27、x）在上递减，在上递增，PFQ面积的最小值为，此时点P坐标为【点评】本题主要考查抛物线的标准方程以及抛物线与直线的关系，考查了函数思想，属于中档题22（15分）已知函数f（x）x2（xa），xR，2a2（）当a1时，求曲线yf（x）在点 （1，f （1）处的切线方程；（）设f（x）是f（x）的导函数，函数g（x），求g（x）在x2，2时的最小值【分析】（）求函数的导数，当a1时，利用点斜式可求曲线yf（x）在点 （1，f （1）处的切线方程；（）分别讨论a，利用数形结合法，求函数g（x）的单调性可得函数的最值【解答】解：（）函数f（x）x2（xa），xR，2a2当a1时，f（x）x2（x1），
28、f'（x）3x22x，f'（1）1，又f（1）0，曲线（1，f（1）在点（1，f（1）处的切线方程为：yx1（）f（x）x3ax2，f'（x）3x22ax，由f（x）f'（x）x（x2（a+3）x+2a）0得：，x30，得：当2a2，a0时，g（x）x3，g（x）在2，2单调递增，g（x）ming（2）8；当2a0时，可得：，g（x）在2，x1单调递增，单调递减，单调递增，；当0a2时，可得，g（x）在2，0单调递增，单调递减，x1单调递增，单调递减，单调递增，84a，综上，故答案为：（）当a1时，求曲线yf（x）在点 （1，f （1）处的切线方程为：yx1；（）【点评】本题考查了导数的综合应用问题，函数曲线的切线，函数的最值，属于难题
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