1、26.1 反比例函数,第一课时,第二课时,人教版 数学 九年级 下册,26.1.2 反比例函数的图象和性质,初步认识反比例函数的图象和性质,第一课时,返回,2,（2）试一试，你能在坐标系中画出这个函数的图象吗？,刘翔在2004 年雅典奥运会110 m 栏比赛中以 12.91s 的成绩夺得金牌，被称为中国“飞人” .如果刘翔在比赛中跑完全程所用的时间为 t s，平均速度为v m/s .,（1）你能写出用t 表示v 的函数 表达式吗?,2. 结合图象分析并掌握反比例函数的性质.,1. 会用描点法画反比例函数的图象 .,素养目标,3. 体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法.,画出反比例函数
2、 与 的图象.,反比例函数的图象和性质,【想一想】,用“描点法”画函数图象都有哪几步？,列表,描点,连线,解：列表如下：,1,1.2,1.5,2,3,6,6,3,2,1.5,1.2,1,2,2.4,3,4,6,6,4,3,2.4,2, 12,12,注：x的值不能为零，但可以以零为基础，左右均匀、对称地取值。,O,2,描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出各点,5,6,x,y,4,3,2,1,1,2,3,4,5,6,3,4,1,5,6,1,2,3,4,5,6,连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可 得 的图象,x 增大,O,2,5,6,x,y,4,3,2,1,1,2,3,4,5,6
3、,3,4,1,5,6,1,2,3,4,5,6,观察这两个函数图象，回答问题：,【思考】,(1) 每个函数图象分 别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内， 随着x的增大，y 如何 变化？你能由它们的 解析式说明理由吗？,y 减 小,(3) 对于反比例函数 (k0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？,9,（1）由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与 x 轴、y 轴都不相交； （2）在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.,反比例函数 (k0) 的图象和性质：,归纳：,1. (1)函数 图象在第_象限，在每个象限内， y随x的增大而 _.,一、三,减小,(2)已知反比例函数 在
4、每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_.,m2,11,C,例1 反比例函数 的图象上有两点 A(x1，y1)，B(x2， y2)，且点A，B 均在该函数图象的第一象限部分，若 x1 x2，则 y1与y2的大小关系为 （ ）,解析：因为80，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 x1x2，可知y1，y2的大小关系.,利用反比例函数的性质比较大小,12,观 察 与 思 考,当 k =2，4，6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？,13,回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k0)的图象和性质吗
5、？,14,反比例函数 (k0) 的图象和性质：,（1）由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限，它们与x轴、y轴都不相交； （2）在每个象限内，y随x的增大而增大.,归纳：,15,反比例函数的图象和性质,形状,位置,增减性,图象的发展趋势,对称性,由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线;,当k0时,两支双曲线分别位于第一、三象限内; 当k0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内;,当k0时,在每一象限内, y随x的增大而减小; 当k0时,在每一象限内, y随x的增大而增大.,反比例函数的图象无限接近于x、y轴,但永远不能到达x、y轴.,（1）反比例函数的图象是轴对称图形，也是中心对称图形.直线y
6、=x和y=-x都是它的对称轴；（2）反比例函数 与 的图象关于x轴对称,也关于y轴对称.,16,2.（1）已知点 A（3，a），B（2，b），在双曲线 ，则 a_b(填、=或).,（2）已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数 （k0) 的图象上,则下列结论中正确的是( ) A.y1y2y3 B.y1y3y2 C.y3y1y2 D.y2y3y1,B,17,例2 已知反比例函数 ，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，求a的值.,解：由题意得a2+a7=1，且a10 解得 a=3.,利用反比例函数的图象和性质求字母的值,3. 已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增
7、大而减小，求 m 的值,解：由题意得 m210=1，且 3m80 解得m=3.,1.（2018怀化）函数y=kx3与 （k0）在同一坐标系内 的图象可能是（ ） A B C D,巩固练习,B,连接中考,2.（2018德州）给出下列函数：y=3x+2； ；y=2x2；y=3x，上述函数中符合条件“当x1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（ ） A B C D,B,1.（2018香坊区）对于反比例函数 ，下列说法 不正确的是（ ） A点（2，1）在它的图象上 B它的图象在第一、三象限 C当x0时，y随x的增大而增大 D当x0时，y随x的增大而减小,C,2.（2018上海）已知反比例函数 （k是
8、常数，k1） 的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是_,3. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 (1，12) 和点 (10，1.2)； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于二、四象限. 其中正确的是 (填序号).,(1),k1,(3),y3 y1y2,2. 已知反比例函数 y = mxm5，它的两个分支分别在第一、第三象限，求 m 的值.,解：因为反比例函数 y = mxm5 的两个分支分别在第一、第三象限，,所以有,解得 m=2.,点 (a1，y1)，(a1，y2)在反比例函数 (k0) 的图象上，若y1y2，求a的取值范围.,解：
9、由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小. a1a+1，无解； 当这两点分别位于图象的两支上时， y1y2，必有 y10y2. a10，a+10， 解得：1a1. 故 a 的取值范围为：1a1, 当这两点在图象的同一支上时，,y1y2，,k0，一、三象限,双曲线,k0，二、四象限,当k0时,在每一象限 内, y随x的增大而减小,当k0时,在每一象限 内, y随x的增大而增大,增减性,双曲线的两支无限靠近坐标轴，但无交点,对称性,既是轴对称图形也是中心对称图形,= (),= (）,=(),与 的图象关于x轴对称,也关于y轴对称,或,或,反比例函数的图象和性质 的综合运用,第二课时,返
10、回,28,二、四象限,一、三象限,位置,增减性,位置,增减性,y=kx ( k0 ),直线,双曲线,y随x的增大而增大,一、三象限,在每个象限， y随x的增大而减小,二、四象限,y随x的增大而减小,在每个象限， y随x的增大而增大,正比例函数和反比例函数的区别,用对比的方法去记忆效果如何？,3. 深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法.,1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.,2.能解决反比例函数与一次函数的综合问题,素养目标,已知反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)这个函数的图象分布在哪些象限? y随x的增
11、大如何变化? (2)点B(3，4)、C( ）和D（2，5）是否在这个 函数的图象上？,利用待定系数法确定反比例函数解析式,解：（1）因为点A（2,6）在第一象限，所以这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。,31,解：（2）设这个反比例函数的解析式为 ， 因为点A (2，6)在其图象上，所以有 ， 解得 k =12.,因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.,所以反比例函数的解析式为 .,32,方法总结：已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点所在的象限，然后确定反比例函数的性质.
12、或用待定系数法求出反比例函数的解析式，再判断图象性质；要判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，若满足左边右边，则在；若不满足左边右边，则不在,【讨论】已知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的性质?以及所给的点是否在该图象上?,1.已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3) (1) 求这个函数的表达式；,解： 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，,解得 k = 6. 这个函数的表达式为 .,34,(2) 判断点 B (1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由；,解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函
13、数的解析式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点C 在该函数的图象上,35,(3) 当 3 x 1 时，求 y 的取值范围,解： 当 x = 3时，y =2； 当 x = 1时，y =6，且 k 0， 当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小， 当 3 x 1 时，6 y 2.,36,解：（）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限,函数的图象在第一、第三象限，, m，,解得 m,（）m，在这个函数图象的任一支上，y随x的增大而减小，,当aa时，
14、bb,37,【思考】根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围?,注：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k0时，y随x的增大而增大，从而出现错误.,2. 如图，是反比例函数 的图象的一个分支，对于 给出的下列说法： 常数k的取值范围是 ； 另一个分支在第三象限； 在函数图象上取点 和 ， 当 时， ； 在函数图象的某一个分支上取点 和 ， 当 时， 其中正确的是_（在横线上填出正确的序号）,39,在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S
15、2的矩形，填写下页表格：,反比例函数中k的几何意义,40,5,P,S1,S2,4,4,S1=S2,S1=S2=k,5,4,3,2,1,4,3,2,3,2,4,5,1,Q,41,若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：,4,4,S1=S2,S1=S2=k,S1,S2,42,由前面的探究过程，可以猜想：,若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.,43,S,我们就 k 0 的情况给出证明：,设点 P 的坐标为 (a，b),A,B,点 P (a，b) 在函数 的图 象上，, ，即
16、ab=k., S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k；,若点 P 在第二象限，则 a0，,若点 P 在第四象限，则 a0，b0，, S矩形 AOBP=PBPA=a (b)=ab=k.,综上，S矩形 AOBP=|k|.,自己尝试证明 k 0的情况.,44,点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ= . 推理：QAO与QBO的面积和 k 的关系是 .,Q,对于反比例函数 ，,A,B,|k|,反比例函数的面积不变性,要 点 归 纳,45,3.如图，点B在反比例函数 (x0）的图象上，横坐标是1，过点B分别
17、向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，则矩形OABC的面积为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4,B,例1 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC垂直 x 轴于点C，且 AOC 的面积为2，求该反比例函数的表达式,解：设点 A 的坐标为(xA，yA)， 点A在反比例函数 的图象上， xAyAk， 反比例函数的表达式为,通过图形面积确定k的值,， k4，,47,4.如图所示，过反比例函数 （x0）的图象上一点A，作ABx轴于点B，连接AO.若SAOB=3,则k的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7,C,例2 如图，P，C是函数 (x0)图象上的任意两点，PA，CD 垂直于x 轴. 设POA
18、的面积为S1，则 S1 = ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2； POE 的面积 S3 和 S2 的大小 关系是S2 S3.,2,S1,S2,S3,利用k的性质判断图形面积的关系,49,A. SA SBSC B. SASBSC C. SA =SB=SC D. SASCSB,5. 如图，在函数 (x0)的图象上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则 ( ),C,50,y,D,B,A,C,x,例3 如图，点 A 是反比例函数 (x0)的图象上任意一点，AB/
19、x 轴交反比例函数 (x0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S四边形ABCD =_.,3,2,5,根据k的几何意义求图形的面积,方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.,51,6. 如图，函数 yx 与函数 的图象相交于A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则 四边形ACBD的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8,D,C,A,B,D,4,4,52,在同一坐标系中，函数 和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各
20、应满足什么条件？,k2 0 b 0,k1 0,k2 0 b 0,k1 0,53,k2 0 b 0,k1 0,k2 0,k1 0,在同一坐标系中，函数 和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？,54,例4 函数 y=kxk 与 的图象大致是( ),D.,x,y,O,y,y,x,B.,x,y,O,D,O,O,k0,k0,k0,k0,由一次函数增减性得k0,由一次函数与y轴交点知k0， 则k0,x,提示：可对 k 的正负性进行分类讨论.,根据k的值识别函数的图形,55,7.在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a0) 的图象可能是 ( ),B,56,
21、例5 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1y2 时，x 的取值范围为 .,23,解析：y1y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，,通过函数图形确定字母的取值范围,方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.,可知23.,57,8. 如图，直线y=k1x+b与双曲线 交于A、B两点， 其横坐标分别为1和5，则不等式 的解集 是_,1x5,58,例6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (3，4). 试求出它们的解析式，并画出图象.,由于这两个函数的图象交于点 P (3，4)， 则点P 的坐标分别满足这两个解析
22、式.,解：设 y=k1x 和 .,所以 ， .,解得 .,利用函数的交点解答问题,59,则这两个函数的解析式分别为 和 ， 它们的图象如图所示.,这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？,【想一想】,60,9. 反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 ,(2，6)，(2，6),解析：联立两个函数解析式解方程得：,解得：,61,1.（2019兰州）如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数 （x0）的图象上 S矩形OABC 6，则k ,6,A,B,C,2.（2018岳阳）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧）
23、，作BCy轴，垂足为点C，连结AB，AC （1）求该反比例函数的解析式； （2）若ABC的面积为6，求直线AB的表达式,解：（1）由题意得，k=xy=23=6，反比例函数的解析式为 （2）设B点坐标为（a，b），如图，作ADBC于D，则D（2，b） 反比例函数 的图象经过点B（a，b）， SABC . 设AB的解析式为y=kx+b， 将A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得 解得 ，,巩固练习, , ，,解得a=6，, ,B（6，1）,直线AB的解析式为 .,D,1.（2018无锡）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数 的图象上，且a0b，则下列结论一定正确的是（ ） Am+n
24、0 Bm+n0 Cmn Dmn,D,65,2. （2018连云港）已知A（4，y1），B（1，y2）是反比例函数 图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为_,y1y2,66,3. 在反比例函数 图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是_,k9,67,1.如图，正比例函数 与反比例函数 的图象 交于点A（2，3） （1）求k、m的值； （2）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围,（2）由图象可知，正比例函数值大于反比例函数值时：x2.,解：（1）将A（2，3）分别代入 y=kx 和 可得：3=2k 和 解得： ， m=6.,68,2. （2018贵港）如图，已知
25、反比例函数 （x0）的图象与一次函数 的图象交于A和B（6，n）两点 （1）求 k和n的值； （2）若点C（x，y）也在反比例函数 （x0）的图象上，求当2 x 6时，函数值 y的取值范围,69,解：（1）当x=6时， ， 点B的坐标为（6，1） 反比例函数 过点B（6，1）， k=61=6 （2）k=60， 当x0时，y随x值增大而减小， 当2 x 6时，1 y 3,70,如图，反比例函数 与一次函数 y =x + 2 的图象交于 A，B 两点. (1) 求 A，B 两点的坐标；,解：,解得,所以A(2，4)，B(4，2).,或,71,作ACx轴于C，BDx轴于D， 则AC=4，BD=2.,(2) 求AOB的面积.,解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)， OM=2.,M,C,D,SOMB=OMBD2=222=2，,SOMA=OMAC2=242=4，,SAOB=SOMB+SOMA=2+4=6.,72,面积问题,与一次函数的综合,反比例函数图象和性质的综合运用,面积不变性,反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称,判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,
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