1、2018-2019学年浙江省温州市环大罗山联盟高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1（4分）已知全集U0，1，2，3，4，5，6，集合A1，3，5，B2，3，4，则（UA）B（）A0，6B2，3，4，6C2，4D0，2，3，4，62（4分）满足“对定义域内任意实数x，y，f（xy）f（x）+f（y）”的函数可以是（）Af（x）x2Bf（x）elnxCf（x）log2xDf（x）2x3（4分）一个物体的运动方程为s1t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A7米/秒B6米/秒C5
2、米/秒D8米/秒4（4分）下面结论正确是（）A综合法是直接证明，分析法是间接证明B在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程C反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾D用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”5（4分）若x（e1，1），alnx，b（）lnx，celnx，则（）AcbaBbcaCabcDbac6（4分）以图中的8个点为顶点的三角形的个数是（）A42B48C45D567（4分）函数的图象大致是（）ABCD8（4分）若（x+a）2（1）5的展开式中常数项为1，则的值a为（）A1B9C1或9D1或99（4分）已知函数f（x）x3+px2+qx与x轴
3、相切于x0（x00）点，且极小值为4，则p+q（）A12B15C13D1610（4分）已知函数f（x），若函数yf2（x）2bf（x）+b有6个零点，则b的取值范围是（）A（，）（，）B（，）（，+）C（0，）（，1）D（，）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）设aR，若复数z（i为虚数单位）的实部和虚部相等，则a ，| 12（6分）已知函数，则 ，方程f（x）3的解为 13（6分）函数yx+2cosx在区间上的最大值是 ，最小值是 14（6分）设函数f（x）mx2mx1（1）若对于一切实数x，f（x）0恒成立，则m的取值范围是 ，（2）若对于x1，
4、3，f（x）m+5恒成立，则m的取值范围是 15（4分）设函数的最大值和最小值分别为M和m，则M+m 16（4分）凸函数的性质定理为：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，xn，有f（），已知函数ysinx在区间（0，）上是凸函数，则在ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为 17（4分）若对于任意x1，1，存在bR，使得|ax3+bx|1成立，则实数a的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知a0且满足不等式22a+125a2（1）求实数a的取值范围（2）求不等式loga（2x1）loga（
5、75x）（3）若函数yloga（2x1）在区间1，3有最小值为2，求实数a值19（15分）已知函数f（x）x3+ax2+bx+c在x与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围20（15分）已知数列an的前n项和Sn满足：Sn+1，且an0，nN*（1）求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明通项公式的正确性21（15分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f（x）|M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界已知函数f（x）1+a+，（1
6、）当a时，求函数f（x）在（，0）上的值域，并判断函数f（x）在（，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在0，+）上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围22（15分）设aR，函数f（x），F（x）（）当a0时，比较f（2e+1）与f（3e）的大小；（）若存在实数a，使函数f（x）的图象总在函数F（x）的图象的上方，求a的取值集合2018-2019学年浙江省温州市环大罗山联盟高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1（4分）已知全集U0，1，2，3，4，5，6，集合A1，3
7、，5，B2，3，4，则（UA）B（）A0，6B2，3，4，6C2，4D0，2，3，4，6【分析】由全集U求出A补集，再求出UA与B的并集即可【解答】解：UA0，2，4，6，（UA）B0，2，3，4，6故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（4分）满足“对定义域内任意实数x，y，f（xy）f（x）+f（y）”的函数可以是（）Af（x）x2Bf（x）elnxCf（x）log2xDf（x）2x【分析】观察几个选项，分别为二次函数，指数函数，对数函数，和指对数的复合函数，所以只需看那种函数中自变量相乘，能变成两个自变量分别求函数值再相加即可【解答】解；对数运算律中有logaM+loga
8、NlogaMNf（x）log2x，满足“对定义域内任意实数x，y，f（xy）f（x）+f（y）”故选：C【点评】本题考查了对数函数的运算律，计算时，不要与其它函数的运算律混淆了3（4分）一个物体的运动方程为s1t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒【分析】求导数，把t3代入求得导数值即可【解答】解：s1t+t2，s1+2t，把t3代入上式可得s1+235由导数的意义可知物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒，故选：C【点评】本题考查导数的意义，瞬时速度即为此处的导数值，属基础题4（4分）下面结论正确是（）A综合法是直接证明，分
9、析法是间接证明B在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程C反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾D用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”【分析】直接对教材中的理论问题进行研究，进一步确定结果【解答】解：对于选项A：综合法是直接证明，分析法也是直接证明故错误对于选项B：在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程，故正确对于选项C：反证法是指将结论进行否定，推出矛盾，故错误对于选项D：反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”，故错误故选：B【点评】本题考查的知识要点：理论知识的研究和归纳，主要考察学生对理论的理解能力的应用
10、，属于基础题型5（4分）若x（e1，1），alnx，b（）lnx，celnx，则（）AcbaBbcaCabcDbac【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a0，b1，c1，从而可得答案【解答】解：x（e1，1），alnxa（1，0），即a0；又y为减函数，b1，即b1；又celnxx（e1，1），bca故选：B【点评】本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题6（4分）以图中的8个点为顶点的三角形的个数是（）A42B48C45D56【分析】若三角形的一个顶点是公共点，则共有三角形的个数为34个若三角形的三个顶点都不用公共点，则
11、有4C32+3C42个，再把这些三角形的个数相加即得所求【解答】解：若三角形的一个顶点是公共点，则共有三角形的个数为3412个若三角形的三个顶点都不用公共点，则有4C32+3C4212+1830 个，故总个数是12+3042故选：A【点评】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意把特殊元素与位置综合分析，属于中档题7（4分）函数的图象大致是（）ABCD【分析】先判断函数的奇偶性，结合极限思想进行判断即可【解答】解：f（x）f（x）则函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B当x0在0的右侧，当x0，f（x）0，排除D，故选：C【点评】本题主要考查函数图象的识
12、别和判断，利用奇偶性和极限思想是解决本题的关键8（4分）若（x+a）2（1）5的展开式中常数项为1，则的值a为（）A1B9C1或9D1或9【分析】先将（x+a）2展开，再求出的通项，利用多项式的乘法求出展开式的常数项，列出方程求出a的值【解答】解：（x+a）2x2+2ax+a2展开式的通项为展开式的常数项为C53+2aC54a2C53+2aC54a21解得a1或9故选：D【点评】解决二项展开式的特定项问题常利用二项展开式的通项公式9（4分）已知函数f（x）x3+px2+qx与x轴相切于x0（x00）点，且极小值为4，则p+q（）A12B15C13D16【分析】f（x）x（x2+px+q）由题意
13、得：方程x2+px+q0有两个相等实根a，故可得f（x）x（xx0）2x32x0x2+x02x，再利用y极小值4，可求x03，从而可求p，q的值【解答】解：f（x）x（x2+px+q），由题意得：方程x2+px+q0有两个相等实根a，故可得f（x）x（xx0）2x32x0x2+x02xf（x）3x24x0x+x02（xx0）（3xx0）令f（x）0，则xx0或f（x0）04，f（）4于是4，x03f（x）x3+6x2+9xp6，q9，p+q15故选：B【点评】本题以函数为载体，考查函数的极值，考查导数的几何意义，属于中档题10（4分）已知函数f（x），若函数yf2（x）2bf（x）+b有6个零
14、点，则b的取值范围是（）A（，）（，）B（，）（，+）C（0，）（，1）D（，）【分析】作函数f（x）的图象，从而化为函数yx22bx+b在（0，1）上有2个零点，从而解得【解答】解：作函数f（x）的图象如下，函数yf2（x）2bf（x）+b有6个零点，函数yx22bx+b在（0，1）上有2个零点，解得，b（，）（，），故选：A【点评】本题考查了函数的图象的作法及数形结合的思想应用二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）设aR，若复数z（i为虚数单位）的实部和虚部相等，则a0，|【分析】根据复数的运算法则化简z，再根据实部和虚部相等求出a的值，求出其模即
15、可【解答】解：复数，由于复数（i为虚数单位）的实部和虚部相等，则a+11a，解得a0，则zi，则|，故答案为：0，【点评】本题考查了复数的运算和复数的概念，属于基础题12（6分）已知函数，则1，方程f（x）3的解为3或8【分析】先求f（）1，然后再进行求解f（1）即可；由f（x）3，结合已知x的范围对原方程进行转化即可求解【解答】解：，f（）1，则f（1）121；f（x）3，当x0时，原方程可转化为log2x3，x8，当x0时，原方程可转化为x2+2x3，解可得，x3或x1（舍），综上可得，x3或x8，故答案为：1；3或8【点评】本题主要考查了利用分段函数求解函数值，及利用分段函数解方程，解题
16、关键是分清楚函数的定义域13（6分）函数yx+2cosx在区间上的最大值是，最小值是【分析】本题可对函数求导，通过求导法来判断函数在区间上的增减性，然后结合图形可得出函数在区间上的最大最小值【解答】解：由题意，可知：当x时，y12sinx当y0时，即12sinx0，sinx，x时，函数取极值f（）+当y0时，即12sinx0，sinx，0x时，函数f（x）单调递增当y0时，即12sinx0，sinx，x时，函数f（x）单调递减f（0）2，f（）+，f（）f（x）在区间上的图象大致如下：则由图象可知：在区间上，当x时，f（x）取最大值+；当x时，f（x）取最小值故答案为：+；【点评】本题主要考查
17、利用求导法来判断函数单调性即在具体区间上的最值问题，本题属中档题14（6分）设函数f（x）mx2mx1（1）若对于一切实数x，f（x）0恒成立，则m的取值范围是4m0，（2）若对于x1，3，f（x）m+5恒成立，则m的取值范围是【分析】（1）f（x）mx2mx10恒成立，结合二次函数的图象性质，对m进行分类讨论即可求解（2）由x1，3，f（x）m+5恒成立，可得m在x1，3时恒成立，即mmin，结合二次函数的性质可求【解答】解：（1）f（x）mx2mx10恒成立，m0时，10恒成立，m0时，解可得，4m0综上可得，4m0（2）x1，3，f（x）m+5恒成立，mx2mx6+m0，x1，3时恒成立
18、，m在x1，3时恒成立，即mmin当x1，3时，m故答案为：4m0；m【点评】本题主要考查了二次不等式在闭区间上的恒成立，此类问题常转化为求解相应函数的最值，体现了转化思想的应用15（4分）设函数的最大值和最小值分别为M和m，则M+m4【分析】根据题意，f（x）2，设g（x）f（x）2，分析可得g（x）为奇函数，由f（x）的最大值和最小值分析可得g（x）的最大值和最小值分别为M2和m2，结合奇函数的性质可得（M2）+（m2）0，变形可得答案【解答】解：根据题意，f（x）2，设g（x）f（x）2，有g（x）g（x），则函数g（x）为奇函数，又由yf（x）的最大值和最小值分别为M和m，则g（x）的
19、最大值和最小值分别为M2和m2，则（M2）+（m2）0，变形可得：M+m4；故答案为：4【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题16（4分）凸函数的性质定理为：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，xn，有f（），已知函数ysinx在区间（0，）上是凸函数，则在ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为【分析】已知f（x）sinx在区间（0，）上是凸函数，利用凸函数的性质可得：sin，变形得 sinA+sinB+sinC3sin问题得到解决【解答】解：f（x）sinx在区间（0，）上是凸函数，且A、B、C（0，），f（）f（）
20、，即sinA+sinB+sinC3sin，所以sinA+sinB+sinC的最大值为【点评】应用凸函数的性质解决具体问题17（4分）若对于任意x1，1，存在bR，使得|ax3+bx|1成立，则实数a的取值范围是4a4【分析】由|ax3+bx|1得，bx1ax3bx+1，设f（x）ax3，g（x）bx+1，h（x）bx1，则对任意的x1，1，函数f（x）的图象应介于函数g（x）与函数h（x）的图象之间，作出图象分析即可求得答案【解答】解：由|ax3+bx|1得，bx1ax3bx+1，设f（x）ax3，g（x）bx+1，h（x）bx1，作草图如下，则由题意有，对任意的x1，1，函数f（x）的图象应
21、介于函数g（x）与函数h（x）的图象之间，由图象可知，只需两条虚线介于函数g（x）与函数h（x）的图象之间即可又f（x）3ax2，A（1，a），设切点，则，解得，即，直线AC的方程为，即，同理可求得，直线BD的方程为，又函数g（x）恒过点（0，1），函数h（x）恒过点（0，1），由图象观察可知，4a4故答案为：4，4【点评】本题考查绝对值不等式的运用，同时也考查了导数的几何意义，培养了学生的数形结合思想及分析问题解决问题的能力，属较难题目三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知a0且满足不等式22a+125a2（1）求实数a的取值范围（2）求
22、不等式loga（2x1）loga（75x）（3）若函数yloga（2x1）在区间1，3有最小值为2，求实数a值【分析】（1）根据指数函数的单调性解不等式即可求实数a的取值范围 （2）根据对数函数的单调性求不等式loga（3x+1）loga（75x）（3）根据复合函数的单调性以及对数的性质即可求出a的值【解答】解：（1）22a+125a22a+15a2，即3a3，a1（2）a0，a1，0a1，loga（2x1）loga（75x）等价为，x，即不等式的解集为（，）（3）0a1，函数yloga（2x1）在区间1，3上为减函数，当x3时，y有最小值为2，即loga52logaa2，a25，解得a【点评
23、】本题主要考查不等式的解法，利用指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键19（15分）已知函数f（x）x3+ax2+bx+c在x与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围【分析】（1）求出f（x），因为函数在x与x1时都取得极值，所以得到f（）0且f（1）0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x1，2恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）c2列出不等式，求出c的范围即可【解答】解；（1
24、）f（x）x3+ax2+bx+c，f（x）3x2+2ax+b由解得，f（x）3x2x2（3x+2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（，）（，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）和（1，+），递减区间是（，1）（2），当x时，f（x）+c为极大值，而f（2）2+c，所以f（2）2+c为最大值要使f（x）c2对x1，2恒成立，须且只需c2f（2）2+c解得c1或c2【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件20（15分）已知数列an的前n项和Sn满足：Sn+1，且an0，nN
25、*（1）求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明通项公式的正确性【分析】（1）由数列an的递推公式依次求出a1，a2，a3；（2）根据a1，a2，a3值的结构特点猜想an的通项公式，再用数学归纳法验证n1成立，假设nk时命题成立，证明当nk+1时命题也成立【解答】解：（1）a1S1+1，a11又an0，a11S2a1+a2+1，a2S3a1+a2+a3+1，a3（2）由（1）猜想an，nN+下面用数学归纳法加以证明：当n1时，由（1）知a11成立假设nk（kN+）时，ak成立当nk+1时，ak+1Sk+1Sk（+1）（+1）+，ak+12+2ak+120ak+1，即当n
26、k+1时猜想也成立综上可知，猜想对一切nN+都成立【点评】本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力注意在证明nk+1时用上假设，化为nk的形式21（15分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f（x）|M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界已知函数f（x）1+a+，（1）当a时，求函数f（x）在（，0）上的值域，并判断函数f（x）在（，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在0，+）上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围【分析】（1）把a代入函数的表达式，得
27、出函数的单调区间，结合有界函数的定义进行判断；（2）由题意知，|f（x）|4对x0，+）恒成立令，对t（0，1恒成立，设，求出单调区间，得到函数的最值，从而求出a的值【解答】解：（1）当时，令，x0，t1，；在（1，+）上单调递增，即f（x）在（，1）的值域为，故不存在常数M0，使|f（x）|M成立，函数f（x）在（，0）上不是有界函数； （2）由题意知，|f（x）|4对x0，+）恒成立即：4f（x）4，令，x0，t（0，1对t（0，1恒成立，设，由t（0，1，由于h（t）在t（0，1上递增，P（t）在t（0，1上递减，H（t）在t（0，1上的最大值为h（1）6，P（t）在1，+）上的最小值为
28、p（1）2实数a的取值范围为6，2【点评】本题考查了函数的值域问题，考查了新定义问题，考查了函数的单调性，函数的最值问题，是一道综合题22（15分）设aR，函数f（x），F（x）（）当a0时，比较f（2e+1）与f（3e）的大小；（）若存在实数a，使函数f（x）的图象总在函数F（x）的图象的上方，求a的取值集合【分析】（）求导函数，确定f（x）在（e，+）上是增函数，即可比较f（2e+1）与f（3e）的大小；（）函数f（x）的图象总在函数F（x）的图象的上方等价于f（x）F（x）恒成立，即在（0，1）（1，+）上恒成立分类讨论，利用分离参数法，即可求a的取值集合【解答】解：（）当a0时，f（x
29、），当xe时，f（x）0，所以f（x）在（e，+）上是增函数而3e2e+e2e+1e，f（3e）f（2e+1）（）函数f（x）的图象总在函数F（x）的图象的上方等价于f（x）F（x）恒成立，即在（0，1）（1，+）上恒成立当0x1时，lnx0，则等价于ax令g（x）x，再令h（x）22lnx，h（x）当0x1时，h（x）0，h（x）在（0，1）上递减，当0x1时，h（x）h（1）0，所以g（x）在（0，1）上递增，g（x）g（1）1，a1当x1时，lnx0，则等价于ax，等价于ag（x）由知，当x1时，h（x）0，h（x）在（1，+）上递增当x1时，h（x）h（1）0，g（x）在（1，+）上递增，g（x）g（1）1a1由及得：a1，故所求a值的集合为1【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题
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