1、2019-2020学年浙江省温州市十五校联合体高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）1（4分）过点M（2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（）A1B4C1或3D1或42（4分）用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）A等边三角形B直角三角形C正方形D正六边形3（4分）过点M（3，2），且与直线x+2y90平行的直线方程是（）A2xy+80Bx2y+70Cx+2y+40Dx+2y104（4分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A（x1）2+（y1）21B（x+1）2+（y+1）21C（x+1）2+（y+1）22D（x1）2+（y1）2
2、25（4分）P，Q分别为直线3x+4y120与6x+8y+50上任意一点，则|PQ|的最小值为（）ABCD6（4分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A10cm3B20cm3C30cm3D40cm37（4分）若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直B过点P有且仅有一条直线与l，m都平行C过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D过点P有且仅有一条直线与l，m都异面8（4分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cos，sin）到直线mx+y20的距离，当，m变化时，d的最大值为（）A1B2C3D49（4分）在矩形ABCD中，若AB
3、8，AD6，E为边AD上的一点，DEAD，现将ABE沿直线BE折成A'BE，使得点A'在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设直线A'B，A'C与平面BCDE所成角分别为，二面角A'BEC的大小为，则（）ABCD10（4分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱A1D1，CD的中点，若P在平面ABCD内，点Q在线段BN上，若，则PQ长度的最小值为（）ABCD二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11（4分）不论实数m为何值，直线mxy+2m+10恒过点 12（6分）点M（1，2，3）是空间直角坐标
4、系Oxyz中的一点，点M关于x轴对称的点的坐标为 ， 13（6分）已知直线l1：ax+y40与l2：x+（a2）y+a10相交于点P，若l1l2，则a ，此时直线l1的倾斜角为 14（4分）已知直线l垂直于平面，垂足为O在矩形ABCD中，AB4，BC2，若点A在直线l上移动，点B在平面上移动，则O，C两点间的最大距离为 15（6分）已知直线l：yk（x+4）与圆（x+2）2+y24相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则M的轨迹方程为 ；M到直线3x+4y60的距离的最小值为 16（4分）已知点A
5、，B，C在圆x2+y21上运动，且，若点M的坐标为（3，0），则的最大值为 17（6分）所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥PABC中，M是PC的中点，且AMPB，底面边长，则正三棱锥PABC的外接球的表面积为 ；AM与底面ABC所成角的正弦值为 三、解答题：5小题，共74分18已知直线l：kxy+2+4k0（kR）（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程19已知长方体AB
6、CDA1B1C1D1中，AD2，AB4，AA13，E，F分别是AB，A1D1的中点（1）求证：直线EF平面BB1D1D；（2）求直线EF与平面BCC1B1所成角的正弦值20已知圆C：x2+y2+2x4y+m0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M（1）求圆C的圆心坐标及半径；（2）若点P运动到（2，4）处，求此时切线l的方程；（3）求满足条件|PM|2|PO|的点P的轨迹方程21如图，已知梯形ABCD中，ADBC，ABAD，矩形EDCF平面ABCD，且ABBCDE2，AD1（1）求证：ABAE；（2）求证：DF平面ABE；（3）求二面角BEFD的正切值22在直角坐标
7、系xOy中，直线l：交x轴于M，以O为圆心的圆与直线l相切（1）求圆O的方程；（2）设点N（x0，y0）为直线yx+3上一动点，若在圆O上存在点P，使得ONP45，求x0的取值范围；（3）是否存在定点S，对于经过点S的直线L，当L与圆O交于A，B时，恒有AMOBMO？若存在，求点S的坐标；若不存在，说明理由2019-2020学年浙江省温州市十五校联合体高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）1（4分）过点M（2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（）A1B4C1或3D1或4【分析】根据斜率k，直接求出m 的值【解答】解：过点M（
8、2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，所以k1解得m1故选：A【点评】本题考查直线的斜率的求法，是基础题2（4分）用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）A等边三角形B直角三角形C正方形D正六边形【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项【解答】解：画出截面图形如图显然A正三角形C正方形：D正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选B故选：B【点评】本题是基础题，考查学生作图能力，判断能力，以及逻辑思维能力，明确几何图形的特征，是解好本题的关键3（4分）过点M（3，2），且与直线x+2y90平行的直线方程是（）A2xy+80Bx2y+70Cx+2y+40Dx+2y1
9、0【分析】由已知的直线方程求出要求直线的斜率，代入直线方程的点斜式，化为一般式得答案【解答】解：由直线方程x+2y90可得该直线的斜率为，则与直线x+2y90平行的直线的斜率为，又直线过M（3，2），由直线方程的点斜式得直线方程为，化为一般式得：x+2y10故选：D【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题4（4分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A（x1）2+（y1）21B（x+1）2+（y+1）21C（x+1）2+（y+1）22D（x1）2+（y1）22【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程【解答】解：由题意知圆半径
10、r，圆的方程为（x1）2+（y1）22故选：D【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题5（4分）P，Q分别为直线3x+4y120与6x+8y+50上任意一点，则|PQ|的最小值为（）ABCD【分析】转化两点的距离为平行线之间的距离，求解即可【解答】解：P，Q分别为直线3x+4y120与6x+8y+50上任意一点，则|PQ|的最小值为两条平行线之间的距离，6x+8y+50即3x+4y+0，所以|PQ|的最小值为：故选：C【点评】本题考查平行线之间的距离的求法，注意转化思想的应用，考查计算能力6（4分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积
11、等于（）A10cm3B20cm3C30cm3D40cm3【分析】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，几何体的体积V34534520（cm3）故选：B【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量7（4分）若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直B过点P有且仅有一条直
12、线与l，m都平行C过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D过点P有且仅有一条直线与l，m都异面【分析】B选项通过反证法可以判定；A选项由异面直线公垂线的唯一性可以判定；C、D选项利用常见的图形举出反例即可【解答】解：对于A，异面直线l、m有唯一的公垂线，过点P与公垂线平行的直线有且只有一条，故正确；对于B，设过点P的直线为n，且，lm，这与l、m异面矛盾，故错误；对于C，如图所示的正方体中，设AD为直线l，AB为直线m，若点P在P1点处，则无法作出直线与两直线都相交，故错误；对于D，如上图所示的正方体中，若P在P2点，则由图中可知直线CC及DP2均与l、m异面，故错误；故选：A【点评】本题考查了
13、空间中的直线与直线的位置关系以及空间想象能力，解题时应借助于常见的空间图形解答，是易错题8（4分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cos，sin）到直线mx+y20的距离，当，m变化时，d的最大值为（）A1B2C3D4【分析】由d1+，能求出d的最大值【解答】解：记d为点P（cos，sin）到直线mx+y20的距离，则d1+，当且仅当sin（+）1，m0时，d取最大值3故选：C【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9（4分）在矩形ABCD中，若AB8，AD6，E为边AD上的一点，DEAD，现将
14、ABE沿直线BE折成A'BE，使得点A'在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设直线A'B，A'C与平面BCDE所成角分别为，二面角A'BEC的大小为，则（）ABCD【分析】由题意画出图形，由两种特殊位置得到点A在平面BCD上的射影的情况，由线段的长度关系可得到三个角的正弦值的大小，由此能比较三个角的大小【解答】解：如图，四边形ABCD为矩形，BAAD，当A点在底面BCD上的射影O落在BC上时，平面ABC底面BCD，又DCBC，DC平面ABC，DCBA，BA平面ADC，在RtBAC中，设BA2，则BC2，AC2，O为BC中点，当A点在底面
15、上的射影E落在BD上时，AEBD，设BA2，则AD2，AE，BE，要使点A在平面BCD上的射影F在BCD内（不含边界），则点A的射影F落在线段OE上（不含端点），可知AEF为二面角ABDC的平面角，直线AD与平面BCD所成角为ADF，直线AC与平面BCD所成的角为ACF，由题意得DFCF，ACAD，且，AC的最小值为2，sinADFsinACFsinAEO，故选：A【点评】本题考查二面角、线面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题10（4分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱A1D1，CD的中点
16、，若P在平面ABCD内，点Q在线段BN上，若，则PQ长度的最小值为（）ABCD【分析】取AD中点O，则MO面ABCD，即MOOP，由PM，得到OP1，从而点P在以O为圆心，1以半径的位于平面ABCD内的半圆上可得O到BN的距离减去半径即为PQ长度的最小值【解答】解：如图，取AD中点O，则MO面ABCD，即MOOP，PM，OP1，点P在以O为圆心，1以半径的位于平面ABCD内的半圆上可得O到BN的距离减去半径即为PQ长度的最小值，作OHBN于H，BON的面积为：SBON22，解得OH，PQ长度的最小值为：OHOP故选：C【点评】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系
17、等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11（4分）不论实数m为何值，直线mxy+2m+10恒过点（2，1）【分析】直线mxy+2m+10可化为m（x+2）+（y+1）0，根据mR，建立方程组，即可求得定点的坐标【解答】解：直线mxy+2m+10可化为m（x+2）+（y+1）0mRx2，y1，直线mxy+2m+10经过定点（2，1）故答案为：（2，1）【点评】本题考查直线恒过定点，解题的关键是将方程中的参数分离，再建立方程组12（6分）点M（1，2，3）是空间直角坐标系Oxyz中的一点，点M关
18、于x轴对称的点的坐标为（1，2，3），【分析】点（a，b，c）关于x轴对称的点的坐标为（a，b，c），利用两点间距离公式能求出|【解答】解：点M（1，2，3）是空间直角坐标系Oxyz中的一点，点M关于x轴对称的点的坐标为（1，2，3），|故答案为：（1，2，3），【点评】本题考查点的坐标的、线段长的求法，考查空间直角坐标系的性质、两点间距离公式等基知识，考查运算求解能力，是基础题13（6分）已知直线l1：ax+y40与l2：x+（a2）y+a10相交于点P，若l1l2，则a1，此时直线l1的倾斜角为135【分析】由直线l1：ax+y40与l2：x+（a2）y+a10相交于点P，l1l2，利用直
19、线与直线垂直的性质求出a1从而直线l1：x+y40，由此能求出直线l1的倾斜角【解答】解：直线l1：ax+y40与l2：x+（a2）y+a10相交于点P，l1l2，a1+1（a2）0，解得a1直线l1：x+y40，直线l1的倾斜角为135故答案为：1，135【点评】本题考查实数值和直线的斜率的求法，考查直线与直线垂直的性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题14（4分）已知直线l垂直于平面，垂足为O在矩形ABCD中，AB4，BC2，若点A在直线l上移动，点B在平面上移动，则O，C两点间的最大距离为2+2【分析】以O为原点，OA为y轴，OB为x轴建立直角坐标系，设ABO，C（x，y），用三角函数
20、表示OC的值并求出它的最大值即可【解答】解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，AB4，BC2，以O为原点，OA为y轴，OB为x轴建立直角坐标系，如图所示；设ABO，C（x，y），则有：xABcos+BCcos（）4cos+2sin，yBCsin（）2cos，x2+y2（4cos+2sin）2+4cos216cos2+16sincos+48cos2+8sin2+128sin（2+）+12，当sin（2+）1时，x2+y2最大，为8+12，则O、C两点间的最大距离为2+2故答案为：2+2【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算问题，解题关键是将空间几何问题转化为平面几何问题，利用三角函数
21、求出最大值15（6分）已知直线l：yk（x+4）与圆（x+2）2+y24相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则M的轨迹方程为（x+3）2+y21（x4）；M到直线3x+4y60的距离的最小值为2【分析】由题意画出图形，利用待定系数法求出M的轨迹，结合点到直线的距离公式得答案【解答】解：圆（x+2）2+y24的圆心C（2，0），半径r2，圆心C（2，0）到直线yk（x+4）的距离d2，直线l：yk（x+4）过定点A（4，0），设M（x，y），B（x1，y1），则，代入（x+2）2+y24，可得（x+3）2+y21M的轨迹是以（3，0）为圆心，以1为半径的圆，不含（4，0）则M到直线3x+4y6
22、0的距离的最小值为 2故答案为：（x+3）2+y21（x4）；2【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题16（4分）已知点A，B，C在圆x2+y21上运动，且，若点M的坐标为（3，0），则的最大值为4【分析】根据题意可知AC为直径，|2+|2|6|，所以当B取（1，0）时，取最大值【解答】解：由题意因为且，所以AC为直径，则|2+|2|6|，所以当B取（1，0）时，取最大值，代入得最大值为4故答案为：4【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题17（6分）所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为
23、底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥PABC中，M是PC的中点，且AMPB，底面边长，则正三棱锥PABC的外接球的表面积为；AM与底面ABC所成角的正弦值为【分析】本题考查正三棱锥的性质、球的表面积的计算，先证明PA，PB，PC两两垂直，求出PA，再求出球的半径，根据球的表面积公式能求出正三棱锥PABC的外接球的表面积以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AM与底面ABC所成角的正弦值【解答】解：在正三棱锥PABC中，M是PC的中点，且AMPB，底面边长，取AC中点N，连结PN，BN，则PNAC，BNAC，又PNBNN，AC平面PNB，由题意得PA，
24、PB，PC两两垂直，PAPBPC1，正三棱锥PABC的外接球的半径R，正三棱锥PABC的外接球的体积V以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），M（0，0，），（1，0，），（1，1，0），（1，0，1），设平面ABC的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），设AM与底面ABC所成角为，则sin，AM与底面ABC所成角的正弦值为故答案为：，【点评】本题考查正三棱锥的外接球的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题：5小题，共7
25、4分18已知直线l：kxy+2+4k0（kR）（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程【分析】（1）根据题意可得 ，由此求得k的范围（2）由题意可得SOAOB8k+8+，利用基本不等式求得它的最小值，可得此时直线l的方程【解答】解：（1）直线l：kxy+2+4k0，即 ykx+4k+2，它不经过第四象限，求得k0，即k的取值范围为0，+）（2）直线l交x轴的负半轴于点A（，0），交y轴的正半轴于点B（0，4k+2），k0，O为坐标原点，设AOB的面积为S，则SOAOB
26、（4k+2）8k+8+8+216，当且仅当8k时，即k时，取等号，故S的最小值为16，此时，k，直线l：x2y+80【点评】本题主要考查确定直线的位置的要素，基本不等式的应用，属于中档题19已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AD2，AB4，AA13，E，F分别是AB，A1D1的中点（1）求证：直线EF平面BB1D1D；（2）求直线EF与平面BCC1B1所成角的正弦值【分析】（1）取AD中点G，连结EG，FG，推导出FGDD1，EGBD，从而平面EFG平面BB1D1D，由此能证明直线EF平面BB1D1D（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求
27、出直线EF与平面BCC1B1所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：取AD中点G，连结EG，FG，E，F分别是AB，A1D1的中点，FGDD1，EGBD，EGFGG，DD1DBD，平面EFG平面BB1D1D，直线EF平面BB1D1D（2）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则E（2，2，0），F（1，0，3），B（2，4，0），C（0，4，0），（1，2，3），平面BCC1B1的法向量（0，1，0），设直线EF与平面BCC1B1所成角为，则sin直线EF与平面BCC1B1所成角的正弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线
28、、线面、面面间的位置关系等基知识，考查运算求解能力，是中档题20已知圆C：x2+y2+2x4y+m0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M（1）求圆C的圆心坐标及半径；（2）若点P运动到（2，4）处，求此时切线l的方程；（3）求满足条件|PM|2|PO|的点P的轨迹方程【分析】（1）将圆C化成标准方程（x+1）2+（y2）25m，利用圆与y轴相切，可得5m1，求得m及半径；（2）分别考虑斜率存在于不存在时的两种情况，利用圆心到l的距离等于半径可求得切线方程；（3）设P（x，y），利用|PM|2|PO|及两点间距离公式即可求出P点轨迹方程【解答】解：（1）圆C的方程可
29、化为（x+1）2+（y2）25m，因为圆C与y轴相切，所以5m1，所以m4，即圆心C（1，2），半径为1；（2）当斜率不存在时，直线l方程为：x2，此时与圆C相切；当斜率存在时，设直线l：yk（x+2）+4，则圆心到l的距离d，解得k，此时l的方程为3x+4y100，所以切线方程为x2或3x+4y100；（3）设P（x，y），则|PM|2|PC|2|MC|2（x+1）2+（y2）21，|PO|2x2+y2，因为|PM|2|PO|，所以|PM|24|PO|2，即（x+1）2+（y2）214（x2+y2），化简得3x2+3y22x+4y40，所以点P的轨迹方程为3x2+3y22x+4y40【点评】
30、本题考查圆的方程，圆的切线，以及动点轨迹，注意求切线时不能漏解，属于中档题21如图，已知梯形ABCD中，ADBC，ABAD，矩形EDCF平面ABCD，且ABBCDE2，AD1（1）求证：ABAE；（2）求证：DF平面ABE；（3）求二面角BEFD的正切值【分析】（1）推导出DE平面ABCD，DEAB，从而AB平面ADE，由此能证明ABAE（2）以D为原点，DA为x轴，过D作AB的平行线为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DF平面ABE（3）求出平面DEF的法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能求出二面角BEFD的正切值【解答】解：（1）证明：梯形ABCD中，ADBC，AB
31、AD，矩形EDCF平面ABCD，DE平面ABCD，DEAB，ADDED，AB平面ADE，AE平面ADE，ABAE（2）证明：以D为原点，DA为x轴，过D作AB的平行线为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，0，2），D（0，0，0），F（1，2，2），（1，2，2），（0，2，0），（1，0，2），设平面ABE的法向量（x，y，z），则，取z1，得（2，0，1），0，DF平面ABE，DF平面ABE（3）解：（0，0，2），（1，2，2），（1，2，2），（2，0，2），设平面DEF的法向量（x，y，z），则，取y1，得（2，1，0），设平面BEF的法
32、向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1）设二面角BEFD的平面角为，则cos，sintan二面角BEFD的正切值为【点评】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基知识，考查运算求解能力，是中档题22在直角坐标系xOy中，直线l：交x轴于M，以O为圆心的圆与直线l相切（1）求圆O的方程；（2）设点N（x0，y0）为直线yx+3上一动点，若在圆O上存在点P，使得ONP45，求x0的取值范围；（3）是否存在定点S，对于经过点S的直线L，当L与圆O交于A，B时，恒有AMOBMO？若存在，求点S的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）考察
33、直线与圆相切；（2）判断出N的临界点，根据几何法，ON越小，sin越大，求出N的横坐标的范围；（3）分两种情况讨论，对于斜率存在时，AMOBMO，相当于斜率和为0，根据韦达定理，求出km，判断出S【解答】解：（1）直线l：交x轴于M（4，0），圆心半径，所以圆的方程x2+y24（2）如图，直线NP与圆相切，设PNO，则，根据图象，N越靠近O点，ON越小，sin越大，由，得，设N（x，3x），由距离公式x2+（3x）28，解得，所以（3）AMOBMO，若直线L的斜率不存在，显然S点存在；当斜率存在时，设L：ykx+m，L与圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），根据题意只需kAM+kBM0，即，把y1kx1+m，y2kx2+m带人并化简得2kx1x2+（m4k）（x1+x2）8m0，把L与圆联立解方程，得，带入上式，化简得k+m0，即mk，所以L：yk（x1），恒过（1，0）点【点评】（1）直线与圆相切，基础题；（2）判断出N的临界点，是解题的关键，进而求出N的横坐标的范围；（3）直线与圆的定点问题，利用韦达定理，求出km，判断出S，这道题难点较高，综合性较强
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