1、 一元二次方程单元检测题一、单选题1关于一元二次方程 根的情况，下列说法正确的是 221=0 ( )A 有一个实数根 B 有两个相等的实数根C 有两个不相等的实数根 D 没有实数根2某种衬衫的价格经过连续两次的降价后，由每件 150 元降到 96 元，则平均每次降价的百分率是（ ）A 10% B 15% C 20% D 30%3某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15 场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）A 4 B 5 C 6 D 74下列对一元二次方程 x2+x3=0 根的情况的判断，正确的是（ ）A 有两个不相等实数根 B 有两个相等实数根C 有且只有一个
2、实数根 D 没有实数根5已知关于 x 的一元二次方程（ k2）2x2+（2k+1）x+1=0 有实数解，且反比例函数 y=的图象经过第二、四象限，若 k 是整数，则 k 的值为（ ）23A 4 B 3 C 2 D 16已知 a、b 、c 是 的三边长，且方程 的两根相 (1+2)+2(12)=0等，则 为 ( )A 等腰三角形 B 等边三角形 C 直角三角形 D 任意三角形7已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+ =0 有两个不相等的实数根 x1，x2若 +4 11=4m，则 m 的值是（ ）12A 2 B 1 C 2 或1 D 不存在8已知关于 x 的方程 x2+mx-1=0 的
3、根的判别式的值为 5，则 m 的值为（ ）A 3 B 3 C 1 D 19如果关于 x 的方程 x2-ax+a2-3=0 至少有一个正根，则实数 a 的取值范围是（ ）A -2a2 B a2 C a2 D 3 3 a2310已知关于 x 的方程 x2-2x-2n=0 有两个不相等的实数根，若 n5，且方程的两个实数根都是整数，则 n 的值为（ ）A n=2 B n=0 或 n=1.5 或 n=4C n=4 D n=0 或 n=1.5 或 n=211 （题文）已知 x1、x2 是关于 x 的方程 x2ax2=0 的两根，下列结论一定正确的是（ ）A x1x2 B x1+x20 C x1x20 D
4、 x10，x 2012一元二次方程 根的情况是 23+3=0 ( )A 有两个相等的实数根 B 有两个不相等的实数根C 没有实数根 D 不能确定二、填空题13若关于 x 的一元二次方程 有实数根，则整数 a 的最大值是(3+)25+1=0_14已知关于 x 的一元二次方程 x24x+m1=0 的实数根 x1，x2，满足 3x1x2x1x22，则m 的取值范围是_ 15关于 x 的一元二次方程 x2+（2k1）x+（k 21）=0 无实数根，则 k 的取值范围为_16已知直角三角形两直角边 x、y 的长满足|x 2-4|+ 0，则斜边长为223_.三、解答题17已知关于 x 的一元二次方程 有两
5、个实数根2(21)+23=0求 k 的取值范围；(1)设方程两实数根分别为 ， ，且满足 ，求 k 的值(2) 1 2 21+22=2318已知关于 x 的一元二次方程 2(+3)+3=0（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有两个不相等的整数根，请选择一个合适的 n 值，写出这个方程并求出此时方程的根19已知关于 x 的方程 2(+1)+2(1)=0求证：无论 m 取何值时，方程总有实数根；(1)若等腰三角形一边长为 4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长(2)20已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k 1）x+k 2+k1=0 有实数根（1）求 k 的取值范围；（2）
6、若此方程的两实数根 x1，x 2 满足 x12+x22=11，求 k 的值参考答案1 C【解析】【分析】根据根的判别式进行求解即可得答案.【详解】， ， ，=1=2=1，=24=(2)241(1)=80一元二次方程 有两个不相等的实数根，221=0故选 C【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键.一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根2 C【解析】【分析】如果价格每次降价的百分率为 x，降一次后就是降到价格的（1-x）倍，连降两次就是降到原来的（1-x） 2倍则两次降价后的价
7、格是 150（1-x） 2，即可列方程求解【详解】设平均每次降价的百分率为 x，则可以得到关系式：150（1-x） 2=96，解得 x=0.2 或 1.8，x=1.8 不符合题意，舍去，故 x=0.2答：平均每次降价的百分率是 20%故选：C【点睛】本题考查数量平均变化率问题原来的数量（价格）为 a，平均每次增长或降低的百分率为 x 的话，经过第一次调整，就调整到 a（1x） ，再经过第二次调整就是 a（1x）（1x）=a（1x） 2增长用“+” ，下降用“-” 3 C【解析】 【分析】设共有 x 个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x1）场球，第二个球队和其他球队打（x2）场，以此类推可
8、以知道共打（1+2+3+x1）场球，然后根据计划安排 15 场比赛即可列出方程求解【详解】设共有 x 个班级参赛，根据题意得：=15，(1)2解得：x 1=6，x2=5（不合题意，舍去） ，则共有 6 个班级参赛，故选 C【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解4 A【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=13 0，进而即可得出方程x2+x3=0 有两个不相等的实数根【详解】a=1，b=1 ，c=3，=b 24ac=124（1）（3）=130，方程 x2+x3=0 有两个不相等的实数
9、根，故选 A【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1） 0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根5 D【解析】【分析】根据根判别式得（2k1） 24（k2） 20，及反比例函数性质得 2k-30方程有两个不相等的实数根；(2)=0方程有两个相等的实数根；(3)0 解得：m1 且 m0，x 1、x2 是方程 mx2（m+2）x+ =0 的两个实数根，4x 1+x2= ，x1x2= ，+2 14 =4m，11+12 =4m，+214m=2 或1，m1 ，m=2，故选 A【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及
10、根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式0，找出关于 m 的不等式组；（2）牢记两根之和等于 、两根之积等于 8 D【解析】【分析】先根据关于 x 的方程 x2+mx-1=0 的根的判别式的值为 5 即可得出关于 m 的一元二次方程，求出 m 的值即可【详解】关于 x 的方程 x2+mx-1=0 的根的判别式的值为 5，=m 2-41（-1）=5，解得 m=1故选：D【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程 y=ax2+bx+c（a0）中，=b2-4ac 是解答此题的关键9 C【解析】【分析】根据方程 x2-ax+a2-3=0 至少有一个正根，则方程一定有两个实数
11、根，即0，关于 x 的方程 x2-ax+a2-3=0 至少有一个正根?（1）当方程有两个相等的正根， （2）当方程有两个不相等的根，若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求【详解】=a 2-4（a 2-3）=12-3a 2（1）当方程有两个相等的正根时，=0，此时 a=2，若 a=2，此时方程 x2-2x+1=0 的根 x=1 符合条件，若 a=-2，此时方程 x2+2x+1=0 的根 x=-1 不符舍去，（2）当方程有两个根时，0 可得-2a2，若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有 a2-30，解可得-a ，而 a=- 时不合题
12、意，舍去所以- a 符合条件，若方程有两个正根，则 ，解可得 a ，综上可得，- a2故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程根的应用，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目10 B【解析】【分析】（1）关于 x 的方程 x2-2x-2n=0 有两个不相等的实数根，即判别式=b 2-4ac0即可得到关于 n 的不等式，从而求得 n 的范围；（2）利用配方法解方程，然后根据 n 的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求 n 的值【详解】关于 x 的方程 x2-2x-2n=0 的二次项系数 a=1、一次项系数 b=-2、常数项 c=-2n，=b 2-4
13、ac=4+8n0，解得 n-； 由原方程，得（x-1） 2=2n+1，解得 x=1 ；方程的两个实数根都是整数，且-n5， 不是负数，02n+111，且 2n+1 是完全平方形式，2n+1=1，2n+1=4 或 2n+1=9，解得 n=0，n=1.5 或 n=4故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式一元二次方程根的情况与判别式的关系.11 A【解析】分析：A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出 0，由此即可得出 x1x2，结论 A正确；B、根据根与系数的关系可得出 x1+x2=a，结合 a 的值不确定，可得出 B 结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出 x1x2=2，结论
14、C 错误；D、由 x1x2=2，可得出 x1 0，x20，结论 D 错误综上即可得出结论详解：A=（a） 241（2）=a2+80，x1x2，结论 A 正确；B、x1、x2 是关于 x 的方程 x2ax2=0 的两根，x1+x2=a，a 的值不确定，B 结论不一定正确；C、x1、x2 是关于 x 的方程 x2ax2=0 的两根，x1x2=2，结论 C 错误；D、x1x2=2，x1 0，x20，结论 D 错误故选：A点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键12 C【解析】【分析】由=b 2=4ac 的情况进行分析.【详解】因为，=b 2
15、=4ac=（-3）2-413=-32 解得 3m5故答案是：3m5点睛：本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于 m 的不等式，注意：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c 为常数，a0）当 b24ac0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当 b24ac=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根，当b24ac0 时，一元二次方程没有实数根15 k 54【解析】分析：先根据判别式得到=（2k1） 24（k21）0，然后解关于 k 的一元一次不等式即可详解：根据题意得：=（2k1） 24（k21）0， 解得：k 54故答案为：k 54点睛：本题考查了根的判别式：一
16、元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根 ；当=0 时， 方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根16 13【解析】【分析】根据非负数性质求出 x,y，再根据勾股定理求出斜边.【详解】因为| x2-4|+ 0223所以， x2-4=0， =0，223解得，x 1=2,x2=-2,y1=3,y2=-1,因为，直角三角形两直角边 x、 y，所以，x=2,y=3,所以，斜边= .2+2=22+32=13故答案为： 13【点睛】本题考核知识点：非负数性质，解一元二次方程. 解题关键点：把问题转化为解一元二次方程.17 （
17、1） ；（2） 134 =2【解析】【分析】根据方程有实数根得出 ，解之可得(1) =(21)241(23)=8+50利用根与系数的关系可用 k 表示出 和 的值，根据条件可得到关于 k 的方程，(2) 1+2 12可求得 k 的值，注意利用根的判别式进行取舍【详解】解： 关于 x 的一元二次方程 有两个实数根，(1) 2(21)+23=0，即 ，0 (21)241(23)=4+130解得 134由根与系数的关系可得 ， ，(2) 1+2=21 12=23，21+22=(1+2)2212=(21)22(23)=224+7，21+22=23，解得 ，或 ，224+7=23 =4 =2，134舍去
18、，=4=2【点睛】本题考查了一元二次方程 a，b，c 为常数 根的判别式 当 ，方2+=0(0, ) . 0程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数=0 0根 以及根与系数的关系.18 （ 1）见解析；（2）答案不唯一，见解析【解析】【分析】(1)根据根与系数关系，由 ，可得方程有两个实数根；（ 2）此方程=(+3)2120有两个不相等的整数根，则 ，n 可以有无数个整数.3【详解】（1）解： =(+3)212=(3)2(3)20方程有两个实数根（2）答案不唯一例如： 方程有两个不相等的实根 3时，方程化为=0 23=0因式分解为： (3)=0 ，1=0 2=3
19、【点睛】本题考核知识点：一元二次方程的根判别式. 解题关键点：熟记一元二次方程的根判别式意义.19 证明见解析 4 和 2(1) (2)【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出 ，由此即可证出：无论 m(1) =(3)20取何值，这个方程总有实数根；分腰长为 4 和底边长度为 4 两种情况分别求解可得(2)【详解】解： 证明： ，(1) =(+1)242(1)=26+9=(3)20无论 m 取何值，这个方程总有实数根；若腰长为 4，将 代入原方程，得： ，(2) =4 164(+1)+2(1)=0解得： ，=5原方程为 ， 26+8=0解得： ， 1=22=4组成三角形的三边长度
20、为 2、4、4；若底边长为 4，则此方程有两个相等实数根，即 ，=0 =3此时方程为 ，24+4=0解得： ，1=2=2由于 ，不能构成三角形，舍去；2+2=4所以三角形另外两边程度为 4 和 2【点睛】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是： 牢记“当 时，方程有实数根”； 代入 求出 m 值(1) 0 (2) =420 （ 1） k ；（ 2）k=158【解析】 【分析】 （1）根据方程有实数根得出=（2k 1）241（k2+k1）=8k+50，解之可得；（2）利用根与系数的关系可用 k 表示出 x1+x2 和 x1x2 的值，根据条件可得到
21、关于 k 的方程，可求得 k 的值，注意利用根的判别式进行取舍【详解】 （1）关于 x 的一元二次方程 x2（2k1）x+k2+k1=0 有实数根，0，即 （2k1）241（k2+k1）=8k+50，解得 k ；58（2）由根与系数的关系可得 x1+x2=2k1，x1x2=k2+k1，x 12+x22=（x1+x2）22x1x2=（2k1）22（k2+k1）=2k26k+3，x 12+x22=11，2k 26k+3=11，解得 k=4，或 k=1，k ，58k=4（舍去） ，k=1【点睛】本题考查了根的别式、根与系数的关系，利用完全平方公式将根与系数的关系的代数式变形是解题中一种经常使用的解题方法.
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