1、1负数一、正、负数的意义1.正数:像+1、+2、3、300、+27、+6.3、+26% 这样的数都是正数。2.负数:像-1、-2、-300、-56、-0.68、-5%这样的数都是负数。3.正数和负数可以用来表示两个相反意义的量。例如:零上温度和零下温度、向东行和向西行、上车人数与下车人数、收入与支出、增加与减少等,都是互为相反意义的两个量,其中一个用正数表示,另一个就用负数表示。4.0既不是正数,也不是负数。它是正数与负数的分界点。二、正、负数的读写1.正、负数的读法:“+”读作正,“-”读作负;按照从左往右的顺序读数,先读“正”或“负”,再读符号后面的数字。读正数时,若数字前面有“+”号,读
2、数时一定要读出“正”字,若数字前面的正号省略不写,则读数时也不读。2.正、负数的写法:先在数的左侧写上“+”或“-”,再写数字。写正数时,数左侧的“+”可以省略不写。三、用直线上的点表示正、负数1.正数、0、负数都可以用直线的上点表示出来。直线上的每一个点都与一个数相对应,任何一个数都可以用直线上的点来表示。例如:2.用直线上的点表示数时,要先确定好0的位置,并用箭头表示出正数的方向。3.用有正数和负数的直线可以表示距离和相反的方向。4.在直线上的点,位置越往左,表示的数就越小;位置越往右,表示的数就越大。所有的负数都比0小,所有的正数都比0大,正数都比负数大。注意:除0外,整数、小数、分数、
3、百分数都有正数和负数两种形式。提示:在表示两种相反意义的两个量时,谁是正数、谁是负数不是固定不变的,可以根据需要确定其中一个量是正数,另一个量就是负数。例如:+87.25读作正八十七点二五;-20%读作负百分之二十。例如:正三十二写作+32,也可写作32。负四十八写作-48。提示:在数学中,可以用一条直线上的点表示数,这条直线就叫做数轴。提示:最小的正整数是1,最大的负整数是-1,没有最大的正整数,也没有最小的负整数。例如:-3和-18,温度越低就越冷,也说明那个数就越小。2百分数(二)一、折扣1.商店有时降价出售商品,叫做打折扣销售,俗称“打折”。2.几折就表示原价的十分之几,也就是原价的百
4、分之几十;几几折就是原价的百分之几十几。3.求现价,就是求原价的百分之几是多少。求原价,就是已知一个数的百分之几是多少,求这个数。已知原价和现价,求折扣,就是求一个数是另一个数的百分之几。求节省或少花多少钱,就是求比一个数少百分之几的数是多少。二、成数1.农业上经常用“成数”来表示收成的情况。现在,“成数”已经广泛应用于表示各行各业的发展变化情况。2.成数表示一个数是另一个数的十分之几,也就是百分之几十;但是在表示百分之几十几时,要说几成几。3.解决成数问题时,把成数转化为百分数后,解题思路和解题方法同解决百分数问题完全相同。三、税率1.纳税的含义:纳税是根据国家税法的有关规定,按照一定的比率
5、把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。2.每个公民都有依法纳税的义务。缴纳的税款叫做应纳税额,应纳税额与各种收入(销售额、营业额)的比率叫做税率。3.求应纳税额,就是求一个数的百分之几是多少的问题,收入税率=应纳税额。求税率,就是求应纳税额是应纳税收入的百分之几,税率=应纳税额收入100%。求收入,就是已知一个数的百分之几是多少,求这个数是多少,收入=应纳税额税率。四、利率1.存款的方式有多种:活期、整存整取、零存整取等。2.存入银行的钱叫做本金;取款时银行多支付的钱叫做利息;单位时间(如1年、1月、1日等)内的利息与本金的比率叫做利率。3.利息=本金利率存期; 本金=利息存期利率;利率=利息存
6、期本金。五、解决问题在日常购物时,要根据商品的促销政策,用学过的百分数知识求出商品的实际价格,从中选取最省钱的方案。例如:打九折就是按原价的90%出售。打八五折就是按原价的85%出售。现价=原价折扣原价=现价折扣折扣=现价原价节省钱数=原价(1-折扣)例如:今年我省油菜籽比去年增产两成。两成就是十分之二,改写成百分数就是20%。35%改写成成数是三成五。提示:税收的种类不同,税率也各不相同。提示:有时并不是全部收入都需要纳税,例如,目前个人工资或薪金收入的3500元以下的部分是不需要纳税的,而超过3500元部分则需要按规定纳税。需要纳税部分的收入叫做应税收入。提示:存期不同,所对应的利率也会有
7、所不同。提示:在累计存期相同的情况下,一次性存款比其他存款方式所获得的利息要多一些。注意:计算时,存期要与利率相对应,年利率对应的存期要以“年”为单位,月利率对应的存期要以“月”为单位。3圆柱与圆锥一、圆柱的认识1.生活中有许多物体是圆柱形的,如茶叶桶、蜡烛、罐头盒等。2.圆柱的特征:圆柱是由3个面围成的。它的上、下两个面叫做底面。圆柱周围的面(上、下底面除外)叫做侧面。圆柱的两个底面之间的距离叫做高,圆柱有无数条高。3.圆柱的上、下底面是完全相同的两个圆。圆柱的侧面是一个曲面,沿高展开后是一个长方形(或正方形),这个长方形(或正方形)的长(或边长)等于圆柱的底面周长,宽(或边长)等于圆柱的高
8、。4.把一张长方形的硬纸贴在木棒上,快速转动木棒,长方形硬纸形成的图形就是圆柱。二、圆柱的表面积1.圆柱的侧面积=底面周长高,用字母表示:S侧=Ch。如果已知底面直径,底面周长的计算公式是C=d,圆柱的侧面积公式就是S侧=dh;如果已知底面半径,底面周长的计算公式就是C=2r,圆柱的侧面积公式就是S侧=2rh。2.圆柱的表面积=侧面积+底面积2,用字母表示为S表=Ch+2r2。三、圆柱的体积1.圆柱所占空间的大小,叫做这个圆柱的体积。2.圆柱体积的推导过程:把一个圆柱的底面沿半径分成若干个相等的扇形,按照等分线沿着圆柱的高把它们切开后,可以拼成一个近似的长方体。分成的扇形越多,拼成的立体图形就
9、越接近于长方体。拼成的长方体与圆柱形状不同,体积相等。长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高等于圆柱的高。长方体的体积=底面积高,推导出:圆柱的体积=底面积高。3.圆柱的体积公式是V圆柱=Sh,如果知道圆柱的底面半径r和高h,圆柱的体积公式就是V圆柱=r2h。4.在求不规则的物体的体积或容积时,可以利用转化的思想,将其转化成规则的图形进行计算。四、圆锥的认识1.生活中有很多物体的形状是圆锥形的,像尖形的帽子、粮囤的顶部等,还有漏斗、跳棋等物体的形状也接近圆锥形。2.圆锥的特征:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的立体图形。圆锥的底面是一个圆,圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是
10、圆锥的高。圆锥只有一条高。3.圆锥高的测量方法:把圆锥的底面水平放好;把一块平板水平地放在圆锥的顶点上面;平板和底面之间的距离就是圆锥的高。4.把一张直角三角形的硬纸贴在木棒上,快速转动木棒,直角三角形转动形成的图形是圆锥,贴在木棒上的直角边是圆锥的高,另一条直角边是圆锥的底面半径。五、圆锥的体积1.圆锥的体积推导过程:准备等底等高的圆柱和圆锥形容器。把空的圆锥形容器里装满水或细沙,然后倒入空圆柱形容器里,倒3次正好将空圆柱装满。如果把空圆柱形容器装满水或细沙,倒入空圆锥形容器中,每次都倒满,正好也倒了3次。通过实验可知,等底等高的圆柱和圆锥,圆柱的体积是圆锥体积的3倍,也可以说圆锥的体积是圆
11、柱体积的13。2.圆锥的体积公式:V圆锥=13Sh。已知圆锥的底面半径和高,可以直接利用公式V圆锥=13r2h来计算体积。提示:如果沿一条斜线将圆柱的侧面展开,它的侧面会是一个平行四边形,圆柱的底面周长是平行四边形的底,圆柱的高是平行四边形的高。注意:圆柱的侧面展开不可能得到梯形。提示:在实际中,不是所有的圆柱形物体都有两个底面,要具体问题具体分析。例如:求一段排气筒的表面积就是求圆柱的侧面积,求一个水桶的表面积就是求圆柱的侧面积和一个底面积的和。提示:把圆柱转化成长方体来求体积,运用的是转化的思想方法。要点:圆柱的高不变,底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍,则体积扩大到原来的n2倍;若底面
12、半径、直径、或周长缩小到原来的1n,则体积缩小到原来的1n2。注意:从圆锥的顶点到圆锥底面圆周上的一点连一条直线,沿这条直线把圆锥的侧面展开,会得到一个扇形。提示:如果把一个圆锥切成大小、形状完全相同的两块,切面是两个以底面直径为底边,以圆锥的高为高的等腰三角形。圆柱与圆锥的关系:(1)等体积等高时,圆柱底面积是圆锥的13,圆锥底面积是圆柱的3倍;(2)等体积等底时,圆锥高是圆柱的3倍,圆柱高是圆锥的13。4比例一、比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。二、比例的基本性质1.组成比例的四个数,叫做比例的项,两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项。2.比例的基本性质:在比例里,两个
13、外项的积等于两个内项的积。可以用字母表示比例的基本性质,如果ab=cd,那么ad=bc。3.运用比例的意义和比例的基本性质可以判断两个比是否可以组成比例,也可以解比例。三、解比例1.求比例中的未知项,叫做解比例。2.解比例的依据:比例的基本性质。3.解比例的方法:利用比例的基本性质将比例转化为外项之积与内项之积相等的等式,再通过解方程求出未知项的值。四、正比例1.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。2.如果用字母y和x表示两种相关联的量,用k表示它们的比值(一定),正比例关系可以表示为yx
14、=k。3.正比例的图象:如果把成正比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对,在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来,形成一条射线;反之,该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两个相关联的量的一组具体值。五、反比例1.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。2.如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的积(一定),反比例关系可以表示为xy=k。3.反比例关系也可以用图象来表示,如果把成反比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对,在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来,会形成一条
15、光滑的曲线;反之,该曲线上的每一个点对应的就是反比例关系中两个相关联的量的一组具体值。六、比例尺1.一幅图的图上距离与实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。用公式表示为“图上距离实际距离=比例尺”或“图上距离实际距离=比例尺”。2.按照表现形式分,比例尺有数值比例尺和线段比例尺两种,两种比例尺可以互相转化。把线段比例尺改写成数值比例尺时,一定要统一单位。3.按将实际距离缩小还是放大分,可以分为缩小比例尺和放大比例尺。4.已知图上距离和实际距离,求比例尺,先统一单位,然后根据“图上距离实际距离=比例尺”列式,并化简为比的前项或后项是“1”的形式。5.已知图上距离和比例尺,求实际距离,可以根据“图上距
16、离:实际距离=比例尺”,用解比例的方法求出,也可以把比例尺看作一个比值,用“图上距离比例尺=实际距离”直接计算。6.已知实际距离和比例尺求图上距离,可以用解比例的方法计算,也可以根据“图上距离=实际距离比例尺”直接计算。7.应用比例尺画图:先确定比例尺;根据比例尺求出图上距离;根据图上距离画出相应的平面图;标明平面图的名称和比例尺。七、图形的放大与缩小1.图形按一定的比放大或缩小后,只是图形的大小发生了变化,图形原有的形状没变化。2.把图形按比放大或缩小,就是把图形的每一条边都按比放大或缩小。八、用比例解决问题1.以前学过的“归一问题”和“归总问题”都可以用解比例的方法解答。2.用比例解决问题
17、的关键是分析数量关系,找出不变量,然后根据两种相关联的量是成正比例关系还是成反比例关系,将未知的量设成未知数,列出比例,再解比例。提示:组成比例的两个比既可以写成带比号的形式,也可以写成分数的形式,但读法相同。例如:2.440=1.660提示:如果4个不同的数能组成比例,那么这4个数一共能组成8个不同的比例。提示:应用比例的基本性质不是解比例唯一的方法,也可以用求比值的方法或其他方法解比例。总结:判断两种量是否成正比例的方法:先找变量(两种相关联的量),再看定量(两种量是比值一定,还是乘积一定),最后作出判断。例如:单价、总价与数量是互相关联的量,当数量一定时,总价单价=数量,总价与单价成正比
18、例关系。当单价一定时,总价数量=单价,总价与数量成正比例关系。当总价一定时,单价数量=总价,单价与数量成反比例关系。如果两种量的和或差一定时,这两种量虽然相关联,但不成比例。如:一本书已看的页数+未看的页数=书的总页数。注意:数值比例尺是一个比,它表示图上距离和实际距离的关系,因此不能带计量单位。提示:进行有关比例尺的计算时,一定要注意单位是否统一。提示:为了计算方便,一般把比例尺写成前项或后项是1的形式。缩小比例尺的前项一般是1,但放大比例尺一般后项是1。注意:图形放大或缩小后,形状不变,相对应的角的度数也不变。注意:有时在解比例中求出的未知量不是问题的所求,要根据未知量所表示的具体意义写出
19、解设,求出未知数后,还需根据问题所求进行进一步的计算。5数学广角鸽巢问题一、鸽巢问题1.把n+1(n是大于0的自然数)个物体放进n个“鸽笼”中,总有一个“鸽笼”至少放进了2个物体。2.把多于kn(k、n都是大于0的自然数)个物体放进n个“鸽笼”中,总有一个“鸽笼”至少放进(k+1)个物体。二、鸽巢问题的应用1.如果有n( n是大于0的自然数)个“鸽笼”,要保证有一个“鸽笼”至少放进了2个物品,那么至少需要有n+1个物品。2.如果有n( n是大于0的自然数)个“鸽笼”,要保证有一个“鸽笼”至少放进了(k+1)( k是大于0的自然数)个物品,那么至少需要有(kn+1)个物品。3.(分放的物体总数-1)(其中一个鸽笼里至少有的物体个数-1)=ab(b85669336920例如:62.5752.754.2564.252例如:471723258534314123提示:比较小数、分数和百分数的大小时,通常把分数和百分数化成小数进行比较,最后的结果一定要用原数。提示:用数轴上的点可以比较数的大小。数轴上表示数的点的位置越往右,表示的数越大,点的位置越往左,表示的数越小。注意:一个数的因数的个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是
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