1、一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）圆x2+y2+2x4y0的半径为（）A3BCD52（5分）椭圆+1（0m4）的离心率为，则m的值为（）A1BC2D23（5分）经过点（1，3），倾斜角是150的直线方程是（）Axy3+10Bx+y+310Cxy+310Dx+y3+104（5分）圆O1：x2+y21与圆O2：x2+y22x2y+30的位置关系是（）A外离B相交C内切D外切5（5分）若直线x+（1+m）y20和直线mx+2y+40平行，则m的值为（）A1B2C1或2D6（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是
2、（）A4+8+B4+8+2C8+8+D8+8+27（5分）已知抛物线C：y24x的焦点为F和准线为l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且2，则|AB|（）A3B6C9D128（5分）已知直线ymx+3m和曲线y有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A0，）B，0C，D0，）9（5分）已知实数x，y满足不等式组，且z2xy的最大值是最小值的2倍，则a的值为（）ABCD10（5分）已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|2|PF2|，若sinF1PF2，则该双曲线的离心率等于（）AB2C或2D或11（5分）在平面直角坐标系xOy中，
3、直线l1：kxy+40与直线l2：x+ky30相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线4x3y+100的距离的最大值为（）A2BCD12（5分）已知椭圆C1：+1（a1b10）与双曲线C2：1（a20，b20）有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|4|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2e1的取值范围是（）ABCD二、填空题：本大题共7小题，其中多空题每题6分，单空题每题4分，共34分13（6分）双曲线1的渐近线方程是 ，实轴长为 14（6分）已知实数x，y满足，则目标函数z3x+y的最小值是
4、; ，最大值是 15（6分）已知直线l1：2xy+10与l2：x2y+50相交于点P，则点P的坐标为 ，经过点P且垂直于直线3x+4y50的直线方程为 16（4分）当直线l：kxy+13k0被圆x2+y216所截得的弦长最短时，k 17（4分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线方程为2x3y0，焦距为2，则双曲线C的标准方程为 18（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0），若在曲线C：x2+y22ax4ay+5a290上存在点P，使得|PB|2|PA|，则实数a的取值范围为
5、19（4分）过椭圆+1的右焦点F作斜率为k的直线l与椭圆相交于A，B两点，若2，则k 三、解答题：本大题共4小题，每小题14分，共56分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤20（14分）已知直线yax+1和抛物线y24x相交于不同的A，B两点（）若a2，求弦长|AB|；（）若以AB为直径的圆经过原点O，求实数a的值21（14分）已知直线l：ykx+m与椭圆+1（ab0）恰有一个公共点P，l与圆x2+y2a2相交于A，B两点（）求m（用a，b，k表示）；（）当k时，AOB的面积的最大值为a2，求椭圆的离心率22（14分）已知抛物线E：y22px（p0），过其焦点F的直线与抛物线相
6、交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，满足y1y24（）求抛物线E的方程；（）已知点C的坐标为（2，0），记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求+的最小值23（14分）已知椭圆C：+1（ab0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P（1，）为椭圆上一点（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过点C（0，1）且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若k12k2，求直线l斜率的值2019-2020学年浙江省丽水市四校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
7、目要求的1（5分）圆x2+y2+2x4y0的半径为（）A3BCD5【分析】利用圆的一般方程的性质求解【解答】解：圆x2+y2+2x4y0的半径：r故选：C【点评】本题考查圆的直径的求法，是基础题，解题时要认真审题2（5分）椭圆+1（0m4）的离心率为，则m的值为（）A1BC2D2【分析】利用椭圆方程，结合离心率公式求解即可【解答】解：椭圆1（0m4）的离心率为，可得，解得m2故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查3（5分）经过点（1，3），倾斜角是150的直线方程是（）Axy3+10Bx+y+310Cxy+310Dx+y3+10【分析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，再由
8、直线的点斜式方程求解【解答】解：直线的倾斜角为150，所求直线的斜率ktan150，又直线过点（1，3），所求直线方程为y+3（x1），即故选：B【点评】本题考查直线的倾斜角与直线的斜率的关系，考查直线的点斜式方程，是基础题4（5分）圆O1：x2+y21与圆O2：x2+y22x2y+30的位置关系是（）A外离B相交C内切D外切【分析】化圆O2为标准方程，分别求出两圆的圆心坐标与半径，由圆心距等于半径和得答案【解答】解：圆O1：x2+y21的圆心坐标为（0，0），半径为1；化圆O2：x2+y22x2y+30为，则圆O2的圆心坐标为（），半径为1|O1O2|，等于两圆半径和，两圆的位置关系是外切故
9、选：D【点评】本题考查圆与圆的位置关系的判定，是基础题5（5分）若直线x+（1+m）y20和直线mx+2y+40平行，则m的值为（）A1B2C1或2D【分析】由两直线平行的充要条件，列出方程求解即可【解答】解：直线x+（1+m）y20和直线mx+2y+40平行，可得，得：m1，故选：A【点评】本题主要考查两直线的位置关系6（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A4+8+B4+8+2C8+8+D8+8+2【分析】根据三视图知几何体是底面为正方形的长方体，中间挖去一个圆锥体剩余部分，结合图中数据求得该几何体的表面积【解答】解：根据三视图知几何体是底面为正方形的长方体，中间挖去一
10、个圆锥体剩余部分，如图所示；则该几何体的表面积是S222+4212+18+8+故选：C【点评】本题考查了由三视图想象出直观图，以及空间想象力，识图能力及计算能力7（5分）已知抛物线C：y24x的焦点为F和准线为l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且2，则|AB|（）A3B6C9D12【分析】利用2，求解AB坐标，利用两点间距离公式求得|AB|【解答】解：抛物线C：y24x的焦点F（1，0）和准线l：x1，设A（1，a），B（m，n），2，可得|FA|：|AB|2：3，|FD|：|BC|2：3，|BC|3，m2，n242，n2，a4，AB9，故选：C【点评】本题考查抛物线的性质，
11、考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题8（5分）已知直线ymx+3m和曲线y有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A0，）B，0C，D0，）【分析】由题意，直线ymx+3m经过定点P（3，0），以m为斜率同一坐标系内作出直线ymx+3m和曲线，得到它们相切时直线PA的斜率m的值，由此将直线绕P点旋转并观察交点个数与m的变化，即可得到实数m的取值范围【解答】解：直线ymx+3mm（x+3）经过定点P（3，0），以m为斜率曲线是以原点为圆心，半径r2的圆的上半圆同一坐标系内作出它们的图象，如图当直线与半圆切于A点时，它们有唯一公共点，此时，直线的倾斜角满足sin，cos，可得直线的
12、斜率mtan，当直线ymx+3m的倾斜角由此位置变小时，两图象有两个不同的交点，直线斜率m变成0为止由此可得当0m时，直线ymx+3m和曲线有两个不同的交点故选：A【点评】本题给出直线与半圆有两个公共点，求实数m的取值范围着重考查了直线与圆的位置关系、恒过定点的直线和同角三角函数基本关系等知识，属于基础题9（5分）已知实数x，y满足不等式组，且z2xy的最大值是最小值的2倍，则a的值为（）ABCD【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z3x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值，再列方程求出a即可【解答】解：实数x，y满足不等式组作图可知，若可
13、行区域存在，则必有a1，故排除CD；由z2xy，得y2xz，平移直线y2xz，由图象可知当直线y2xz，经过点B（1，1）时，直线y3x+z的截距最大，此时z最大最小为zmax1，平移直线y2xz，由图象可知当直线y2xz经过点A（a，2a）时，直线y2xz的截距最小，此时z最小为zmin3a2z2xy的最大值是最小值的2倍，由6a41，解得a，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法10（5分）已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|2|PF2|，若sinF1PF2，则该双曲线的离心率等于（）AB2C或
14、2D或【分析】根据余弦定理列方程得出a，c的关系，再计算离心率【解答】解：由双曲线定义可知：|PF1|PF2|PF2|2a，|PF1|4a，由sinF1PF2可得cosF1PF2，在PF1F2中，由余弦定理可得：，解得：4或6，e2或故选：C【点评】本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于基础题11（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kxy+40与直线l2：x+ky30相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线4x3y+100的距离的最大值为（）A2BCD【分析】求得直线l1，直线l2，恒过定点，以及两直线垂直，可得交点P的轨迹，再由直线和圆的位置关系，即可得到所求最大值【解答】解：直
15、线l1：kxy+40与直线l2：x+ky30的斜率之积：1，直线l1：kxy+40与直线l2：x+ky30垂直，直线l1：kxy+40与直线l2：x+ky30分别过点M（0，4），N（3，0），直线l1：kxy+40与直线l2：x+ky30的交点P在以MN为直径的圆上，P为以C（，2）为圆心，半径为的圆上，圆心C到直线4x3y+100的距离为d2，则点P到直线4x3y+100的距离的最大值为d+r+2故选：B【点评】本题考查直线恒过定点的求法和两直线垂直的条件，以及点到直线的距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题12（5分）已知椭圆C1：+1（a1b10）与双曲线C2：1（a20，b20
16、）有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|4|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2e1的取值范围是（）ABCD【分析】运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式和范围，结合换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围【解答】解：设|PF1|m，|PF2|n，由椭圆的定义可得m+n2a1，由双曲线的定可得mn2a2，解得ma1+a2，na1a2，由|F1F2|4|PF2|，可得nc，即a1a2c，由e1，e2，可得，由0e11，可得1，可得，即1e22，则e2e1e2，可设2+e2t（3t4），则t+4，由f（t）t+4在3t4递增，可得f（
17、t）（，1）故选：B【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的范围，考查换元法和构造函数法，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共7小题，其中多空题每题6分，单空题每题4分，共34分13（6分）双曲线1的渐近线方程是x2y0，实轴长为4【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程与实轴长即可【解答】解：双曲线，可得a2，所以双曲线的渐近线方程是：x2y0，实轴长为：4故答案为：x2y0；4【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查14（6分）已知实数x，y满足，则目标函数z3x+y的最小值是6，最大值是【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截
18、式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，解得A（2，0），由解得B（，），化目标函数z3x+y为y3x+z，由图可知，当直线y3x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为6当直线y3x+z过点B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：故答案为：6；【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15（6分）已知直线l1：2xy+10与l2：x2y+50相交于点P，则点P的坐标为（1，3），经过点P且垂直于直线3x+4y50的直线方程为4x3y+50【分析】直接联立两直线方程即可求解
19、交点坐标；设出垂直于直线3x+4y50的直线方程为4x3y+c0，把（1，3）代入解得c，则直线方程可求【解答】解：联立，解得P点的坐标为（1，3）；设垂直于直线3x+4y50的直线方程为4x3y+c0，把（1，3）代入解得c5经过点P且垂直于直线3x+4y50的直线方程为4x3y+50故答案为：（1，3）；4x3y+50【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线的一般方程与直线垂直的关系，是基础题16（4分）当直线l：kxy+13k0被圆x2+y216所截得的弦长最短时，k3【分析】首先利用直线的变换，求出直线经过的定点，进一步利用直线与圆的位置关系的应用和垂径定理的应用求出结果【解答】解：直
20、线l：kxy+13k0，整理得：y1k（x3），故直线经过定点（3，1），当经过点（3，1）的直线且垂直于直线yx的直线时，弦长最短为22，此时k3故答案为：3【点评】本题考查的知识要点：定点直线系的应用，直线与圆的位置关系的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题17（4分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线方程为2x3y0，焦距为2，则双曲线C的标准方程为1【分析】利用双曲线的渐近线方程以及焦距列出方程组，然后求解双曲线的标准方程即可【解答】解：双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线方程为2x3y0，焦距为2，设双曲线方程为：（a0，b0），可得，并且c213
21、a2+b2，可得a3，b2，所求双曲线的标准方程为：1故答案为：1【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力，是基础题18（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0），若在曲线C：x2+y22ax4ay+5a290上存在点P，使得|PB|2|PA|，则实数a的取值范围为，【分析】根据题意，设P（x，y），分析可得若|PB|2|PA|，则有（x4）2+y24（x1）2+4y2，变形可得x2+y24，进而可得P的轨迹为以O为圆心，半径为2的圆；将曲线C的方程变形为（xa）2+（y2a）29，可得以（a，2a）为圆心，半径为3的圆；据此分析可得若曲线C上
22、存在点P使得|PB|2|PA|，则圆C与圆x2+y24有公共点，由圆与圆的位置关系可得322+3，解可得a的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，设P（x，y），若|PB|2|PA|，即|PB|24|PA|2，则有（x4）2+y24（x1）2+4y2，变形可得：x2+y24，即P的轨迹为以O为圆心，半径为2的圆，曲线Cx22ax+y24ay+5a290，即（xa）2+（y2a）29，则曲线C是以（a，2a）为圆心，半径为3的圆；若曲线C上存在点P使得|PB|2|PA|，则圆C与圆x2+y24有公共点，则有322+3，即1|a|5，解可得：a或a，即a的取值范围为：，；故答案为：，【点评】本
23、题考查圆的方程应用以及轨迹方程的计算，关键求出P的轨迹方程19（4分）过椭圆+1的右焦点F作斜率为k的直线l与椭圆相交于A，B两点，若2，则k【分析】设直线yk（x2），A（x1，y1），B（x2，y2），由（*），联立解方程组，利用韦达定理代入即可【解答】解：由椭圆方程可得a3，b，c2，F（2，0），设直线l；yk（x2），A（x1，y1），B（x2，y2），由2，y12y2，所以（*）联立解方程组，得到关于y的方程（9k2+5）y2+20ky25k20，得，带入（*）化简得，得9k232527，所以k23，故答案为：【点评】考查向量与圆锥曲线的综合题，韦达定理的应用，中档题三、解答题：本
24、大题共4小题，每小题14分，共56分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤20（14分）已知直线yax+1和抛物线y24x相交于不同的A，B两点（）若a2，求弦长|AB|；（）若以AB为直径的圆经过原点O，求实数a的值【分析】（）将直线y2x+1和抛物线y24x联立，消去y可得x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值；（）将直线yax+1和抛物线y24x联立，消去y可得x的二次方程，运用判别式大于0和韦达定理，由题意可得OAOB，可得x1x2+y1y20，结合A，B均在直线yax+1上，可得a的方程，解方程即可得到所求值【解答】解：（）将直线y2x+1和抛物线y24x联立，可得4x
25、28x+10，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x22，x1x2，即有|AB|x1x2|；（）将直线yax+1和抛物线y24x联立，可得a2x2+（2a4）x+10，a0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得（2a4）24a21616a0，即a1，x1+x2，x1x2，y1y2（ax1+1）（ax2+1）a2x1x2+a（x1+x2）+1，以AB为直径的圆经过原点O，可得OAOB，可得x1x2+y1y20，即有（1+a2）x1x2+a（x1+x2）+1（1+a2）+a+10，解得a，满足0，故a【点评】本题考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定
26、理和弦长公式，以及向量数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题21（14分）已知直线l：ykx+m与椭圆+1（ab0）恰有一个公共点P，l与圆x2+y2a2相交于A，B两点（）求m（用a，b，k表示）；（）当k时，AOB的面积的最大值为a2，求椭圆的离心率【分析】（）根据题意，联立直线与椭圆的方程，变形可得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2（m2b2）0，由直线与椭圆的位置关系可得（2a2km）24（a2k2+b2）a2（m2b2）0，整理变形可得答案；（）根据题意，求出原点O到直线l的距离，变形可得，结合椭圆的离心率公式分析可得答案【解答】解：（）根据题意，直线l与椭圆恰有一个
27、公共点P，即相切；则有，得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2（m2b2）0，则（2a2km）24（a2k2+b2）a2（m2b2）0，化简整理，得m2a2k2+b2；m，（）因为当时，OAB的面积取到最大值，此时OAOB，从而原点O到直线l的距离，又，故；再由（I），得，则又，故，即，从而，即【点评】本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题22（14分）已知抛物线E：y22px（p0），过其焦点F的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，满足y1y24（）求抛物线E的方程；（）已知点C的坐标为（2，0），记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求+的
28、最小值【分析】（1）利用已知条件求出p，即可得到抛物线方程（2）设出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理，转化求解直线的斜率关系的表达式，然后求解最小值【解答】（本小题满分12分）解：（1）因为直线过焦点，所以有y1y2p24，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为F（l，0），设直线AB的方程为xmy+1，联立抛物线的方程y24my40，所以y1+y24m，y1y24，则有，因此所以当且仅当m0时，有最小值【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力23（14分）已知椭圆C：+1（ab0）的左、右顶点分别为A，
29、B，离心率为，点P（1，）为椭圆上一点（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过点C（0，1）且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若k12k2，求直线l斜率的值【分析】（1）根据题意，由椭圆离心率可得a2c，进而可得，则椭圆的标准方程为，将P的坐标代入计算可得c的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线l的方程为ykx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），将直线的方程与椭圆联立，可得（3+4k2）x2+8kx80，利用韦达定理，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得，推出12k220k+30，解可得k的值，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，椭圆的离心率为，即e2，则a2c又a2b2+c2，椭圆的标准方程为：又点P（1，）为椭圆上一点，解得：c1椭圆的标准方程为：（2）由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为ykx+1设M（x1，y1），N（x2，y2）联列方程组：，消去y可得：（3+4k2）x2+8kx80由韦达定理可知：，且k12k2，即又M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上，将代入可得：，即3x1x2+10（x1+x2）+120，即12k220k+30解得：或又由k1，则【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程，属于综合题
浙公网安备33030202001339号