1、知识点过关培优训练：二次函数1在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A、B，C，已知A（1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EFx轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由2在直角坐标系中，ABO，O为坐标原点，A（0，3），B（6，3），二次函数yx2+bx+c的图象经过点A，B，
2、点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQAB垂足为H，交OB于点Q（1）求b，c的值；（2）当APQB时，求点P的坐标；（3）当APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标3如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx3交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作PQy轴，交直线AC于点Q，设点P的横坐标是m求线段PQ的长度n关于m的函数关系式；连接AP，CP，求当ACP面积为时点P的坐标；（3）若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，
3、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN的长度；若不存在，请说明理由4如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线yax25ax+4a（a是常数，且a0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧（1）求点A，B的坐标；（2）当CDx轴时，求抛物线的函数表达式；（3）连接BD，当BD最短时，请直接写出抛物线的函数表达式5如图，抛物线y（x+2）（x2k）交x轴于点A、B，（A左B右），与y轴交于点C，把射线BC沿x轴翻折交抛物线于点D，交y轴于点F，点D纵坐标为6（1）求抛物线的解析式；（2）点
4、P为第四象限抛物线上一点，连接PB、PC，设点P横坐标为m，PBC的面积为S，求S与m的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）；（3）在（2）的条件下，PD交y轴于点E，交BC于点M，过点P作y轴平行线交BD、BC于点G、H，若MEF与MGH面积的和为6，求PBC的面积6如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（1，0），且OAOC4OB，抛物线yax2+bx+c（a0）图象经过A，B，C三点（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PDAC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值7在平面直角坐标系中，二次函数yax2
5、+bx+2的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求这个二次函数的关系解析式，x满足什么值时y0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由8如图，抛物线yx2+bx+c与轴交于点A和点B，与y轴交于点C，作直线BC，点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6）（1）求抛物线的解析式并写出其对称轴；（2）D为抛物线对称轴上一点，当BCD是以BC为直角
6、边的直角三角形时，求D点坐标；（3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线BC上的一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q使以C，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出Q点的横坐标；若不存在，请说明理由9如图，直线AB经过x轴上一点A（3，0），且与抛物线yax2+1相交于B、C两点，点B的坐标为（1，2）（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）若点D是抛物线上一点，且D在直线BC下方，若SBCD3，求点D的坐标；（3）设抛物线顶点为M，问在抛物线上是否存在点P使PMC是以MC为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由10如图，已知抛物线yx2+4x+5与
7、x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）直接写出点A、B、C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合）过点D作DFx轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把BDF的面积分成两部分，使SBDE：SBEF2：3，请求出点D的坐标；（4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标11如图，抛物线yax2+bx4a（a0）经过A（1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作x轴的平行线交
8、抛物线于另一点D，连接BD，点P为抛物线上一点，且DBP45，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的MAC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由12如图，已知二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标13如图1，抛物线yax2+bx3与x
9、轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x2，交抛物线于点D，交x轴于点E（1）请直接写出：抛物线的函数解析式及点B、点D的坐标；（2）抛物线对称轴上的一动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度向上运动，连接OP，BP，设运动时间为t秒（t0）在点P的运动过程中，请求出：当t为何值时，OPB90？（3）如图2，点Q在抛物线上运动（点Q不与点A、B重合），当QBC的面积与ABC的面积相等时，请求出点Q的坐标14如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线yx+与x轴交于点A，与y轴交于点B，点F是点B关于x轴的对称点，抛物线yx2+bx+c经过点A和点F，与直线AB交于点C（1
10、）求b和c的值；（2）点P是直线AC下方的抛物线上的一动点，连结PA，PB求PAB的最大面积及点P到直线AC的最大距离；（3）点Q是抛物线上一点，点D在坐标轴上，在（2）的条件下，是否存在以A，P，D，Q为顶点且AP为边的平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由15如图，抛物线yax2+bx+2经过A（1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）M在抛物线上，线段MA绕点M顺时针旋转90得MD，当点D在抛物线的对称轴上时，求点M的坐标；（3）P在对称轴上，Q在抛物线上，以P，Q，B，C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标参考答案1解：（1
11、）yx2+bx+c经过点C，则c3，将点A的坐标代入抛物线表达式：yx2+bx+3并解得：b2，抛物线的表达式为：yx2+2x+3；（2）存在，理由：令y0，则x1或3，故点B（3，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：yx+3，设点D（x，x2+2x+3），则点P（x，x+3），则PD（x2+2x+3）（x+3）x2+3x，当x时，PD最大值为：；（3）过点B作倾斜角为30的直线BH，过点C作CHBH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，直线BH表达式中的k值为，则直线CH的表达式为：yx+3，当x1时，y3，当y0时，x，故点N、M的坐
12、标分别为：（1，3）、（，0），CN+MN+MB的最小值CHCM+FH2解：（1）把A（0，3），B（6，3）代入yx2+bx+c并解得：；（2）设P（m，m2+6m+3）PB，AHPOAB90，ABOHPA，解得m4P（4，11）（3）当APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，则2（AO+HQ）PH，得：m14，m23，P（4，11）或P（3，12）3解：（1）抛物线的表达式为：ya（x+1）（x3）a（x22x3），故3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x3；（2）设点P（m，m22m3），将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y3x3，则点Q（m，
13、3m3），nPQm22m3+3m+3m2+m；连接AP交y轴于点H，同理可得：直线AP的表达式为：y（m3）x+m3，则OH3m，则CHm，ACP面积CH（xPxA）m（m+1），解得：m（不合题意的值已舍去），故点P（，）；（3）点C（0，3），点B（3，0），设点P（m，n），nm22m3，点N（1，s），当BC是边时，点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到B，同样点M（N）向右平移3个单位向上平移3个单位得到N（M），即13m，s3n，解得：m4或2，s2或0，故点N（1，2）或（1，0），则BN2或2；当BC是对角线时，由中点公式得：3m+1，3s+n，解得：s6，故点N（1，6），
14、则BN2，综上，BN2或2或24解：（1）yax25ax+4a，令y0，则x1或4，故点A、B的坐标分别为：（1，0）、（4，0）；（2）当CDx轴时，则CAO60，则OCOAtan60，故点C（0，），即4a，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2x+；（3）如图，过点D作DEAC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EFx轴交y轴于点F交DH于点G，ACD为等边三角形，则点E为AC的中点，则点E（，2a），AECEED，CEF+FCE90，CEF+DEG90，DEGECF，CFEEGD，其中EF，CF2a，解得：GE2a，DG，故点D（a，2a+），BD2（+2a4）2+（2a+）216
15、（a）2+，故当a时，BD最小，故抛物线的表达式为：yx2x+5解：（1）过点D作DSx轴于S令y0，即（x+2）（x2k）0解得x2或x2kOA2，OB2k令x0，则yk，OCktanOBCtanOBD，点D纵坐标为6，DS6，BS12，OS122k点D坐标为（2k12，6），代入解析式得：6（2k12+2）（2k122k）解得k4抛物线解析式为y（x+2）（x8）或yx2x4；（2）过点P作PNBC于N，PRx轴于R，PR交BC于K令x0，y4，OC4C（0，4），由（1）得B（8，0）先求出直线BC解析式yx4，PKPRRK点P（m， m2m4）PRm2m4），K（m， m4）RKm+4
16、PK（m2m4）（m+4），NPKOBCcosOBCcosNPKPNPK cosNPKm2+mBC4SBCPN（m2+m）Sm2+8m；（3）在（1）图基础上，过点P作PQDS，设PQ交y轴于点L，tanDPQ，即EL可知点F（0，4）EFFLEL4（）EF8m，求出直线BF解析式为yx+4，点G纵坐标为m+4，点H纵坐标为m4，GH（m+4，）（m4，）8m，MEF面积与MGH面积和为6（8m）m6解得m2或m6Sm2+8mS126解：（1）OAOC4OB4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，4）；（2）抛物线的表达式为：ya（x+1）（x4）a（x23x4），即4a4，解得：a1，故
17、抛物线的表达式为：yx23x4；（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：ykx4，将点A坐标代入上式并解得：k1，故直线CA的表达式为：yx4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，OAOC4，OACOCA45，PHy轴，PHDOCA45，设点P（x，x23x4），则点H（x，x4），PDHPsinPFD（x4x2+3x+4）x2+2x，0，PD有最大值，当x2时，其最大值为2，此时点P（2，6）7解：（1）函数表达式为：ya（x+3）（x1）a（x2+2x3），3a2，解得：a，抛物线的表达式为：yx2x+2，当x3或x1时，y0；（2）存在，理由：过点P作平行于y轴的直线交AC于点H，将点A（
18、3，0）、C（0，2）的坐标代入一次函数表达式：ykx+b得：，解得：，故直线AC的表达式为：yx+2，设点P（x，x2x+2），则点H（x， x+2），ACP面积SPHOA3（x2x+2x2）x23x，0，故当x时，S有最大值，此时点P（，）；（3）设点M的坐标为：（m，n），则nm2m+2，点Q（s，0），点A、C的坐标分别为：（3，0）、（0，2），当AC是平行四边形的一条边时，点A向右平移3个单位、向上平移2个单位得到C，同样点M（Q）向右平移3个单位、向上平移2个单位得到Q（M），即：m+3s，n+20或m3s，n20，且nm2m+2，解得：s2或5；当AC是平行四边形的对角线时，则
19、m+s3，n+02，且nm2m+2，解得：s1，故点Q的坐标为：（1，0）或（5，0）或（2，0）或（2，0）8解：（1）将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx22x6，令y0，则x2或6，则点A（2，0），则函数的对称性x2；（2）当BCD90时，将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：直线BC的表达式为：yx6，则直线CD的表达式为：yx6，当x2时，y8，故点D（2，8）；当DBC90时，同理可得点D（2，4），故点D（2，8）或（2，4）；（3）当CE为菱形的一条边时，则PQCE，设点P（m，m6），则点Q（m，n），则nm22m6，由题意得：CPPQ，
20、即mm6n，联立并解得：m62，n48，则点Q（62，48）；当CE为菱形的对角线时，则PQCE，即PQx轴，设点P（m，m6），则点Q（s，m6），其中m6s22s6，则PCm，CQ2s2+m2，由题意得：CQCP，即：（m）2s2+m2，联立并解得：m6或2（舍去6），故点（2，8）；综上，点Q（62，48）或（2，8）9解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：ykx+b得：，解得：，故直线AB的表达式为：yx+3，同理将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：抛物线的表达式为：yx2+1；（2）联立并解得：x1或2，故点C（2，5），如图1，过点D作y轴的平行线交BC于点H，设点D（x，
21、x2+1），则点H（x，x+3），则SBCD3DH（xBxC）（x2+1x+3）（1+2），解得：x0或1，故点D（1，2）或（0，1）；（3）如图2，点M的坐标为：（0，1），点C（2，5），则直线CM函数表达式中的k值为：2，当PCM90时，则直线CP的函数表达式为：yx+m，将点C的坐标代入上式并解得：m6，故直线PC的表达式为：yx+6，联立并解得：x2或（舍去2），故点P的坐标为：（，）；当CMP（P）90时，同理可得：点P（P）（，），综上，点P的坐标为：（，）或（，）10解：（1）令y0，则x1或5，令x0，则y5，故点A、B、C的坐标分别为：（1，0）、（5，0）、（0，5）；
22、（2）抛物线的对称轴为：x2，点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交抛物线对称轴于点P，则点P为所求，直线BC的表达式为：yx+5，当x2时，y3，故点P（2，3）；（3）设点D（x，x2+4x+5），则点E（x，x+5），SBDE：SBEF2：3，则，即：，解得：m或5（舍去5），故点D（，）；（4）设点M（2，m），而点B、C的坐标分别为：（5，0）、（0，5），则MB29+m2，MC24+（m5）2，BC250，当MB为斜边时，则9+m24+（m5）2+50，解得：m7；当MC为斜边时，同理可得：m3；当BC为斜边时，同理可得：m6或1；综上点M的坐标为：（2，7）或（2，3）或（
23、2，6）或（2，1）11解：（1）4a4，解得：a1，则抛物线的表达式为：yx2+bx+4，将点A的坐标代入上式并解得：b3，故抛物线的表达式为：yx2+3x+4；（2）抛物线的对称轴为：x，点D（3，4），过点D作x轴的垂线交BP于点H，交x轴于点G，过点H作HRBD与点R，则BG1，GD4，tanBDG，DBP45，设：HRBRx，则DR4x，BD5x，x，BHx， BG1，则GH，故点H（3，），而点B（4，0），同理可得直线HB的表达式为：yx+，联立并解得：x4或（舍去4），故点P（，）；（3）设点M（，m），而点A（1，0）、点C（0，4），则AM2+m2，CM2+（m4）2，AC
24、217，当AM是斜边时， +m2+（m4）2+17，解得：m；当CM是斜边时，同理可得：m；当AC是斜边时，同理可得：m或；综上，点M的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）12解：（1）用交点式函数表达式得：y（x1）（x3）x24x+3；故二次函数表达式为：yx24x+3；（2）当AB为平行四边形一条边时，如图1，则ABPF2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：2，解得：m2
25、，故点P（2，1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，1）；（3）直线BC的表达式为：yx+3，设点E坐标为（x，x24x+3），则点D（x，x+3），S四边形AEBDAB（yDyE）x+3x2+4x3x2+3x，10，故四边形AEBD面积有最大值，当x，其最大值为，此时点E（，）13解：（1）抛物线yax2+bx3与x轴交于A（1，0），抛物线的对称轴为直线x2，则点B（3，0），抛物线的表达式为：ya（x1）（x3）a（x24x+3），即3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+4x3，函数的对称轴为：x2，则点D（2，1）；（2）t秒时，点P（2，1t），则OP24+（1+t）
26、2，BP21+（1+t）2，AB29，OPB90，则4+（1+t）2+1+（1+t）29，解得：t1+（负值已舍去）；（3）如下图，过点A作BC的平行线交抛物线于点Q、交y轴于点K，则QBC的面积与ABC的面积相等，过点A作AGBC于点G，过点K作KHBC于点H，则AGKH，直线BC的倾斜角为45，则AGABKH，则KC2，故点K（1，0），则直线AQ的函数表达式为：yx1，联立并解得：x1或2（舍去1），故点Q（2，1）；在BC的下方与AQ等距离位置作BC的抛物线交抛物线于点Q、Q，同理可得直线QQ的表达式为：yx5，联立并解得：x，故点Q（Q、Q）的坐标为：（，）、（、）；综上，点Q的坐标
27、为：（2，1）或（，）或（、）14解：（1）直线yx+与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（3，0）、（0，），则点F（0，），抛物线yx2+bx+c经过点A和点F，则c，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b，故抛物线的表达式为：yx2+x，b，c；（2）过点P作y轴的平行线交AB于点H，设点P（x， x2+x），则点H（x， x+），则PAB的面积SPHOA（x+x2x+）（x2x+2），当x时，S的最大值为，此时点P（，），设：P到直线AC的最大距离为d，AB2SABd，解得：d；（3）存在，理由：点A（3，0），点P（，），设点Q（m，n），nm2+m，当点D在x轴
28、上时，若存在以A，P，D，Q为顶点且AP为边的平行四边形时，则n，即m2+m，解得：m（舍去）或或1；当点D在y轴上时，同理可得：0m，故点P（，）或（，）；故点Q的坐标为：（1，）或（，）或（1+，）或（，）或（，）15解：（1）抛物线的表达式为：ya（x+1）（x2）a（x2x2），2a2，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+x+2；（2）设点M（m，m2+m+2），过点M作y轴的平行线HN，交过点A与x轴的平行线于点H，交x轴于点N，DMH+HDM90，DMH+MON90，MONDMH，又MDHANM90，AMMD，MDHANM（AAS），DHMN，即：m2+m+2|m|，解得：m或1，故点M（，）或（，）或（1+，）或（1，）；（3）设点Q（m，n），nm2+m+2，点P（，s），点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，2），当BC是平行四边形的边时，点C向右平移2个单位向上平移2个单位得到B，同样点Q（P）向右平移2个单位向上平移2个单位得到点P（Q），则m+2，n2s或m2，n+2s，解得：s或，故点P（，）或（，）；当BC是平行四边形的对角线时，m+2，n+s2，解得：s，故点P（，），综上，故点P的坐标为：（，）或（，）或（，）
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