1、2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高二（上）开学数学试卷（9月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1（4分）已知全集U1，0，1，2，3，集合A0，1，2，B1，0，1，则（UA）B（）A1B0，1C1，2，3D1，0，1，32（4分）过点（5，2）且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（）A2x+y120B2x+y120或2x5y0Cx2y10Dx2y10或2x5y03（4分）已知圆的方程为x2+y26x0，过点（1，2）的该圆的所有弦中，最短弦的长为（）AB1C2D44（4分）下列函数中，以为周期且在区间（，）单调递增的是（）Af（x）|cos2x|B
2、f（x）|sin2x|Cf（x）cos|x|Df（x）sin|x|5（4分）设O在ABC的内部，且，ABC的面积与AOC的面积之比为（）A3：1B4：1C5：1D6：16（4分）将函数f（x）2sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象关于直线x对称，则的最小值为（）ABCD7（4分）若log4（3a+4b）log2，则a+b的最小值是（）A6+2B7+2C6+4D7+48（4分）设函数f（x），则满足f（f（m）3f（m）的实数m的取值范围是（）A（，0）B0，1C0，+）D1，+）9（4分）设等差数列an的前n项和为Sn，若数列
3、an是单调递增数列，且满足a56，S39，则a6的取值范围是（）A（3，6B（3，6）C3，7D（3，710（4分）已知ABC外接圆的圆心为O，A为钝角，M是BC边的中点，则（）A3B4C5D6二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在答题卷的相应位置.11（6分）若直线l的方程为：，则其倾斜角为 ，直线l在y轴上的截距为 12（6分）已知正数x，y满足x+y1，则xy的取值范围为 ，的最小值为 13（6分）设函数f（x）ex+aex（a为常数）若f（x）为奇函数，则a ；若f（x）是R
4、上的增函数，则a的取值范围是 14（6分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a23，S510，则a5 ，Sn的最小值为 15（4分）若3sin2+2sin22sin0，则cos2+cos2的最小值是 16（4分）设点P是边长为2的正三角形ABC的三边上的动点，则（+）的取值范围为 17（4分）如果不等式x2|x1|+a的解集是区间（3，3）的子集，则实数a的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知函数f（x）2sinxcosx+2cos2x1（x
5、R）（）求函数f（x）的最小正周期及在区间0，上的最大值和最小值；（）若f（x0），x0，求cos2x0的值19（15分）已知圆M过C（1，1），D（1，1）两点，且圆心M在x+y20上（）求圆M的方程；（）设P是直线3x+4y+80上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值20（15分）在ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，若asinC+acosCc+b（1）求角A；（2）若a，求b+c的取值范围21（15分）在数列an中，a12，a24，且当n2时，nN*（I）求数列an的通项公式an；（II）若bn（2n1）an，求数列bn的前n项和Sn；
6、（III）求证：22（15分）设aR，已知函数（）当a1时，写出f（x）的单调递增区间；（）对任意x2，不等式f（x）（a1）x+2恒成立，求实数a的取值范围2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高二（上）开学数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1（4分）已知全集U1，0，1，2，3，集合A0，1，2，B1，0，1，则（UA）B（）A1B0，1C1，2，3D1，0，1，3【分析】由全集U以及A求A的补集，然后根据交集定义得结果【解答】解：UA1，3，（UA）B1，31，0，l1故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（4分）过
7、点（5，2）且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（）A2x+y120B2x+y120或2x5y0Cx2y10Dx2y10或2x5y0【分析】当直线过原点时，由斜截式求出直线的方程，当当直线不过原点时，设直线的方程为，把点（5，2）代入解得k 值，即可得到直线的方程，由此得出结论【解答】解：当直线过原点时，再由直线过点（5，2），可得直线的斜率为，故直线的方程为yx，即2x5y0当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为k，则在y轴上的截距是2k，直线的方程为，把点（5，2）代入可得，解得k6故直线的方程为，即2x+y120故选：B【点评】本题主要考查用截距式求直线方程的方法，体现了
8、分类讨论的数学思想，属于基础题3（4分）已知圆的方程为x2+y26x0，过点（1，2）的该圆的所有弦中，最短弦的长为（）AB1C2D4【分析】化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，如何利用垂径定理求得答案【解答】解：由x2+y26x0，得（x3）2+y29，圆心坐标为（3，0），半径为3如图：当过点P（1，2）的直线与连接P与圆心的直线垂直时，弦AB最短，则最短弦长为故选：C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查垂径定理的应用，是基础题4（4分）下列函数中，以为周期且在区间（，）单调递增的是（）Af（x）|cos2x|Bf（x）|sin2x|Cf（x）cos|x|Df（x）sin|x
9、|【分析】根据正弦函数，余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解【解答】解：f（x）sin|x|不是周期函数，可排除D选项；f（x）cos|x|的周期为2，可排除C选项；f（x）|sin2x|在处取得最大值，不可能在区间（，）单调递增，可排除B故选：A【点评】本题主要考查了正弦函数，余弦函数的周期性及单调性，考查了排除法的应用，属于基础题5（4分）设O在ABC的内部，且，ABC的面积与AOC的面积之比为（）A3：1B4：1C5：1D6：1【分析】由题意，可作出示意图，令D是AB的中点，由，可得出O是CD的中点，从而得出O到AC的距离是点B到AC的距离的，即可求出ABC的面积与AOC
10、的面积之比【解答】解：如图，令D是AB的中点，则有又，即C，O，D三点共线，且OCODO到AC的距离是点D到AC的距离的，O到AC的距离是点B到AC的距离的，ABC的面积与AOC的面积之比为4故选：B【点评】本题考查向量的线性运算及其几何意义，解题的关键是由所给的条件得出点O是AB边上中线的中点，再由三角形底同时面积比即为高的比直接得出答案6（4分）将函数f（x）2sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象关于直线x对称，则的最小值为（）ABCD【分析】利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，可得图象关于直线x对称，即可得结论【解
11、答】解：函数f（x）2sin（2x+）的图象向右平移，可得y2sin（2x2+），再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的，周期变小，则g（x）2sin（4x2+），此时g（x）图象关于直线x对称，即x时，函数g（x）取得最大值或最小值2+，kZ0，当k0时，可得的最小值为故选：C【点评】函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题7（4分）若log4（3a+4b）log2，则a+b的最小值是（）A6+2B7+2C6+4D7+4【分析】利用对数的运算法则可得0，a4，再利用基本不等式即可得出【解答】解：3a+4b0，ab0，a0b0log4（3a+4b）log2，log4（3a+4b）log4
12、（ab）3a+4bab，a4，a0b00，a4，则a+ba+a+a+3+（a4）+7+74+7，当且仅当a4+2取等号故选：D【点评】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题8（4分）设函数f（x），则满足f（f（m）3f（m）的实数m的取值范围是（）A（，0）B0，1C0，+）D1，+）【分析】令tf（m），即有f（t）3t，当t1时，2t+13t，解得t0，进而求得m的值；当t1时，f（t）3t，讨论m的范围，结合指数函数的单调性可得m的范围【解答】解：令tf（m），即有f（t）3t，当t1时，2t+13t（0，3），即为t1，设g（t）2t+13t，令g（t）0，可得t0，
13、由f（m）2m+10，可得m；当t1时，f（t）3t，若2m+11，且m1，解得0m1；若3m1，且m1，解得m1，可得m0综上可得，m的范围是0，+）故选：C【点评】本题考查分段函数的运用，考查分类讨论的思想方法以及换元法的运用，考查运算能力，属于中档题9（4分）设等差数列an的前n项和为Sn，若数列an是单调递增数列，且满足a56，S39，则a6的取值范围是（）A（3，6B（3，6）C3，7D（3，7【分析】给出两个前n项和，写出求前n项和的公式，根据不等式的基本性质和等差数列的性质整理出结果【解答】解：数列an是单调递增数列，若a56，S39，a1+4d6 3a1+3d9，
14、即a1+d3 （1）+，得0d1，a6a5+d，3a6a5+d7故选：D【点评】本题考查等差数列的性质和不等式的性质，本题解题的关键是列出不等式组，解出要用的值的范围，本题是一个简单的综合题目10（4分）已知ABC外接圆的圆心为O，A为钝角，M是BC边的中点，则（）A3B4C5D6【分析】由M是BC边的中点，可得，利用O是ABC的外接圆的圆心，可得cosBAO6，同理求得，则答案可求【解答】解：M是BC边的中点，O是ABC的外接圆的圆心，cosBAO同理可得（6+4）5故选：C【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、三角形外接圆的性质、数量积运算定义，考查了推理能力与计算能力，属于
15、中档题二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在答题卷的相应位置.11（6分）若直线l的方程为：，则其倾斜角为，直线l在y轴上的截距为【分析】直线l的方程为：，设其倾斜角为，0，）可得tan，解得令x0，解得y可得直线l在y轴上的截距【解答】解：直线l的方程为：，设其倾斜角为，0，）则tan，解得令x0，解得y直线l在y轴上的截距为故答案为：，【点评】本题考查了直线的方程、斜率、截距，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（6分）已知正数x，y满足x+y1，则xy的取值范围为（1，1），的最小值为3【分析】根据题意，求出xy的表达式，利用0x1即可求出x
16、y的取值范围；把1x+y代人，利用基本不等式即可求出它的最小值【解答】解：正数x，y满足x+y1，y1x，y1+x，xy2x1；又0x1，02x2，12x11，即xy的取值范围为（1，1）；+1+1+21+23，当且仅当xy时取“”；的最小值为3故答案为：（1，1），3【点评】本题考查了不等式的基本性质与应用问题，也考查了基本不等式a+b2的应用问题，是基础题13（6分）设函数f（x）ex+aex（a为常数）若f（x）为奇函数，则a1；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是（，0【分析】对于第一空：由奇函数的定义可得f（x）f（x），即ex+aex（ex+aex），变形可得分析可得a的值，
17、即可得答案；对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得f（x）的导数f（x）exaex0在R上恒成立，变形可得：ae2x恒成立，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）ex+aex，若f（x）为奇函数，则f（x）f（x），即ex+aex（ex+aex），变形可得a1，函数f（x）ex+aex，导数f（x）exaex若f（x）是R上的增函数，则f（x）的导数f（x）exaex0在R上恒成立，变形可得：ae2x恒成立，分析可得a0，即a的取值范围为（，0；故答案为：1，（，0【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是理解函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题1
18、4（6分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a23，S510，则a50，Sn的最小值为10【分析】利用等差数列an的前n项和公式、通项公式列出方程组，能求出a14，d1，由此能求出a5的Sn的最小值【解答】解：设等差数列an的前n项和为Sn，a23，S510，解得a14，d1，a5a1+4d4+410，Sn4n+（n）2，n4或n5时，Sn取最小值为S4S510故答案为：0，10【点评】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题15（4分）若3sin2+2sin22sin0，则cos2+cos2的最小值
19、是【分析】由3sin2+2sin22sin0，根据平方数的非负性得出sin的取值范围，利用同角三角形函数关系将cos2+cos2表示成关于sin的表达式，结合二次函数的性质和sin的取值范围求得cos2+cos2的最小值【解答】解：3sin2+2sin22sin0，2sin22sin3sin2sin（23sin）0，0sin；cos2+cos2cos2+（1sin2）cos2+1（2sin3sin2）sin2sin+2（sin1）2+；当sin0时，cos2+cos2取得最大值2；当sin时，cos2+cos2取得最小值即cos2+cos2的最小值为故答案为：【点评】本题考查了同角三角函数的关
20、系和二次函数在闭区间上的最值问题，是中档题16（4分）设点P是边长为2的正三角形ABC的三边上的动点，则（+）的取值范围为，2【分析】以AB中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可得A（1，0），B（1，0），C（0，），讨论P在AB，BC，CA上，分别设P的坐标，可得向量PA，PB，PC的坐标，由向量的坐标表示，化为二次函数在闭区间上的最值问题，即可得到所求取值范围【解答】解：以AB中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可得A（1，0），B（1，0），C（0，），当P在线段AB上，设P（t，0），（1t1），（1t，0），（1t，0），（t，），即有（+）（1t，0）（12t，）（1
21、t）（12t）+02t2+t12（t+）2，由1t1可得t取得最小值，t1时，取得最大值2；当P在线段CB上，设P（m，（1m），（0m1），（1m，（m1），（1m，（m1），（m，m），即有（+）（1m，（m1）（12m，（2m1）（1m）（12m）+（m1）（2m1）2（2m1）2，由0m1可得m取得最小值0，m0或1时，取得最大值2；当P在线段AC上，设P（n，（1+n），（1n0），（1n，（1+n），（1n，（1+n），（n，n），即有（+）（1n，（1+n）（12n，（1+2n）（1n）（12n）+（1+n）（1+2n）8n2+10n+28（n+）2，由1n0可得n取得最小值，n
22、0时，取得最大值2；综上可得（+）的取值范围是，2故答案为：，2【点评】本题考查向量数量积的坐标表示，考查坐标法的运用，同时考查分类讨论和转化思想，转化为二次函数在闭区间上的最值问题是解题的关键，属于中档题17（4分）如果不等式x2|x1|+a的解集是区间（3，3）的子集，则实数a的取值范围是（，5【分析】将不等式转化为函数，利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论【解答】解：不等式x2|x1|+a等价为x2a|x1|，设f（x）x2|x1|a，则f（x），若不等式x2|x1|+a的解集是区间（3，3）的子集，则等价为，即，即，解得a5，故答案为：（，5【点评】本题主要考查不等式的应用，利用
23、不等式和函数之间的关系，转化为函数是解决本题的关键三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知函数f（x）2sinxcosx+2cos2x1（xR）（）求函数f（x）的最小正周期及在区间0，上的最大值和最小值；（）若f（x0），x0，求cos2x0的值【分析】先将原函数化简为yAsin（x+）+b的形式（1）根据周期等于2除以可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间0，上的最值（2）将x0代入化简后的函数解析式可得到sin（2x0+），再根据x0的范围可求出cos（2x0+）的值，最后由cos2x0cos（2x0+）可得答案【解答】解：（1）由
24、f（x）2sinxcosx+2cos2x1，得f（x）（2sinxcosx）+（2cos2x1）sin2x+cos2x2sin（2x+）所以函数f（x）的最小正周期为因为f（x）2sin（2x+）在区间0，上为增函数，在区间，上为减函数，又f（0）1，f（）2，f（）1，所以函数f（x）在区间0，上的最大值为2，最小值为1（）由（1）可知f（x0）2sin（2x0+）又因为f（x0），所以sin（2x0+）由x0，得2x0+，从而cos（2x0+）所以cos2x0cos（2x0+）cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin【点评】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数yA
25、sin（x+）的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力19（15分）已知圆M过C（1，1），D（1，1）两点，且圆心M在x+y20上（）求圆M的方程；（）设P是直线3x+4y+80上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值【分析】（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，1）、D（1，1）且圆心M在直线x+y20上，建立方程组，即可求圆M的方程；（2）四边形PAMB的面积为S2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，在直线3x+4y+80上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论【解
26、答】解：（1）设圆M的方程为：（xa）2+（yb）2r2（r0），根据题意得，解得：ab1，r2，故所求圆M的方程为：（x1）2+（y1）24；（2）由题知，四边形PAMB的面积为SSPAM+SPBM（|AM|PA|+|BM|PB|）又|AM|BM|2，|PA|PB|，所以S2|PA|，而|PA|2|PM|2|AM|2|PM|24，即S2因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+80上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min3，所以四边形PAMB面积的最小值为22【点评】本题考查圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（
27、15分）在ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，若asinC+acosCc+b（1）求角A；（2）若a，求b+c的取值范围【分析】（1）利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；（2）利用余弦定理结合基本不等式，可求b+c的取值范围【解答】解：（1）acosC+asinCb+c，由正弦定理可得sinAcosC+sinAsinCsinB+sinC，sinAcosC+sinAsinCsin（A+C）+sinC，sinAcosA1，sin（A30），A3030，A60；（2）由题意，b0，c0，b+ca，由余弦定理3b2+c22bccos60（b+c）23bc（b+c）2（当且仅当bc
28、时取等号），即（b+c）212，b+c2b+c，b+c2【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题21（15分）在数列an中，a12，a24，且当n2时，nN*（I）求数列an的通项公式an；（II）若bn（2n1）an，求数列bn的前n项和Sn；（III）求证：【分析】（）由给出的数列的递推式，nN*，可以断定数列是等比数列，再由a12，a24求出等比数列的公比，则通项公式可求；（）把（）中求得的an代入bn（2n1）an，利用错位相减法可求数列bn的前n项和Sn；（）把代入，然后进行放大，化为代入要证的不等式左边，正负相消后可证出结论【解答】（
29、）解：在数列an中，当n2时，数列an为等比数列，又a12，a24，公比数列an的通项公式为；（）解：由bn（2n1）an，得Snb1+b2+b3+bn12+322+523+（2n1）2n得：28（12n1）（2n1）2n+16+2n+2n2n+2+2n+1；（）证明：（n2），【点评】本题考查了利用数列的递推式确定等比关系，考查了错位相减法求数列的先n项和，训练了放缩法证明不等式，利用放缩法证不等式是学生学习中的难点此题属难题22（15分）设aR，已知函数（）当a1时，写出f（x）的单调递增区间；（）对任意x2，不等式f（x）（a1）x+2恒成立，求实数a的取值范围【分析】（）根据分段函数的性质求出其单调区间；（）将函数的恒成立问题转化为其最值问题进行求解，并进行分类讨论即可【解答】解：（）当a1时，f（x），f（x）的单调递增区间为（1，+）（）若x0，ax2+（2a4）x+2（a1）x+2，于是ax2+（a3）x0在x（，0上恒成立，则a0或，得0a3；若x0，f（x）+a+|x1|，当0x1时，f（x）（a1）x+2，即，a1；当x1时，aR；当1x2时，f（x）（a1）x+2，即，a1；综上，实数a的取值范围为0a1【点评】本题考查了函数的单调区间，函数的恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题
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