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    2018-2019学年浙江省嘉兴市七校高二(下)期中数学试卷(含详细解答)

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    2018-2019学年浙江省嘉兴市七校高二(下)期中数学试卷(含详细解答)

    1、2018-2019学年浙江省嘉兴市七校高二(下)期中数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1(4分)已知复数z1+i,其中i为虚数单位,则|z|()ABCD22(4分)设P是椭圆+1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若|PF1|3,则|PF2|等于()A2B3C5D73(4分)用数学归纳法证明 1+n(nN*,n1)时,第一步应验证不等式()ABCD4(4分)f(x)xlnx,若f(x0)2,则x0()Aln2Bln2CeDe25(4分)函数yx2lnx的单调递减区间为()A(1,1B(0,1C1,+)D(0,+)6(4分)曲线yxex+1在点(0,1)处的切线方程是()A

    2、xy+10B2xy+10Cxy10Dx2y+207(4分)已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则该双曲线的一条渐近线方程为()ABy4xCDy2x8(4分)已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,直线y4与C的交点为P,与y轴的交点为Q,且,则点P的坐标为()A(2,4)BC(4,4)D9(4分)设椭圆和双曲线的公共焦点为F1,F2,A是两曲线的一个公共点,则|AF1|AF2|的值等于()A3B4C5D610(4分)已知a,b(0,e),且ab,则下列式子中正确的是()AalnbblnaBalnbblnaCalnablnbDalnablnb二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每

    3、题4分,共36分11(6分)双曲线x21的离心率是 ,渐近线方程是 12(6分)已知函数f(x)4lnx+ax26x(a为常数),若x2为f(x)的一个极值点,则f(2) a 13(6分)已知a,bR且(a+bi)23+4i(i是虚数单位)则a2b2 ,ab 14(6分)若M是抛物线x24y上一点,且|MF|5,O为坐标原点,则该抛物线的准线方程为 线段|MO| ,15(4分)已知椭圆中心在原点,一个焦点为(,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是 16(4分)已知函数f(x)xex+c有两个零点,则c的取值范围是 17(4分)已知椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1

    4、且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若,则椭圆的离心率为 三、解答题:本大题共5小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18(14分)已知复数,其中i为虚数单位,aR()若zR,求实数a的值;()若z在复平面内对应的点位于第一象限,求实数a的取值范围19(15分)已知函数()求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;()求函数f(x)在区间0,2上的值域20(15分)如图,已知抛物线C:y24x焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点()若线段AB的中点在直线y2上,求直线l的方程;()若|AB|20,求直线l的方程21(15分

    5、)已知函数f(x)xlnx+ax21,且f(1)1(1)求a的值;(2)若对于任意x(0,+),都有f(x)mx1,求m的最小值22(15分)在RtABC中,CAB90,AB2,AC,一曲线E过C点,动点P在曲线E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;(2)直线l:yx+t与曲线E交于M,N两点,求四边形MANB的面积的最大值2018-2019学年浙江省嘉兴市七校高二(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1(4分)已知复数z1+i,其中i为虚数单位,则|z|()ABCD2【分析】利用复数模的计算公式求解

    6、即可【解答】解:由z1+i,得|z|故选:C【点评】本题考查了复数模的计算,属基础题2(4分)设P是椭圆+1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若|PF1|3,则|PF2|等于()A2B3C5D7【分析】根据题意,由椭圆的标准方程求出a的值,结合椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|2a10,变形解可得答案【解答】解:根据题意,椭圆的方程为+1,有a5,则|PF1|+|PF2|2a10,则|PF2|2a|PF1|1037;故选:D【点评】本题考查椭圆的定义,注意有椭圆的标准方程求出a的值3(4分)用数学归纳法证明 1+n(nN*,n1)时,第一步应验证不等式()ABCD【分析】直接利用数学归纳法写出

    7、n2时左边的表达式即可【解答】解:用数学归纳法证明(nN+,n1)时,第一步应验证不等式为:;故选:B【点评】在数学归纳法中,第一步是论证n1时结论是否成立,此时一定要分析不等式左边的项,不能多写也不能少写,否则会引起答案的错误4(4分)f(x)xlnx,若f(x0)2,则x0()Aln2Bln2CeDe2【分析】先求导函数,再解方程即可得解【解答】解:f(x)x lnx(x0)f(x)lnx+1又f(x0)2,即lnx0+12lnx01x0e故选:C【点评】本题考查倒导数运算,要求熟练掌握求导的运算律和基本初等函数的导数属简单题5(4分)函数yx2lnx的单调递减区间为()A(1,1B(0,

    8、1C1,+)D(0,+)【分析】由yx2lnx得y,由y0即可求得函数yx2lnx的单调递减区间【解答】解:yx2lnx的定义域为(0,+),y,由y0得:0x1,函数yx2lnx的单调递减区间为(0,1故选:B【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,注重标根法的考查与应用,属于基础题6(4分)曲线yxex+1在点(0,1)处的切线方程是()Axy+10B2xy+10Cxy10Dx2y+20【分析】欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解:yxex+1,f(x)xex+ex,当x0时,f(0)1得切线

    9、的斜率为1,所以k1;所以曲线yf(x)在点(0,1)处的切线方程为:y11(x0),即xy+10故选:A【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力属于基础题7(4分)已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则该双曲线的一条渐近线方程为()ABy4xCDy2x【分析】由已知条件推导出b2a,由此能求出此双曲线的渐近线方程【解答】解:双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,b2a,双曲线的渐近线方程为:y2x故选:D【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线基本性质的合理运用8(4分)已知抛物线C:y22px

    10、(p0)的焦点为F,直线y4与C的交点为P,与y轴的交点为Q,且,则点P的坐标为()A(2,4)BC(4,4)D【分析】根据抛物线的性质以及已知可得P(p,4)再将其代入抛物线可得【解答】解:如图:由抛物线的性质可得:|PF|PQ|+,|PQ|+|PQ|,|PQ|p,P(p,4),将其代入y22px可得162p2,解得p2,所以P(2,4)故选:B【点评】本题考查了抛物线的性质,属中档题9(4分)设椭圆和双曲线的公共焦点为F1,F2,A是两曲线的一个公共点,则|AF1|AF2|的值等于()A3B4C5D6【分析】分别求得椭圆和双曲线的a,a,运用椭圆和双曲线的定义,解方程即可得到所求值【解答】

    11、解:椭圆的a,和双曲线的a,设|AF1|m,|AF2|n,由椭圆的定义可得m+n2,由双曲线的定义可得|mn|2,由22,可得mn3,故选:A【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和运用,考查运算能力,属于基础题10(4分)已知a,b(0,e),且ab,则下列式子中正确的是()AalnbblnaBalnbblnaCalnablnbDalnablnb【分析】先构造函数,利用导数判断函数在(0,e)上的单调性,即可得到alnbblna,再构造函数g(x)xlnx,判断函数的单调性,即可解决【解答】解:设,则,在(0,e)上,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(a)f(b),即;设g(x)xln

    12、x,则g(x)1+lnx,当时,g(x)0,g(x)单调递减,当时,g(x)0,g(x)单调递增,C,D均不正确,故选:B【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系,以及导数的应用,属于中档题二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分11(6分)双曲线x21的离心率是2,渐近线方程是y【分析】双曲线x21中,a1,b,c2,即可求出双曲线的离心率与渐近线方程【解答】解:双曲线x21中,a1,b,c2,e2,渐近线方程是yx故答案为:2,y【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础12(6分)已知函数f(x)4lnx+ax26x(a为常数),若x2

    13、为f(x)的一个极值点,则f(2)0a1【分析】函数f(x)4lnx+ax26x(a为常数),f(x)+2ax6根据x2为f(x)的一个极值点,可得f(2)0,解得a【解答】解:函数f(x)4lnx+ax26x(a为常数),f(x)+2ax6x2为f(x)的一个极值点,f(2)2+4a60,解得a1故答案为:0,1【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题13(6分)已知a,bR且(a+bi)23+4i(i是虚数单位)则a2b23,ab2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件求解【解答】解:由(a+bi)2a2b2+2a

    14、bi3+4i,得a2b23,2ab4,即ab2故答案为:3,2【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,是基础题14(6分)若M是抛物线x24y上一点,且|MF|5,O为坐标原点,则该抛物线的准线方程为y1线段|MO|,【分析】根据抛物线的性质可得M的坐标,再用两点间的距离公式可得【解答】解:根据抛物线的方程可得p2,该抛物线的准线方程为y1;yM(1)|MF|5,yM4,xM4,|MO|4故答案为:y1,4【点评】本题考查了抛物线的性质,属中档题15(4分)已知椭圆中心在原点,一个焦点为(,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是【分析】先根据题意a2b,c并且a

    15、2b2+c2求出a,b,c的值,代入标准方程得到答案【解答】解:根据题意知a2b,c又a2b2+c2a24 b211故答案为:1【点评】本题主要考查椭圆的标准方程,要注意双曲线与椭圆a、b、c三者关系的不同属基础题16(4分)已知函数f(x)xex+c有两个零点,则c的取值范围是(0,)【分析】求出函数的导函数,求出函数的最小值,根据函数的零点和最值关系即可得到结论【解答】解:函数f(x)xex+c的导函数f(x)(x+1)ex,令f(x)0,则x1,当x(,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递减;当x(1,+)时,f(x)0,函数f(x)单调递增;故当x1时,函数取最小值f(1)e1+c,

    16、若函数f(x)xex+c有两个零点,则f(1)e1+c0,即c,又c0时,x(,1)时,f(x)xex+c0恒成立,不存在零点,故c0综上0c,故答案为:(0,)【点评】本题考查函数方程转化问题的解法,其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键,利用导数是解决本题的关键17(4分)已知椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若,则椭圆的离心率为【分析】由题意画出图形,求出A的坐标,结合向量加法的坐标运算,求得C的坐标,代入椭圆方程可解e的值【解答】解:如图,由题意,A(c,),F2(c,0),C(x,

    17、y),即为(x+c,y+)3(xc,y),3yy+,x+c3x3cC(2c,),代入椭圆+1,可得+1,由b2a2c2,整理得5c2a2,解得e故答案为:【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了平面向量的坐标运算在求解圆锥曲线问题中的应用,是中档题三、解答题:本大题共5小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18(14分)已知复数,其中i为虚数单位,aR()若zR,求实数a的值;()若z在复平面内对应的点位于第一象限,求实数a的取值范围【分析】()先进行化简,结合复数为实数的等价条件建立方程进行求解即可()结合复数的几何意义建立不等式关系进行求解即可【解答】解:(),若zR,则,()

    18、若z在复平面内对应的点位于第一象限,则对应点的坐标为(,),则且,解得,即a的取值范围为【点评】本题主要考查复数的计算以及复数几何意义的应用,结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键19(15分)已知函数()求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;()求函数f(x)在区间0,2上的值域【分析】()求得f(x)的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得所求切线方程;()求得f(x)的导数,可得单调性和极值,求得区间端点处的函数值,可得所求值域【解答】解:(),f(x)3x2x,而,故切点为,斜率为2,所以曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y2(x1),即为4x2y30;

    19、()由f(x)3x2xx(3x1),令f(x)0,解得x0或,当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:x02g(x)00+g(x)0 减极小值增6所以函数f(x)在区间0,2上的值域为【点评】本题考查导数的运用:求切线方程和极值、最值,考查方程思想和化简运算能力,属于中档题20(15分)如图,已知抛物线C:y24x焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点()若线段AB的中点在直线y2上,求直线l的方程;()若|AB|20,求直线l的方程【分析】(I)利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出;(II)设直线l的方程为yk(x1),与抛物线方程联立化为k2x2(4+2

    20、k2)x+k20,得到根与系数的关系,利用弦长公式|AB|x1+x2+p即可得到k【解答】解:(I)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,2),则,由,可得(y1+y2)(y1y2)4(x1x2),4kl4,解得kl1由y24x得焦点F(1,0)直线l的方程为:yx1(II)设直线l的方程为yk(x1),联立化为k2x2(4+2k2)x+k20,|AB|x1+x2+p,解得k直线l的方程为【点评】本题考查了“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式|AB|x1+x2+p等基础知识与基本技能方法,属于难题21(1

    21、5分)已知函数f(x)xlnx+ax21,且f(1)1(1)求a的值;(2)若对于任意x(0,+),都有f(x)mx1,求m的最小值【分析】(1)求出导数,利用f(1)1,求解即可(2)设g(x)lnxx,则,判断函数的单调性,求出最值即可得到结果【解答】解:(1)对f(x)求导,得f(x)1+lnx+2ax,所以f(1)1+2a1,解得a1(2)由f(x)mx1,得xlnxx2mx0,因为x(0,+),所以对于任意x(0,+),都有lnxxm设g(x)lnxx,则,令g(x)0,解得x1,当x变化时,g(x)与g(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+)g(x)+0g(x)增极大值减所

    22、以当x1时,g(x)maxg(1)1,因为对于任意x(0,+),都有g(x)m成立,所以m1,所以m的最小值为1【点评】本题考查函数的导数的应用,函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力22(15分)在RtABC中,CAB90,AB2,AC,一曲线E过C点,动点P在曲线E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;(2)直线l:yx+t与曲线E交于M,N两点,求四边形MANB的面积的最大值【分析】(1)以AB为x轴,以AB中点为原点O建立直角坐标系由|PA|+|PB|CA|+|CB|+2,知动点轨迹为椭圆,由此能求出其方程(2)将yx+t代入方程+y21,得3x2+4tx+2t220设M(x1,y1)、N(x2,y2),再由根的判别式和根与系数的关系进行求解【解答】解:(1)以AB为x轴,以AB中点为原点O建立直角坐标系|PA|+|PB|CA|+|CB|+2,动点轨迹为椭圆,且a,c1,从而b1方程为+y21(2)将yx+t代入方程+y21,得3x2+4tx+2t220设M(x1,y1)、N(x2,y2),16t243(2t22)0,x1+x2,x1x2,由得t23,SMANB|AB|y1y2|y1y2|x1x2|【点评】本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和应用,解题时要注意公式的灵活运用


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