1、专题七新定义阅读理解题(2019重庆A卷)道德经中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性数进行研究如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数“纯数”定义：对于自然数n，在计算n(n1)(n2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”例如：32是“纯数”，因为计算323334时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算232425时，个位产生了进位(1)判断2 019和2 020是否是“纯数”？请说明理由；(2)求出不大于100的“纯数”的个数【分析】(1)根据纯数的定义逐
2、一判断2 019和2 020即可；(2)判断不大于100的“纯数”的个数，可先从个位数字入手，确定个位数字的特点，再确定十位数字的特点，即可得到对应的“纯数”【自主解答】1(2018重庆A卷)对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”(1)请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；(2) 如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，若四位数m为“极数”，记D(m).求满足D(m)是完全平方数的所有m.2(2020原创)若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字2，组成一个新
3、的三位数，我们称这个三位数为N的“中2数”，记作F(N)，如34的“中2数”为F(34)324；若将一个两位正整数M加2后得到一个新数，我们称这个新数为M的“尾2数”，记作P(M)，如34的“尾2数”为P(34)36.对于任意一个两位正整数T，令Q(T).(1)判断Q(T)是否为整数，并说明理由；(2)对于一个两位正整数M，若P(M)的各位数之和是M的各位数之和的一半，求M的值3(2017重庆A卷)对于任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后，可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商
4、记为F(n)，例如n123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位和个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213321132666，F(123)6.(1)计算：F(243)，F(617)；(2)若s，t都是“相异数”，其中s100x32，t150y(1x9，1y9，x，y都是正整数)，规定：k，当F(s)F(t)18时，求k的最大值4(2020原创)事实：我们知道若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除，反之也成立定义：对于一个两位数m和一个三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数
5、的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这样方式产生的所有新的两位数的和我们称之为“二三联合”，用F(m，n)表示例如数12与345的“二三联合”为F(12，345)131415232425114.(1)填空：F(11，369)_ ；F(16，123)_ ；(2)若一个两位数s21xy，一个三位数t121xy199(其中1x4，1y5，且x，y均为整数)，交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t，当t与s的个位数字的3倍的和能被11整除，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中的“二三联合”的最大值5(2019九龙坡区模拟)数学不仅是一门科学，也
6、是一种文化，即数学文化数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣一个要求大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒一直到第64格”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里有这么多米吗？题中问题就是求1212223263是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了设S1212223263，则2S2(121222324263)222232426
7、3264.2SS2(121222324263)(121222324263)，即：S2641.事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的64个格子需要1212223263(2641)粒米那么2641到底多大呢？借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个20位数：18 446 744 073 709 551 615，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求请用你学到的方法解决以下问题：(1)我国古代数学名著算法统宗中有一问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有多
8、少盏灯？(2)计算：139273n；(3)某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知一列数：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推求满足如下条件的所有正整数N：10N100，且这一列数前N项和为2的正整数幂请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数N的值 参考答案【例1】解：(1)当n2 019时，n12 020，n22 021，90110，需进位，2 019不是“纯数”；当n2 020时，n12 021，n22
9、 022，个位：0123，不需要进位；十位：2226，不需要进位；百位：0000，不需要进位；千位：2226，不需要进位；2 020是“纯数”(2)当n0时，n11，n22，则0123，不需要进位，0是“纯数”；当n1时，n12，n23，1236，不需要进位，1是“纯数”；当n2时，n13，n24，2349，不需要进位，2是“纯数”；当n3时，n14，n25，34512，需要进位，3不是“纯数”，综上可知，当这个自然数是一位自然数时，只能是0，1，2；当这个自然数是两位自然数时，这个自然数可以是10，11，12，20，21，22，30，31，32，共9个，当这个自然数是三位自然数时，100是“
10、纯数”，不大于100的自然数中，“纯数”的个数为39113.跟踪训练1解：(1)1 188；2 475; 9 900.(答案不唯一)猜想：任意一个“极数”是99的倍数理由如下：设任意一个“极数”为xy(9x)(9y)(其中1x9，0y9，且x，y均为整数)，则xy(9x)(9y)1 000x100y10(9x)9y1 000x100y9010x9y99(10xy1)x，y为整数，10xy1为整数，任意一个“极数”是99的倍数(2)设mxy(9x)(9y)，由题意可知，D(m)3(10xy1)，1x9，0y9，333(10xy1)300，D(m)是完全平方数，D(m)可取的值为36，81，144
11、，225，当D(m)36时，3(10xy1)36，则x1，y1，m1 188；当D(m)81时，3(10xy1)81，则x2，y6，m2 673；当D(m)144时，3(10xy1)144，则x4，y7，m4 752；当D(m)225时，3(10xy1)225，则x7，y4，m7 425.综上所述，满足D(m)为完全平方数的m的值为1 188，2 673，4 752，7 425.2解：(1)Q(T)是整数理由如下：设两位正整数T为ab，则T10ab，F(T)a2b100a20b，P(T)10ab2，F(T)P(T)100a20b(10ab2)90a189(10a2)，a为整数，10a2为整数，
12、Q(T)是整数(2)设Mab，1a9，0b9， M210ab2，M2的各数位上的数之和比M各数位上的数之和小，M2后，个位发生了进位，b8，且M210(a1)(b210)，a1b210(ab)，整理得ab14，a6，b8，或a5，b9，M为68或59.3解：(1)F(243)(423342234)1119，F(617)(167716671)11114.(2)s，t都是相异数，F(s)(30210x230x100x23)111x5，F(t)(510y100y5110510y)111y6，F(s)F(t)18，x5y6xy1118，xy7, 1x9，1y9，且x，y都是正整数，或或或或或，s是相异
13、数，x2，x3，t是相异数，y1，y5，满足条件的有或或，或或，k或k1或k，1，k的最大值为. 4解：(1)F(11，369)13161913161996；F(16，123)111213616263222.(2)已知s21xy20x(xy)，t121xy199100(x2)20x(xy1)，1x4，1y5，且x，y均为整数，t3(xy)100(xy1)20xx23(xy)124x103y98，t3(xy)能被11整除，11x9y9为整数，是整数，1x4，1y5，83x4y133，当3x4y111时，x2，y1，此时s43，t442；当3x4y122时，得x3，y3，此时s66，t565；当3
14、x4y133时，x4，y5，此时s89，t688.F(s，t)的最大值为F(89，688)554.5解：(1)设塔的顶层有x盏灯，依题意得：x21x22x23x24x25x26x381，解得：x3，答：塔的顶层共有3盏灯(2)设S139273n，则3S3(139273n)39273n3n1，3SS(39273n3n1)(139273n)，2S3n11，S，即：139273n.(3)由题意这列数分n1组：前n组含有的项数分别为：1，2，3，n，最后一组x项，根据材料可知每组和公式，求得前n组每组的和分别为：211，221，231，2n1，前n组共有项数为N123n，前n组所有项数的和为Sn2112212312n1(2122232n)n2n12n，由题意可知：2n1为2的整数幂只需最后一组x项将2n消去即可，则12(2n)0，解得：n1，总项数为N23，不满足10N100，124(2n)0，解得：n5，总项数为N318，满足10N100，1248(2n)0，解得：n13，总项数为N495，满足10N100，124816(2n)0，解得：n29，总项数为N5440，不满足10N100，所有满足条件的软件激活码正整数N的值为：18或95.
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