1、专题六函数探究的过程性学习类型一 已知函数关系式的探究(2019重庆B卷)函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索，画函数y2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数y2|x|2和y2|x2|的图象如图所示x3210123y6420246(1)观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化写出点A，B的坐标和函数y2|x2|的对称轴；(2)探索思考：平移函数y2|x|的图象可以得到函数y2|x|2和y
2、2|x2|的图象，分别写出平移的方向和距离；(3)拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y2|x3|1的图象若点(x1，y1)和(x2，y2)在该函数图象上，且x2x13，比较y1，y2的大小【分析】(1)根据坐标系中点的位置确定A，B的坐标，同时结合图象性质得到函数的对称轴；(2)结合图象，观察函数y2|x|的图象与函数y2|x|2及函数y2|x2|图象之间的位置关系，得到结果；(3)利用(2)中的结论，结合函数图象平移特点得到函数y2|x3|1的图象，再根据x2x13，利用函数增减性判断y1和y2的大小【自主解答】1(2019渝中区二模)吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数y的图象
3、和性质进行了如下探究，请帮他把探究过程补充完整：(1)该函数的自变量x的取值范围是_；(2)列表x210123456ym15n1表中m_，n_；(3)描点、连线在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy，描出上表中各对对应值为坐标的点(其中x为横坐标，y为纵坐标)，并根据描出的点画出该函数的图象；(4)观察所画出的函数图象，写出该函数的两条性质：_；_2(2019綦江区一模)有这样一个问题：探究函数y的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y的图象与性质进行了探究(1)化简函数解析式，当x1时，y_，当x1时y_；(2)根据(1)中的结果，请在所给坐标系中画出函数y的图象；(3)结合
4、函数图象，写出该函数的一条性质：_；(4)结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax1只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：_3(2019南岸区适应性考试)某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数yx24|x|的图象与性质进行了探究请补充完整以下探索过程：(1)列表：x5432101234ym0343034n0直接写出m_，n_；(2)根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象，并结合图象写出该函数的两条性质：性质1：_ 性质2：_ (3)若方程x24|x|k有四个不同的实数根，请根据函数图象，直接写出k的取值范围类型二 未知函数关系式的探究(2019重庆A卷)在初中阶段的
5、函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质运用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象，同时，我们也学习了绝对值的意义：|a|结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y|kx3|b中，当x2时，y4；当x0时，y1.(1)求这个函数的表达式；(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；(3)已知函数yx3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx3|bx3的解集【分析】(1)分别将x2，y4和x0，y1代入函数解析式，求出对应的k，b，即可得到函数解析式
6、；(2)根据(1)中的解析式，画出函数图象，再根据函数图象写出其具有的性质即可；(3)利用函数图象的位置关系确定自变量x的取值范围，即可得到对应不等式的解集【自主解答】(2019南岸区校级模拟)如图，ABC中，点P从顶点B出发，沿BCA以每秒2个单位的速度匀速运动到A点，设运动时间为x秒，BP长度为y.某学习小组对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是他们的探究过程，请补充完整(1)通过取点、画图、测量，得到了x(秒)与y(单位)的几组值，如表：请补全表格x0123567891011y0.02.04.0_10.09.08.38.0_9.010.0(说明：补全表格上相关数值保留一位小
7、数)(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：当x约为_时，线段BPCP.【分析】(1)根据图表的数据可得结论；(2)描点、连线，画出函数图象；(3)画出PC长所对应的函数图象，由PBPC得两函数图象的交点即可【自主解答】1(2019重庆第二外国语学校模拟)如图，在等边ABC中，BC5 cm，点D是线段BC上一动点，连接AD，过点D作DEAD，垂足为D，交射线AC于点E.设BD为x cm，CE为y cm.小聪根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小聪的探究过程，请补充完整：(1)通过
8、取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：请补全表格x/cm00.511.522.533.544.55y/cm5.03.32.00.400.30.40.30.20(说明：补全表格上相关数值保留一位小数)(2)建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：当线段BD是线段CE长的2倍时，BD的长度约为_cm.2(2019江西)数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为12 cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图活动一如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB
9、与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合数学思考(1)设CDx cm，点B到OF的距离GBy cm.用含x的代数式表示：AD的长是_ cm，BD的长是_ cm；y与x的函数关系式是_，自变量x的取值范围是_ .活动二(2)列表：根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格x(cm)6543.532.5210.50y(cm)00.551.21.582.4734.295.08描点：根据表中数值，继续描出中剩余的两个点(x，y)连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象数学思考(3)请你结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论3(2019北京)如图，P是与弦AB所围成
10、的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D.小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)对于点C在上的不同位置，画图，测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.452.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定_ 的长度是自变量，_的长度和_
11、 的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当PC2PD时，AD的长度约为_ cm.4(2020原创)已知ya|x|.小明利用学习过的函数的经验，对此函数性质进行探究(1)根据分式有意义的条件可知，该函数的自变量x的取值范围是_；(2)小明将符合该函数的几对x，y的对应值填写在了下表中，请结合表格填空x2112ym00由此可知，a_；b_ ；m_ .(3)将表格中的x，y值组成对应点，描在如图所示的平面直角坐标系中，并用平滑的曲线画出该函数的图象；(4)根据函数图象写出该函数所具有的两条性质性质一_；性质二_；
12、 参考答案【例1】解：(1)A(0，2)，B(2，0)，函数y2|x2|的对称轴为直线x2；(2)将函数y2|x|的图象向上平移2个单位得到函数y2|x|2的图象；将函数y2|x|的图象向左平移2个单位得到函数y2|x2|的图象(3)将函数y2|x|的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位，得到函数y2|x3|1的图象，所画图象如解图所示，当x2x13时，y1y2.跟踪训练1解：(1)一切实数；(2)；(3)建立适当的直角坐标系，描点画出图象，如解图所示：(4)该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x2对称(答案不唯一)2解：(1)当x1时，yx，当x1时y1，(2)图象如解图所示(3
13、)函数有最小值1，函数无最大值；x1时，y随x的增大而增大(答案不唯一)(4)由函数图象可知，当a0或a1时，直线yax1与y的图象只有一个交点，即关于x的方程ax1只有一个实数根故答案为a0或a1.3解：(1)m5；n3；(2)补图如解图所示性质1：函数图象关于y轴对称；性质2：函数最小值为4.(答案不唯一)(3)4k0.【例2】解：(1)将x2，y4；x0，y1代入函数解析式得，解得，这个函数的表达式为y|x3|4；(2)当x2时，yx7；当x2时，yx1，函数yx7过点(2，4)，(4，1)，函数yx1过点(0，1)和(2，2)，函数图象如解图所示性质：函数图象关于直线x2对称；(答案不
14、唯一)(3)由函数图象可知，不等式|kx3|bx3的解集是1x4.【例3】解：(1)由图表得：当x3时，y6.0，当x9时，y8.3，故答案为：6.0，8.3；(2)描点、连线，画出图象，如解图所示(3)由题意得：当0x5时，P在BC上，此时PC102x，当5x11时，PC2x10，画图可得：当x2.5或9时，BPPC.故答案为2.5或9.跟踪训练1解：(1)1.1；(2)根据题意画图：(3)当线段BD是线段CE长的2倍时，得到yx图象，该图象与(2)中图象的交点即为所求，测量得BD长约1.7 cm.2解：(1)AB12，且C为AB的中点，ACBC6，CDx.ADACCD6x，BDBCCD6x，BGOF，BGAE，BGDAOD，AOAC6，y，此时自变量x的取值范围是0x6.(2)2；6.描点如解图所示；画图如解图所示(3)性质：当0x6时，y随x的增大而减小；性质：当x0时，函数有最大值6，当x6时，函数有最小值0.3解：(1)AD，PC，PD；(2)画图如解图所示(3)2.30或4.00.4解：(1)x0；(2)a1，b1，m；(3)画图如解图所示；(4)性质一：函数图象关于y轴对称；性质二：函数图象与x轴有两个交点(答案不唯一)
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