1、高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围、最值问题题型一范围问题例1 (2018鞍山质检)已知椭圆C：1(ab0)与双曲线y21的离心率互为倒数，且直线xy20经过椭圆的右顶点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求OMN面积的取值范围.解(1)双曲线的离心率为，椭圆的离心率e.又直线xy20经过椭圆的右顶点，右顶点为点(2,0)，即a2，c，b1，椭圆方程为y21.(2)由题意可设直线的方程为ykxm(k0，m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).联立消去y，并整理得(14k2)x28kmx4(m21
2、)0，则x1x2，x1x2，于是y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故k2，则m20.由m0得k2，解得k.又由64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，得0m22，显然m21(否则x1x20，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾).设原点O到直线的距离为d，则SOMN|MN|d|x1x2|m|.故由m的取值范围可得OMN面积的取值范围为(0,1).思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参
3、数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.跟踪训练1 (2018浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围.(1)证明设P(x0，y0)，A，B
4、.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程24，即y22y0y8x0y0的两个不同的实根.所以y1y22y0，所以PM垂直于y轴.(2)解由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.所以PAB的面积SPAB|PM|y1y2|.因为x1(1x00，y1y2，y1y2.|AB|，将代入上式得|AB| ，|m|1，SAOB|AB|11，当且仅当|m|，即m时，等号成立，AOB面积的最大值为1.思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质
5、等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.跟踪训练2 (2018锦州模拟)已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称.(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，将AB的中点M代入直线方程ymx，解得b， 由得m.(2)令t，则t2.则|AB|，且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d ，当且仅
6、当t2时，等号成立，此时满足t2.故AOB面积的最大值为.1.已知P(x0，y0)是椭圆C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则x0的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析由题意可知，F1(，0)，F2(，0)，则(x0)(x0)yxy30，点P在椭圆上，则y1，故x30，解得x0，即x0的取值范围是.2.定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为()A.1 B. C.2 D.5答案B解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线y2x的焦点为F，抛物线的准线为x，所求的距离d，所以(两边之和大于第三边且M，N，F三
7、点共线时取等号).3.过抛物线y2x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析记点A的横坐标是x1，则有|AF|x1|AF|cos ，|AF|(1cos )，|AF|.由得1cos ，22(1cos )4，b0)的中心为O，一个焦点为F，若以O为圆心，|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析由于以O为圆心，以b为半径的圆内切于椭圆，所以要使以O为圆心，以c为半径的圆与椭圆恒有公共点，需满足cb，则c2b2a2c2，所以2c2a2，所以e0)上任意一点，M
8、是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D.1答案A解析由题意可得F，设P(y00)，则()，可得k.当且仅当时取得等号，故选A.6.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x24y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则AOB面积的最小值为()A. B.2 C.2 D.4答案B解析设P(x0，1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又A，B在抛物线上，所以y1，y2.因为y，则过点A，B的切线分别为y(xx1)，y(xx2)均过点P(x0，1)，则1(x0x1)，1(x0x2)，即x1，x2是方程1(x0x)的两
9、根，则x1x22x0，x1x24，设直线AB的方程为ykxb，联立得x24kx4b0，则x1x24b4，即b1，|AB|x1x2|，O到直线AB的距离d，则SAOB|AB|d2，即AOB的面积的最小值为2，故选B.7.椭圆C：y21(a1)的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则|AF2|BF2|的最大值等于_.答案7解析因为椭圆C的离心率为，所以，解得a2，由椭圆定义得|AF2|BF2|AB|4a8，即|AF2|BF2|8|AB|，而由焦点弦性质，知当ABx轴时，|AB|取最小值21，因此|AF2|BF2|的最大值等于817.8.(2018沈阳模拟)已知F1
10、，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|t|PF2|(t(1,3)，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是_.答案(0，解析由双曲线的定义及题意可得解得又|PF1|PF2|2c，|PF1|PF2|2c，整理得e1，1t3，12，1e2.又e21，03，故00，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若PQF2的周长为16，则的最大值为_.答案解析由题意，得ABF2的周长为32，|AF2|BF2|AB|32，|AF2|BF2|AB|4a，|AB|，324a，
11、b(0a8)，令ta1(1tb0)的一个顶点坐标为B1(0，)，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)如图，点P是该椭圆内一点，四边形ABCD(ABCD)的对角线AC和BD交于点P，设直线AB：yxm，记g(m)S，求f(m)g(m)m34m3的最大值.解(1)顶点坐标为B1(0，)，b22，椭圆方程为1.(2)联立lAB与椭圆方程整理得3x24mx2m240，488m20，即m20，b0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交于B，C两点，记BAC，若的离心率为，则()A. B.C. D.答案B解析e，ca，b2c2a2a2，双曲线方程可变形为x2y2a2.设B(x0，y0)，由对称性可知C(x0，
12、y0)，点B(x0，y0)在双曲线上，xya2.A(a,0)，(x0a，y0)，(x0a，y0)，(x0a)(x0a)ya2xy0，即.故选B.14.若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为_.答案6解析点P为椭圆1上的任意一点，设P(x，y)(3x3，2y2)，由题意得左焦点F(1,0)，(x，y)，(x1，y)，x(x1)y2x2x2.3x3，x，2，2，6212，即612.故最小值为6.15.如图，由抛物线y212x与圆E：(x3)2y216的实线部分构成图形，过点P(3,0)的直线始终与图形中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为()A.
13、4,5 B.7,8 C.6,7 D.5,6答案B解析由题意可知抛物线y212x的焦点为F(3,0)，圆(x3)2y216的圆心为E(3,0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|4，设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|x03，由得(x3)212x16，整理得x26x70，解得x11，x27(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xCxD1，因此0x01，又|AB|AP|BP|4x03x07，所以|AB|x077,8，故选B.16.(2018南昌测试)已知P是椭圆C：1(ab0)与抛物线E：y22px(p0)的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F.(1)求椭圆C及抛物
14、线E的方程；(2)设过F且互相垂直的两动直线l1，l2，l1与椭圆C交于A，B两点，l2与抛物线E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.解(1)P是抛物线E：y22px(p0)上一点，p2，即抛物线E的方程为y24x，F(1,0)，a2b21.又P在椭圆C：1上，1，结合a2b21知b23(舍负)，a24，椭圆C的方程为1，抛物线E的方程为y24x.(2)由题意可知直线l1斜率存在，设直线l1的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).当k0时，|AB|4，直线l2的方程为x1，|CD|4，故S四边形ACBD|AB|CD|8.当k0时，直线l2的方程为y(x1)，由得(34k2)x28k2x4k2120.x1x2，x1x2.由弦长公式知|AB|x1x2|.同理可得|CD|4(k21).S四边形ACBD|AB|CD|4(k21).令tk21，t(1，)，则S四边形ACBD，当t(1，)时，(0,1)，248.综上所述，四边形ACBD面积的最小值为8.
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