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    2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数2.2 函数的单调性与最值

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    2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数2.2 函数的单调性与最值

    1、2.2函数的单调性与最值最新考纲考情考向分析1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体,考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用;强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查,题型既有选择、填空题,又有解答题.1.函数单调性的定义增函数减函数定义设函数yf(x)的定义域为A,区间MA,如果取区间M中任意两个值x1,x2,改变量xx2x10,则当yf(x2)f(x1)0时,就称函数yf(x)在区间M上是增函数yf(x2)f(x1)0f(x)在D上是增函数,减函数类似2写出对勾函数yx(a0)的增区间提示(,和

    2、,)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若定义在R上的函数f(x),有f(1)f(3),则函数f(x)在R上为增函数()(2)函数yf(x)在1,)上是增函数,则函数的单调递增区间是1,)()(3)函数y的单调递减区间是(,0)(0,)()(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数()(5)所有的单调函数都有最值()题组二教材改编2函数f(x)x22x的单调递增区间是_答案1,)(或(1,)3函数y在2,3上的最大值是_答案24若函数f(x)x22mx1在2,)上是增函数,则实数m的取值范围是_答案(,2解析由题意知,2

    3、,)m,),m2.题组三易错自纠5函数y(x24)的单调递减区间为_答案(2,)6若函数f(x)|xa|1的增区间是2,),则a_.答案2解析f(x)|xa|1的单调递增区间是a,),a2.7函数yf(x)是定义在2,2上的减函数,且f(a1)f(2a),则实数a的取值范围是_答案1,1)解析由条件知解得1a1.8函数f(x)的最大值为_答案2解析当x1时,函数f(x)为减函数,所以f(x)在x1处取得最大值,为f(1)1;当x0,解得x4或x2,所以(4,)为函数yx22x8的一个单调递增区间根据复合函数的单调性可知,函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间为(4,)(2)函数yx22|

    4、x|3的单调递减区间是_答案1,0,1,)解析由题意知,当x0时,yx22x3(x1)24;当x0时,yx22x3(x1)24,二次函数的图象如图由图象可知,函数yx22|x|3的单调递减区间为1,0,1,)命题点2讨论函数的单调性例2 判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在1,2上的单调性解函数f(x)ax2(1a3)在1,2上单调递增证明:设1x1x22,则f(x2)f(x1)axax(x2x1),由1x10,2x1x24,1x1x24,1.又因为1a3,所以2a(x1x2)0,从而f(x2)f(x1)0,即f(x2)f(x1),故当a(1,3)时,f(x)在1,2上单调递增引申探究

    5、如何用导数法求解本例?解f(x)2ax,因为1x2,所以1x38,又1a0,所以f(x)0,所以函数f(x)ax2(其中1a3)在1,2上是增函数思维升华 确定函数单调性的方法:(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法;(2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;(3)图象法,图象不连续的单调区间不能用“”连接(4)具有单调性函数的加减跟踪训练1 (1)下列函数中,满足“x1,x2(0,)且x1x2,(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是()Af(x)2x Bf(x)|x1|Cf(x)x Df(x)ln(x1)答案C解析由(x1x2)f(x1)f(x2)0,即a1,

    6、因此g(x)的单调递减区间就是y|x2|的单调递减区间(,2(3)函数f(x)|x2|x的单调递减区间是_答案1,2解析f(x)画出f(x)图象,由图知f(x)的单调递减区间是1,2题型二函数的最值1函数y的值域为_答案1,1)解析由y,可得x2.由x20,知0,解得1yx11时,f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称,且在(1,)上是减函数,因为aff,且2ac.命题点2解函数不等式例4设函数f(x)是奇函数,且在(0,)内是增函数,又f(3)0,则f(x)0的解集是()Ax|3x3Bx|x3或0x3Cx|x

    7、3Dx|3x0或0x3答案B解析f(x)是奇函数,f(3)0,f(3)f(3)0,解得f(3)0.函数f(x)在(0,)内是增函数,当0x3时,f(x)3时,f(x)0.函数f(x)是奇函数,当3x0;当x3时,f(x)0.则不等式f(x)0的解集是x|0x3或x1)是增函数,故a1,所以a的取值范围为10,40成立,那么a的取值范围是_答案解析对任意x1x2,都有0,所以yf(x)在(,)上是增函数所以解得a2.故实数a的取值范围是.(2)已知函数f(x)是定义在区间0,)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x1)f的x的取值范围是_答案解析因为函数f(x)是定义在区间0,)上的增函

    8、数,且满足f(2x1)f,所以02x1,解得xf(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)f(3)f(2),即f()f(3)f(2)4已知函数f(x)当x1x2时,0,则a的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析当x1x2时,0,f(x)是R上的减函数f(x)0a.5函数f(x),x(m,n的最小值为0,则m的取值范围是()A(1,2) B(1,2)C1,2) D1,2)答案D解析因为f(x)1在(1,)上单调递减,且f(2)0,所以n2,1mbc解析f(x)在R上是奇函数,afff(log25)又f(x)在R上是增函数,且log25log24.1lo

    9、g24220.8,f(log25)f(log24.1)f(20.8),abc.8已知函数ylog2(ax1)在(1,2)上是增函数,则实数a的取值范围是_答案1,)解析要使ylog2(ax1)在(1,2)上是增函数,则a0且a10,即a1.9记mina,b若f(x)minx2,10x(x0),则f(x)的最大值为_答案6解析由题意知,f(x)易知f(x)maxf(4)6.10设函数f(x)若函数yf(x)在区间(a,a1)上单调递增,则实数a的取值范围是_答案(,14,)解析作函数f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)在(a,a1)上单调递增,需满足a4或a12,即a1或a4.11已知f(

    10、x)(xa)(1)若a2,试证f(x)在(,2)上单调递增;(2)若a0且f(x)在(1,)上单调递减,求a的取值范围(1)证明当a2时,f(x).设x1x20,x1x20,所以f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在(,2)上单调递增(2)解设1x10,x2x10,所以要使f(x1)f(x2)0,只需(x1a)(x2a)0恒成立,所以a1.综上所述,00且方程ax2bx10中b24a(a1)24a(a1)20,a1.从而f(x)x22x1.F(x)(2)由(1)可知f(x)x22x1,g(x)f(x)kxx2(2k)x1,由g(x)在2,2上是单调函数,知2或2,得k2

    11、或k6.即实数k的取值范围为(,26,)13已知函数f(x)若f(2x2)f(x),则实数x的取值范围是()A(,1)(2,) B(,2)(1,)C(1,2) D(2,1)答案D解析当x0时,两个表达式对应的函数值都为0,函数的图象是一条连续的曲线又当x0时,函数f(x)x3为增函数,当x0时,f(x)ln(x1)也是增函数,函数f(x)是定义在R上的增函数因此,不等式f(2x2)f(x)等价于2x2x,即x2x20,解得2xf(2ax)在a,a1上恒成立,则实数a的取值范围是_答案(,2)解析二次函数y1x24x3的对称轴是x2,该函数在(,0上单调递减,x24x33,同样可知函数y2x22

    12、x3在(0,)上单调递减,x22x3f(2ax)得到xa2ax,即2xa,2xa在a,a1上恒成立,2(a1)a,a2的解集为_答案解析由题意知,f(x)f(x)2,f(2x1)f(2x)2可化为f(2x1)f(2x),又由题意知函数f(x)在R上单调递增,2x12x,x,原不等式的解集为.16已知定义在区间(0,)上的函数f(x)是增函数,f(1)0,f(3)1.(1)解不等式0f(x21)1;(2)若f(x)m22am1对所有x(0,3,a1,1恒成立,求实数m的取值范围解(1)由得x2或2x.原不等式的解集为(2,)(,2)(2)函数f(x)在(0,3上是增函数,f(x)在(0,3上的最大值为f(3)1,不等式f(x)m22am1对所有x(0,3,a1,1恒成立转化为1m22am1对所有a1,1恒成立,即m22am0对所有a1,1恒成立设g(a)2mam2,a1,1,需满足即解该不等式组,得m2或m2或m0,即实数m的取值范围为(,202,)


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