1、9.2两条直线的位置关系最新考纲考情考向分析1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点.1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.()当直线l1，l2不重合且
2、斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.2.几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.概念方法微思考1.若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示当两条直线l1与
3、l2的斜率都存在时，1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直.2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式.(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(3)点P(x0，y0)到直线ykxb的距
4、离为.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(5)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上.()题组二教材改编2.已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A. B.2 C.1 D.1答案C解析由题意得1.解得a1或a1.a0，a1.3.已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_.答案1解析由题意知1，所以m42m，所以m1.4.若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为_.答案9解析由得所以点(1,2)满足方程mx2y50，即m12250，
5、所以m9.题组三易错自纠5.直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m等于()A.2 B.3C.2或3 D.2或3答案C解析直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则有，故m2或3.故选C.6.直线2x2y10，xy20之间的距离是_.答案解析先将2x2y10化为xy0，则两平行线间的距离为d.7.若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.题型一两条直线的平行与垂直例1(2018满洲里调研)已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.
6、(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1l2时，求a的值.解(1)方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1：yx3，l2：yx(a1)，l1l2解得a1，综上可知，当a1时，l1l2，a1时，l1与l2不平行.方法二由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，l1l2可得a1，故当a1时，l1l2.当a1时，l1与l2不平行.(2)方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1：y3，l2：x
7、y10，l1不垂直于l2，故a0不成立；当a1且a0时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由1，得a.方法二由A1A2B1B20，得a2(a1)0，可得a.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.跟踪训练1 (1)已知直线l1：x2ay10，l2：(a1)xay0，若l1l2，则实数a的值为()A. B.0C.或0 D.2答案C解析若a0，则由l1l2，故2a21，即a；若a0，l1l2，故选C.(2)
8、已知直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20垂直，则m的值为()A.2或3 B.2C. D.答案C解析由l1l2得2m(m1)30，整理得5m30.解得m.题型二两直线的交点与距离问题1.(2018葫芦岛调研)若直线l与两直线y1，xy70分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，1)，则直线l的斜率是()A. B. C. D.答案A解析由题意，设直线l的方程为yk(x1)1，分别与y1，xy70联立解得M，N.又因为MN的中点是P(1，1)，所以由中点坐标公式得k.2.若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A. B. C. D.答案C解
9、析因为，所以两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.3.已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_.答案解析方法一由方程组解得(若2k10，即k，则两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.方法二如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2).而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2,1)，斜率为k的动直线.两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kPAkkPB.k
10、PA，kPB.k.4.已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为_.答案或解析设点P的坐标为(a，b).A(4，3)，B(2，1)，线段AB的中点M的坐标为(3，2).而AB的斜率kAB1，线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.点P(a，b)在直线xy50上，ab50. 又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210， 由联立解得或所求点P的坐标为(1，4)或.思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用
11、距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例2 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_.答案x4y40解析设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点2点关于直线对称例3如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(
12、2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A.3 B.6C.2 D.2答案C解析直线AB的方程为xy4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，则光线经过的路程为|CD|2.命题点3直线关于直线的对称问题例4直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是_.答案x2y30解析设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由得由点P(x0，y0)在直线2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.思维升华 解决对称问题的方法(1)中心对称点P(x，y)
13、关于Q(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.跟踪训练2 已知直线l：3xy30，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1,2)的对称直线.解(1)设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y)，kPPkl1，即31.又PP的中点在直线3xy30上，330.由得把x4，y5代入得x2，y7，点P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(2,7).
14、(2)用分别代换xy20中的x，y，得关于l对称的直线方程为20，化简得7xy220.(3)在直线l：3xy30上取点M(0,3)，关于(1,2)的对称点M(x，y)，1，x2，2，y1，M(2,1).l关于(1,2)的对称直线平行于l，k3，对称直线方程为y13(x2)，即3xy50.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系.一、平行直线系例1 求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程.解由题意，设所求直线方程为3x4yc0(c1)，又因为直线过点(1,2)，所以3142c0，解得c1
15、1.因此，所求直线方程为3x4y110.二、垂直直线系例2 求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.解因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC0，又直线过点A(2,1)，所以有221C0，解得C0，即所求直线方程为x2y0.三、过直线交点的直线系例3 求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.解方法一解方程组得P(0,2).l3的斜率为，且ll3，直线l的斜率为，由斜截式可知l的方程为yx2，即4x3y60.方法二设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.又ll3，3(1)
16、(4)(2)0，解得11.直线l的方程为4x3y60.1.直线2xym0和x2yn0的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.不能确定答案C解析直线2xym0的斜率k12，直线x2yn0的斜率k2，则k1k2，且k1k21.故选C.2.已知直线l1：xmy70和l2：(m2)x3y2m0互相平行，则实数m等于()A.1或3 B.1C.3 D.1或3答案A解析当m0时，显然不符合题意；当m0时，由题意得，解得m1或m3，故选A.3.已知过点A(2，m)和B(m,4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3.若l1l2，l2l3，则实数mn的值为()A.10 B.2
17、C.0 D.8答案A解析因为l1l2，所以kAB2.解得m8.又因为l2l3，所以(2)1，解得n2，所以mn10.4.过点M(3,2)，且与直线x2y90平行的直线方程是()A.2xy80 B.x2y70C.x2y40 D.x2y10答案D解析方法一因为直线x2y90的斜率为，所以与直线x2y90平行的直线的斜率为，又所求直线过M(3,2)，所以所求直线的点斜式方程为y2(x3)，化为一般式得x2y10.故选D.方法二由题意，设所求直线方程为x2yc0，将M(3，2)代入，解得c1，所以所求直线为x2y10.故选D.5. (2018盘锦模拟)若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0
18、平行，则l1与l2之间的距离为()A. B.4C. D.2答案C解析l1l2，a2且a0，解得a1，l1与l2的方程分别为l1：xy60，l2：xy0，l1与l2的距离d.6.已知直线l1：y2x3，直线l2与l1关于直线yx对称，则直线l2的斜率为()A. B.C.2 D.2答案A解析直线y2x3与yx的交点为A(1,1)，而直线y2x3上的点(0,3)关于yx的对称点为B(3，0)，而A，B两点都在l2上，所以.7.已知直线l1：axy10，直线l2：xy30，若直线l1的倾斜角为，则a_；若l1l2，则a_；若l1l2，则两平行直线间的距离为_.答案112解析若直线l1的倾斜角为，则ak
19、tan 1，故a1；若l1l2，则a11(1)0，故a1；若l1l2，则a1，l1：xy10，两平行直线间的距离d2.8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.答案解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn.9.直线l1：y2x3关于直线l：yx1对称的直线l2的方程为_.答案x2y0解析由解得直线l1与l的交点坐标为(2，1)，所以可设直线l2的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,
20、2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得，解得k(k2舍去)，所以直线l2的方程为x2y0.10.已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_.答案6xy60解析设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.11.已知方程(2)x(1)y2(32)0与点P(2,2).(1)证明：对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点
21、P的距离d小于4.(1)解显然2与(1)不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线.方程可变形为2xy6(xy4)0，解得故直线经过的定点为M(2，2).(2)证明过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|PM|，此时对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程唯独不能表示直线xy40，M与Q不可能重合，而|PM|4，|PQ|0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1与l2间的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：点P在第一象限；点P到l1的距离是点P到l2的距离的；点P到l1的距离与点P到l3
22、的距离之比是.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.解(1)直线l2：2xy0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d，所以，即，又a0，解得a3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0).若P点满足条件，则P点在与l1，l2平行的直线l：2xyc0上，且，即c或，所以2x0y00或2x0y00；若P点满足条件，由点到直线的距离公式，有，即|2x0y03|x0y01|，所以x02y040或3x020；由于点P在第一象限，所以3x020不可能.联立方程2x0y00和x02y040，解得(舍去)联立方程2x0y00和x02y040，解得所以存在点P同时满足三个条件.13.已知直线y2x是ABC中C的
23、平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(4，2)，(3,1)，则点C的坐标为()A.(2,4) B.(2，4)C.(2,4) D.(2，4)答案C解析设A(4,2)关于直线y2x的对称点为(x，y)，则解得BC所在直线方程为y1(x3)，即3xy100.同理可得点B(3,1)关于直线y2x的对称点为(1,3)，AC所在直线方程为y2(x4)，即x3y100.联立解得则C(2,4).故选C.14. (2018赤峰质检)若三条直线y2x，xy3，mxny50相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A. B. C.2 D.2答案A解析联立解得x1，y2.把(1,2)代入mxny50可
24、得，m2n50.m52n.点(m，n)到原点的距离d，当n2，m1时取等号.点(m，n)到原点的距离的最小值为.15.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知ABC的顶点A(1,0)，B(0,2)，且ACBC，则ABC的欧拉线的方程为()A.4x2y30 B.2x4y30C.x2y30 D.2xy30答案B解析因为ACBC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(1，0)，B(0,2)，故AB的中点为，kAB2，故AB的中垂线方程为y1，即2x4y30.16.在平面直角坐标系xOy中，将
25、直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,4)对称，求直线l的方程.解由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：yk(x3)5b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为yk(x31)b52，即ykx34kb，b34kb，解得k，直线l的方程为yxb，直线l1为yxb，取直线l上的一点P，则点P关于点(2,4)的对称点为，8b(4m)b，解得b.直线l的方程是yx，即6x8y90.
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