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    中考总复习:特殊三角形--知识讲解(提高)

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    中考总复习:特殊三角形--知识讲解(提高)

    1、中考总复习:特殊三角形知识讲解(提高)责编:常春芳【考纲要求】【高清课堂:等腰三角形与直角三角形 考纲要求】1了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念,会识别这三种图形;理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2性质:(1)具有三角形的一切性质;(2)两底角相等(等边对等角);(3)顶角的平分线,底边中线,底边上的高互相重合(三线合一);(4)等边三角形的各

    2、角都相等,且都等于60要点诠释:等边三角形中高线,中线,角平分线三线合一,共有三条.3判定:(1)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边);(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角为60的等腰三角形是等边三角形要点诠释:(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念;(2)等边三角形是特殊的等腰三角形考点二、直角三角形1.直角三角形:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2性质:(1)直角三角形中两锐角互余;(2)直角三角形中,30锐角所对的直角边等于斜边的一半;(3)在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30;(4

    3、)勾股定理:直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方;(5)勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形;(6)直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释:(1)直角三角形中,SRtABC=ch=ab,其中a、b为两直角边,c为斜边,h为斜边上的高;(2)圆内接三角形,当一条边为直径时,该三角形是直角三角形3判定:(1)两内角互余的三角形是直角三角形;(2)一条边上的中线等于该边的一半,则这条边所对的角是直角,这个三角形是直角三角形;(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形,第三边为斜边【典型例题】类型

    4、一、等腰三角形1(2014秋自贡期末)如图,点O是等边ABC内一点,AOB=110,BOC=以OC为一边作等边三角形OCD,连接AC、AD(1)当=150时,试判断AOD的形状,并说明理由;(2)探究:当a为多少度时,AOD是等腰三角形?【思路点拨】(1)首先根据已知条件可以证明BOCADC,然后利用全等三角形的性质可以求出ADO的度数,由此即可判定AOD的形状;(2)利用(1)和已知条件及等腰三角形的性质即可求解【答案与解析】解:(1)OCD是等边三角形,OC=CD,而ABC是等边三角形,BC=AC,ACB=OCD=60,BCO=ACD,在BOC与ADC中,BOCADC,BOC=ADC,而B

    5、OC=150,ODC=60,ADO=15060=90,ADO是直角三角形;(2)设CBO=CAD=a,ABO=b,BAO=c,CAO=d,则a+b=60,b+c=180110=70,c+d=60,a+d=50DAO=50,bd=10,(60a)d=10,a+d=50,即CAO=50,要使AO=AD,需AOD=ADO,190=60,=125;要使OA=OD,需OAD=ADO,60=50,=110;要使OD=AD,需OAD=AOD,190=50,=140所以当为110、125、140时,三角形AOD是等腰三角形【总结升华】此题主要考查了等边三角形的性质与判定,以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识

    6、,根据旋转前后图形不变是解决问题的关键举一反三: 【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后,得到的一个小三角形的周长是_【答案】.2已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点,BE=DF(1)求证:AE=AF(2)若AE垂直平分BC,AF垂直平分CD,求证:AEF为等边三角形【思路点拨】菱形的定义和性质.【答案与解析】(1)四边形ABCD是菱形, AB=AD,B=D ,又BE=DF, AE=AF (2)连接AC, AE垂直平分BC,AF垂直平分CD,AB=AC=AD,AB=BC=CD=DA , ABC和ACD都是等边三角形, 又AE=AF 是等边三角形【总结升华】此题涉

    7、及到三角形全等的判定与性质,等边三角形的判定与性质.举一反三:【高清课堂:等腰三角形与直角三角形 例4】【变式】如图,ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD,连接CE、DE. 求证:CE=DE.【答案】延长BD到F,使DFBC,连接EF,等边ABC,ABBCAC,B60BFBD+DF,BEAB+AE,AEBD,BCDF,BFBE,等边BEF,EFBE,FB,BCEFDE(SAS)CEDE类型二、直角三角形3(2015秋东海县校级期中)如图,ABC中,CFAB,垂足为F,M为BC的中点,E为AC上一点,且ME=MF(1)求证:BEAC;(2)若A=50,求FME的度数【思路

    8、点拨】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MF=BM=CM=BC,再求出ME=BM=CM=BC,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明;(2)根据三角形的内角和定理求出ABC+ACB,再根据等腰三角形两底角相等求出BMF+CME,然后根据平角等于180列式计算即可得解【答案与解析】(1)证明:CFAB,垂足为F,M为BC的中点,MF=BM=CM=BC,ME=MF,ME=BM=CM=BC,BEAC;(2)解:A=50,ABC+ACB=18050=130,ME=MF=BM=CM,BMF+CME=(1802ABC)+(1802ACB)=3602(ABC+ACB)=3602130

    9、=100,在MEF中,FME=180100=80【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,等腰三角形的判定与性质,熟记性质是解题的关键,难点在于(2)中整体思想的利用4如图,ACD和BCE都是等腰直角三角形,ACDBCE90,AE交DC于F,BD分别交CE,AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系,并说明理由 【思路点拨】ACD和BCE都是等腰直角三角形,为证明全等提供了等线段的条件.【答案与解析】猜测 AEBD,AEBD. 理由如下:ACDBCE90,ACDDCEBCEDCE,即ACEDCBACD和BCE都是等腰直角三角形,ACCD,CECBACEDCB(

    10、SAS)AEBD,CAECDBAFCDFH,DHFACD90,AEBD【总结升华】两条线段的关系包括数量关系和位置关系两种.举一反三:【变式】 .以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1,再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1,如此作下去,若OA=OB=1,则第n个等腰直角三角形的面积Sn=_.【答案】.类型三、综合运用5 .(2012牡丹江)如图,ABC中AB=AC,P为底边BC上一点,PEAB,PFAC,CHAB,垂足分别为E、F、H易证PE+PF=CH证明过程如下: 如图,连接APPEAB,PFAC,CHAB,=ABPE,=

    11、ACPF,=ABCH又,ABPE+ACPF=ABCHAB=AC,PE+PF=CH(1)如图,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明:(2)填空:若A=30,ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则AB边上的高CH=_.点P到AB边的距离PE=_.【思路点拨】运用面积证明可使问题简便,(2)中分情况讨论是解题的关键【答案与解析】(1)如图,PE=PF+CH证明如下:PEAB,PFAC,CHAB,=ABPE,=ACPF,=ABCH,=+,ABPE=ACPF+ABCH,又AB=AC,PE=PF+C

    12、H;(2)在ACH中,A=30,AC=2CH=ABCH,AB=AC,2CHCH=49,CH=7分两种情况:P为底边BC上一点,如图PE+PF=CH,PE=CH-PF=7-3=4;P为BC延长线上的点时,如图PE=PF+CH,PE=3+7=10故答案为7;4或10【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积,难度适中.6在中,AC=BC,点D为AC的中点(1)如图1,E为线段DC上任意一点,将线段DE绕点D逆时针旋转90得到线段DF,连结CF,过点F作 ,交直线AB于点H判断FH与FC的数量关系并加以证明(2)如图2,若E为线段DC的延长线上任意一点,(1)中的其他条件不变,你在(1)中

    13、得出的结论是否发生改变,直接写出你的结论,不必证明【思路点拨】根据条件判断FH=FC,要证FH=FC一般就要证三角形全等.【答案与解析】(1)FH与FC的数量关系是: 延长交于点G,由题意,知 EDF=ACB=90,DE=DFDGCB点D为AC的中点,点G为AB的中点,且DG为的中位线AC=BC,DC=DGDC- DE =DG- DF即EC =FG EDF =90,1+CFD =90,2+CFD=90 1 =2 与都是等腰直角三角形,DEF =DGA = 45 CEF =FGH = 135 CEF FGH FH=FC (2)FH与FC仍然相等 【总结升华】对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用,注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养.举一反三:【高清课堂:等腰三角形与直角三角形 例7】【变式】如图, ABC和CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M是AE的中点,下列结论:tanAEC=; SABC+SCDESACE ; BMDM;BM=DM.正确结论的个数是( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D.


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