1、2017-2018学年云南省红河州个旧一中高二（下）第六次模拟数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A（x，y）|x2+y23，xZ，yZ，则A中元素的个数为（）A9B8C5D42（5分）设z+2i，则|z|（）A0BC1D3（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）ABCD4（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A10B20C40D8
2、05（5分）直线x+y+20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x2）2+y22上，则ABP面积的取值范围是（）A2，6B4，8C，3D2，36（5分）函数yx4+x2+2的图象大致为（）ABCD7（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如307+23在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）ABCD8（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若ABC的面积为，则C（）ABCD9（5分）若f（x）cosxsinx在a，a是减函数，则a的最大值是（）ABCD10（5分）设
3、A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为（）A12B18C24D5411（5分）设F1，F2是双曲线C：1（a0b0）的左，右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|OP|，则C的离心率为（）AB2CD12（5分）设alog0.20.3，blog20.3，则（）Aa+bab0Baba+b0Ca+b0abDab0a+b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知向量（1，2），（2，2），（1，）若（2+），则 14（5分）曲线y（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则
4、a 15（5分）函数f（x）cos（3x+）在0，的零点个数为 16（5分）已知点M（1，1）和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）等比数列an中，a11，a54a3（1）求an的通项公式；（2）记Sn为an的前n项和若Sm63，求m18（12分）在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指
5、标x和y，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户若0x0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.6x0.8，则认定该户为“相对贫困户”，若0.8x1，则认定该户为“低收入户”；若y100，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中乙村的户数，求的分布列和数学期望E（）；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y的方差的大小（只需写出结论）19（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上
6、异于C，D的点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值20（12分）设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k（k0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|8（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程21（12分）已知函数f（x）x+alnx（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：a2选修4-5：不等式选讲（10分）22（10分）设函数f（x）|2x+1|+|x1|（1）画出yf（x）的图象；（2）当x0，+）时，f（x）ax+b，求a+b的最小值2017-2018学年云
7、南省红河州个旧一中高二（下）第六次模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A（x，y）|x2+y23，xZ，yZ，则A中元素的个数为（）A9B8C5D4【分析】分别令x1，0，1，进行求解即可【解答】解：当x1时，y22，得y1，0，1，当x0时，y23，得y1，0，1，当x1时，y22，得y1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键2（5分）设z+2i，则|z|（）A0BC1D【分析】利用复数的代数形式的混
8、合运算化简后，然后求解复数的模【解答】解：z+2i+2ii+2ii，则|z|1故选：C【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力3（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）ABCD【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以
9、木构件的俯视图是A故选：A【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查4（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A10B20C40D80【分析】由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：Tr+1（x2）5r（）r，由103r4，解得r2，由此能求出（x2+）5的展开式中x4的系数【解答】解：由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：Tr+1（x2）5r（）r，由103r4，解得r2，（x2+）5的展开式中x4的系数为40故选：C【点评】本题考查二项展开式中x4的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5（5分）直线x
10、+y+20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x2）2+y22上，则ABP面积的取值范围是（）A2，6B4，8C，3D2，3【分析】求出A（2，0），B（0，2），|AB|2，设P（2+，），点P到直线x+y+20的距离：d，由此能求出ABP面积的取值范围【解答】解：直线x+y+20分别与x轴，y轴交于A，B两点，令x0，得y2，令y0，得x2，A（2，0），B（0，2），|AB|2，点P在圆（x2）2+y22上，设P（2+，），点P到直线x+y+20的距离：d，sin（）1，1，d，ABP面积的取值范围是：，2，6故选：A【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直
11、线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题6（5分）函数yx4+x2+2的图象大致为（）ABCD【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B函数的导数f（x）4x3+2x2x（2x21），由f（x）0得2x（2x21）0，得x或0x，此时函数单调递增，由f（x）0得2x（2x21）0，得x或x0，此时函数单调递减，排除C，也可以利用f（1）1+1+220，排除A，B，故选：D【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键7（
12、5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如307+23在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）ABCD【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可【解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P，故选：C【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键8（5分）AB
13、C的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若ABC的面积为，则C（）ABCD【分析】推导出SABC，从而sinCcosC，由此能求出结果【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，cABC的面积为，SABC，sinCcosC，0C，C故选：C【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9（5分）若f（x）cosxsinx在a，a是减函数，则a的最大值是（）ABCD【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，kZ，得，kZ，取k0，得f（x）的一个减区间为，结合已知条件即可求出a的最大值【解答】解：f（x）c
14、osxsinx（sinxcosx），由，kZ，得，kZ，取k0，得f（x）的一个减区间为，由f（x）在a，a是减函数，得，则a的最大值是故选：A【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题10（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为（）A12B18C24D54【分析】求出，ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可【解答】解：ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB6，球心为O，三角形ABC 的外心为O，显然D在OO的延长线与球的交点如图：OC
15、，OO2，则三棱锥DABC高的最大值为：6，则三棱锥DABC体积的最大值为：18故选：B【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力11（5分）设F1，F2是双曲线C：1（a0b0）的左，右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|OP|，则C的离心率为（）AB2CD【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|b，再求出|OP|a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|cosPF2O，代值化简整理可得ac，问题得以解决【解答】解：双曲线C：1（a0b0）的一条渐近线方程为yx
16、，点F2到渐近线的距离db，即|PF2|b，|OP|a，cosPF2O，|PF1|OP|，|PF1|a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|COSPF2O，6a2b2+4c22b2c4c23b24c23（c2a2），即3a2c2，即ac，e，故选：C【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题12（5分）设alog0.20.3，blog20.3，则（）Aa+bab0Baba+b0Ca+b0abDab0a+b【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案【解答】解：alog0.20.3，blog2
17、0.3，aba+b0故选：B【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知向量（1，2），（2，2），（1，）若（2+），则【分析】利用向量坐标运算法则求出（4，2），再由向量平行的性质能求出的值【解答】解：向量（1，2），（2，2），（4，2），（1，），（2+），解得故答案为：【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14（5分）曲线y（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a3【分析】求出函数的导数，利用切线的斜率
18、列出方程求解即可【解答】解：曲线y（ax+1）ex，可得yaex+（ax+1）ex，曲线y（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，可得：a+12，解得a3故答案为：3【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力15（5分）函数f（x）cos（3x+）在0，的零点个数为3【分析】由题意可得f（x）cos（3x+）0，可得3x+k，kZ，即x+k，即可求出【解答】解：f（x）cos（3x+）0，3x+k，kZ，x+k，kZ，当k0时，x，当k1时，x，当k2时，x，当k3时，x，x0，x，或x，或x，故零点的个数为3，故答案为：3【点评】本题考查了余弦函数的
19、图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题16（5分）已知点M（1，1）和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k2【分析】由已知可求过A，B两点的直线方程为yk（x1），然后联立直线与抛物线方程组可得，k2x22（2+k2）x+k20，可表示x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，由AMB90，向量的数量积为0，代入整理可求k【解答】解：抛物线C：y24x的焦点F（1，0），过A，B两点的直线方程为yk（x1），联立可得，k2x22（2+k2）x+k20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2，x1x21，y1+y2k（x1+x22）
20、，y1y2k2（x11）（x21）k2x1x2（x1+x2）+14，M（1，1），（x1+1，y11），（x2+1，y21），AMB90，0（x1+1）（x2+1）+（y11）（y21）0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2（y1+y2）+20，1+2+4+20，即k24k+40，k2故答案为：2【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）等比数列an中，a11，a54a3（1）求an的通项公式；（2）记Sn为an的前n项和若Sm63，求m【分析】（1）利用等比数列通项公
21、式列出方程，求出公比q2，由此能求出an的通项公式（2）当a11，q2时，Sn，由Sm63，得Sm63，mN，无解；当a11，q2时，Sn2n1，由此能求出m【解答】解：（1）等比数列an中，a11，a54a31q44（1q2），解得q2，当q2时，an2n1，当q2时，an（2）n1，an的通项公式为，an2n1，或an（2）n1（2）记Sn为an的前n项和当a11，q2时，Sn，由Sm63，得Sm63，mN，无解；当a11，q2时，Sn2n1，由Sm63，得Sm2m163，mN，解得m6【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程
22、思想，是基础题18（12分）在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x和y，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户若0x0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.6x0.8，则认定该户为“相对贫困户”，若0.8x1，则认定该户为“低收入户”；若y100，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（
23、2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中乙村的户数，求的分布列和数学期望E（）；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y的方差的大小（只需写出结论）【分析】（1）在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，由此能求出从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率（2）“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，的可能值为0，1，2，3分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望（3）这100户中甲村指标y的方差大于乙村指标y的方差【解答】解：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，所以
24、从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，的可能值为0，1，2，3，所以的分布列为： 0 1 2 3 P 故的数学期望（3）这100户中甲村指标y的方差大于乙村指标y的方差【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MA
25、B与面MCD所成二面角的正弦值【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明MC平面ADM即可（2）根据三棱锥的体积最大，确定M的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可【解答】解：（1）证明：在半圆中，DMMC，正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，AD平面DCM，则ADMC，ADDMD，MC平面ADM，MC平面MBC，平面AMD平面BMC（2）ABC的面积为定值，要使三棱锥MABC体积最大，则三棱锥的高最大，此时M为圆弧的中点，建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图正方形ABCD的边长为2，A（2，1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），则平面MCD
26、的法向量（1，0，0），设平面MAB的法向量为（x，y，z）则（0，2，0），（2，1，1），由2y0，2x+y+z0，令x1，则y0，z2，即（1，0，2），则cos，则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sin【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键20（12分）设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k（k0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|8（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程【分析】（1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得
27、直线l的方程；方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程；（2）根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y24x的焦点为F（1，0），设直线AB的方程为：yk（x1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x22（k2+2）x+k20，则x1+x2，x1x21，由|AB|x1+x2+p+28，解得：k21，则k1，直线l的方程yx1；方法二：抛物线C：y24x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为，由抛物线的弦长公式
28、|AB|8，解得：sin2，则直线的斜率k1，直线l的方程yx1；（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y2（x3），即yx+5，设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x3）2+（y2）216或（x11）2+（y+6）2144【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题21（12分）已知函数f（x）x+alnx（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：a2【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之
29、间的关系进行求解即可（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+），函数的导数f（x）1+，设g（x）x2ax+1，当a0时，g（x）0恒成立，即f（x）0恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数，当a0时，判别式a24，当0a2时，0，即g（x）0，即f（x）0恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数，当a2时，x，f（x），f（x）的变化如下表： x （0，） （，） （，+） f（x） 0+ 0 f（x） 递减 递增递减综上当a2时，f（x）在（0，+）上是减函数，当a2时，在（0，），和（，+）上是减函数
30、，则（，）上是增函数（2）由（1）知a2，0x11x2，x1x21，则f（x1）f（x2）（x2x1）（1+）+a（lnx1lnx2）2（x2x1）+a（lnx1lnx2），则2+，则问题转为证明1即可，即证明lnx1lnx2x1x2，则lnx1lnx1，即lnx1+lnx1x1，即证2lnx1x1在（0，1）上恒成立，设h（x）2lnxx+，（0x1），其中h（1）0，求导得h（x）10，则h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1），即2lnxx+0，故2lnxx，则a2成立（2）另解：注意到f（）xalnxf（x），即f（x）+f（）0，由韦达定理得x1x21，x1+x2a2，得0x
31、11x2，x1，可得f（x2）+f（）0，即f（x1）+f（x2）0，要证a2，只要证a2，即证2alnx2ax2+0，（x21），构造函数h（x）2alnxax+，（x1），h（x）0，h（x）在（1，+）上单调递减，h（x）h（1）0，2alnxax+0成立，即2alnx2ax2+0，（x21）成立即a2成立【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应用是解决本题的关键综合性较强，难度较大选修4-5：不等式选讲（10分）22（10分）设函数f（x）|2x+1|+|x1|（1）画出yf（x）的图象；（2）当x0，+）时，f（x）ax+b，求a+b
32、的最小值【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可【解答】解：（1）当x时，f（x）（2x+1）（x1）3x，当x1，f（x）（2x+1）（x1）x+2，当x1时，f（x）（2x+1）+（x1）3x，则f（x）对应的图象为：画出yf（x）的图象；（2）当x0，+）时，f（x）ax+b，当x0时，f（0）20a+b，b2，当x0时，要使f（x）ax+b恒成立，则函数f（x）的图象都在直线yax+b的下方或在直线上，f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，且各部分直线的斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，不等式f（x）ax+b在0，+）上成立，即a+b的最小值为5【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键
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