1、备战2020中考数学解题方法专题研究专题6 配方法专题【方法简介】配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法 配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用运用配方法
2、解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式【真题演练】1. 用配方法解一元二次方程x24x60，变形正确的是（）A（x2）20B（x4）222C（x2）210D（x2）28【解答】解：x24x60，移项得：x24x6，配方得：x24x+410，即（x2）210故选：C2. 用配方法解下列方程：(1)x23x40；(2)x(x8)609.【解析】解：(1)由x23x40，得x23x40，即0，x，x，x11，x24.(2)原方程可化为x28x609，x28x4260942，即(x4)2625，x425，x121，x229.3. 已知一
3、元二次方程(x3)21的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求ABC的周长【解析】解：(x3)21，x31，解得x14，x22.一元二次方程(x3)21的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，当底边长和腰长分别为4和2时，422，此时不能构成三角形；当底边长和腰长分别是2和4时，此时能构成三角形，ABC的周长为24410.4. 用配方法证明：不论x，y取何实数时，代数式x2y22x4y7的值总不小于常数2.证明：x2y22x4y7(x1)2(y2)22，又(x1)20，(y2)20，不论x，y取何实数时，x2y22x4y72.【名词释义】把一个式子或一个式子的某一部分化成
4、完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式可以将一元二次方程化为形如的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法“配方法”它的理论依据是完全平方公式用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为的形式；4若，用“直接开平方法”解出；若，则原方程无实数根即原方程无解“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用【典例示例】例题1
5、：有n个方程：x22x80；x222x8220；x22nx8n20.小静同学解第1个方程x22x80的步骤为“x22x8；x22x181；(x1)29；x13；x13；x14，x22.”(1)小静的解法是从步骤_开始出现错误的；(2)用配方法解第n个方程x22nx8n20(用含n的式子表示方程的根)【解析】：(1)(2)x22nx8n20，x22nx8n2，x22nxn28n2n2，(xn)29n2，xn3n，xn3n，x14n，x22n.例题2：先仔细阅读材料，冉尝试解决问题完全平方公式a22ab+b2(ab)2及(ab)2的值具有非负性的特点在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式2x2+
6、12x4的最小值时，我们可以这样处理：解：原式2(x2+6x2)2(x2+6x+992)2(x+3)2112(x+3)222因为无论x取什么数，都有(x+3)2的值为非负数，所以(x+3)2的最小值为0，当x3时，2(x+3)222的最小值是22，所以当x3时，原多项式的最小值是22解决问题：(1)请根据上面的解题思路探求：多项式x2+4x+5的最小值是多少，并写出此时x的值；(2)请根据上面的解题思路探求：多项式3x26x+12的最大值是多少，并写出此时x的值的值【解析】（1）x2+4x+5x2+4x+4+1(x+2)2+1，当x2时，多项式x2+4x+5的最小值是1；（2）3x26x+12
7、3(x2+2x+1)+3+123(x+1)2+15，当x1时，多项式3x26x+12的最大值是15【归纳总结】关于配方法主要在以下几个方面进行运用，配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用，在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。配方法在化简二次根式中的应用，在二次根式的化简中，也经常使用配方法。配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用，在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。配方法在解某些二元二次方程中的应用，解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。配方法在求最大值、最小
8、值中的应用，在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。可以使我们很跨求出所要求的最值。配方法在一元二次方程根的判别式中的应用，配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，并且也是解决其他问题的方法，其用途相当广泛。在一元二次方程根的判别式中也经常要应用到配方法。配方法在恒等变形中的应用，配方法在等式的恒等变形中也经常用到，特别是含有多个二次式时，经常把他们分别配方，转变为平方式。然后再进行解决。【强化巩固】1. 用配方法解方程，应在方程两边同时（）A加上B减去C加上D减去【答案】C【解答】解：方程两边都加上（）2，故选：C2. 用配方法解方程x2+4x10的根为（）A
9、2B2C2+D2【答案】B【解答】解：x2+4x10，x2+4x+410+4，（x+2）214，x2，故选：B3. (2019，山西，3分）一元二次方程配方后可化为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D4. （2019湖南怀化4分）一元二次方程x2+2x+10的解是（）Ax11，x21Bx1x21Cx1x21Dx11，x22【答案】C【解答】解：x2+2x+10，（x+1）20，则x+10，解得x1x21，故选：C5. 用配方法说明m28m17的值恒大于零【解析】：m28m17m28m161(m4)21.无论m为何值，(m4)20，无论m为何值，(m4)210，m28m17的值
10、恒大于零6. 用配方法解下列方程.(1)x24x10； (2)2t27t40； (3)2x24x80.解：(1)配方得，(x2)25，解得x12，x22.(2)方程两边同时除以2，得：t2t20，配方为(t)2，解得t14，t2.(3)方程两边同时除以2，得x22x40，配方为(x1)25，解得x11，x21.7. “a20”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式例如：x24x5x24x41(x2)21.(x2)20，(x2)211，x24x51.试利用“配方法”解决下列问题：(1)填空：x24x5(x_)2_；(2)已知x24xy22y50，求xy的值；(3)比较代数式
11、x21与2x3的大小【解析】：(1)21(2)由x24xy22y50，得(x2)2(y1)20，则x20，y10，解得x2，y1，故xy211.(3)x21(2x3)x22x2(x1)21.(x1)20，(x1)210，x212x3.8. 小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下：解：（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）（1）小明解答过程是从第几步开始出错的，写出错误原因.（2）请写出此题正确的解答过程.【解析】（1）一，移项没变号（或移项错误或等式性质用错）（2）解：即，.9. 已知三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x216x600的一个根.请用配方法解此方程，并计算出三角
12、形的面积.【解析】：解方程x216x600，x216x60，x216x646064，(x8)24，x82，解得x16，x210. 如图，当第三边长为10时，不妨设AC6，BC8，则AC2BC2AB2，根据勾股定理的逆定理可知，ABC为直角三角形，SABC6824.如图，当第三边长为6时，不妨设ABAC6，BC8，过点A作ADBC于点D，则BDDC4.在RtABD中，AD2，SABC828.10. 我们知道几个非负数的和等于0，只有这几个数同时等于0才成立，如（x2)2+y+3=0,因为（x2)2,y+3都是非负数，则x2=0,即可求x=2，y+3=0,可求y=3，应用知识解决下列各题：(1)若
13、(x+1)2+(y-2)2=0,求x,y的值.(2)若x2+y2+6x4y+13=0,求（x+y)2019的值；(3)若2x2+3y2-8x+6y= -11,求（x+y)2019的值；(4)代数式x24x3它有最大值吗？它有最小值吗？若有请求出它的最大或最小值。【解析】：（1）（x+1）2+（y-2）2=0，x+1=0，y-2=0，解得x=-1，y=2，（2）x2+y2+6x-4y+13=0，（x+3）2+（y-2）2=0，则x+3=0，y-2=0，解得x=-3，y=2，则（x+y）2019=（-3+2）2019=-1；（3）2x2+3y2-8x+6y=-11，2x2+3y2-8x+6y+11=0，2（x-2）2+3（y+1）2=0，则x-2=0，y+1=0，解得x=2，y=-1，则（x+y）2019=（2-1）2019=1；（4）x2-4x-3=（x-2）2-4-3=（x-2）2-7，当x=2时，代数式x2-4x-3有最小值是-77
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