1、2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：1（3分）在空间直角坐标系中，已知点A（2，1，3），B（4，3，0），则A，B两点间的距离是（）A5B6C7D82（3分）命题“x1，x22x+10”的否定是（）Ax01，x022x0+10Bx01，x022x0+10Cx01，x022x0+10Dx01，x022x0+103（3分）若命题p是真命题，q是真命题，则下列命题中，真命题是（）ApqBpqCpqDpq4（3分）双曲线1的渐近线方程是（）Ay4xBy2xCD5（3分）若圆C1：（x1）2+（y1）21与圆C2：（x+2）2+（y+3）2r2外切，则正数
2、r的值是（）A2B3C4D66（3分）“c1”是“直线x+y+c0与圆（x2）2+（y+1）22相切”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（3分）已知双曲线C：（a0，b0）的左右顶点分别为A1（a，0），A2（a，0），点B（0，b），若三角形BA1A2为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）ABC2D38（3分）已知直线l：（2k+1）x+（k+1）y+10（kR）与圆（x1）2+（y2）225交于A，B两点，则弦长|AB|的取值范围是（）A4，10B3，5C8，10D6，109（3分）经过点P（1，1）作直线l交椭圆于M，N两点，且P为MN的中点，则
3、直线的斜率为（）ABCD10（3分）已知圆M：（x2）2+y225（M为圆心，点N（2，0），点A是圆M上的动点，线段AN的垂直平分线交线段AM于P点，则动点P的轨迹是（）A两条直线B椭圆C圆D双曲线11（3分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|8，过左焦点F1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，连接PF2，QF2，若三角形PQF2的周长为20，QPF290，则三角形PF1F2的面积为（）A9B18C25D5012（3分）已知圆C1：（x1）2+（y1）21，圆C2：（x2）2+（y1）24，A，B分别是圆C1，C2上的动点若动点M在直线l1：x+y10上，动点N在直线l2：x+y
4、+10上，记线段MN的中点为P，则|PA|+|PB|的最小值为（）A3BCD二、填空题：13（3分）双曲线的其中一个焦点坐标为，则实数k 14（3分）两圆x2+y220，x2+y2xy0相交于M，N两点，则公共弦MN所在的直线的方程是 （结果用一般式表示）15（3分）已知定点A（2，0），B（2，0），若动点M满足|MA|+|MB|8，则|MA|的取值范围是 16（3分）给出下列说法：方程表示的图形是一个点；命题“若x+y0，则x1或y1”为真命题；已知双曲线x2y24的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2被双曲线截得的弦长为4的直线有3条；已知椭圆C：（ab0）上有两点A（x0，y0），B
5、（x0，y0），若点P（x，y）是椭圆C上任意一点，且xx0，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2为定值；已知命题“x，yR满足x2+y24，”是真命题，则实数m2其中说法正确的序号是 三、解答题：17命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线：命题q：若存在，使得m2tanx00成立（1）如果命题p是真命题，求实数m的取值范围；（2）如果“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围18已知直线l1：y2x+4，直线l2经过点（2，1）（1）若l1l2，求直线l2的方程；（2）若l2与两坐标轴的正半轴分别交于P、Q两点，求OPQ面积的最小值（其中O为坐标原点）19已知圆C经过M
6、（3，0），N（2，1）两点，且圆心在直线l：2x+y40上（1）求圆C的方程；（2）从y轴上一个动点P向圆C作切线，求切线长的最小值及对应切线方程20已知双曲线的实轴长为2（1）若C的一条渐近线方程为y2x，求b的值；（2）设F1、F2是C的两个焦点，P为C上一点，且PF1PF2，PF1F2的面积为9，求C的标准方程21已知直线l1：x+my0（mR），l2：mxy2m+40（mR）（1）求证：无论m取何实数，直线l1与l2一定相交；（2）求l1与l2的交点P的轨迹方程C22已知椭圆C长轴的两个端点分别为A（2，0），B（2，0），离心率（1）求椭圆C的标准方程；（2）作一条垂直于x轴的直线
7、，使之与椭圆C在第一象限相交于点M，在第四象限相交于点N，若直线AM与直线BN相交于点P，且直线OP的斜率大于，求直线AM的斜率k的取值范围2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1（3分）在空间直角坐标系中，已知点A（2，1，3），B（4，3，0），则A，B两点间的距离是（）A5B6C7D8【分析】由两点间的距离公式计算即可【解答】解：由两点间的距离公式，计算得故选：C【点评】本题考查了空间两点间的距离计算问题，是基础题2（3分）命题“x1，x22x+10”的否定是（）Ax01，x022x0+10Bx01，x022x0+10Cx01
8、，x022x0+10Dx01，x022x0+10【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题为全称命题，则命题“x1，x22x+10”的否定是“x01，”故选：A【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础3（3分）若命题p是真命题，q是真命题，则下列命题中，真命题是（）ApqBpqCpqDpq【分析】根据已知中命题p为真命题，q为假命题，结合复合命题真假判断的真值表，可得答案【解答】解：由q是真命题，则q是假命题，由真值表可知pq为真故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，难度不大，属于基础题4（3分）双曲线1的渐近线方程是（）Ay4xBy2x
9、CD【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得该双曲线的焦点位置以及a、b的值，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的方程为线1，则其焦点在x轴上，且a5，b10，其渐近线方程为y2x；故选：B【点评】本题考查双曲线的标准方程以及几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的计算，属于基础题5（3分）若圆C1：（x1）2+（y1）21与圆C2：（x+2）2+（y+3）2r2外切，则正数r的值是（）A2B3C4D6【分析】两圆外切，则圆心距|C1C2|1+r，求出圆心坐标，代入两点间距离公式，即可得到r值【解答】解：圆C1：（x1）2+（y1）21，圆C2：（x+2）2+（y+3）2r2，C1坐标
10、为（1，1），半径为1，C2坐标为（2，3），半径为r，故选：C【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了两点间的距离公式，圆的标准方程和圆心半径的关系，考查分析解决问题的能力和计算能力，本题属于基础题6（3分）“c1”是“直线x+y+c0与圆（x2）2+（y+1）22相切”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由直线x+y+c0与圆（x2）2+（y+1）22相切可得，从而可得c的值，即可作出判断【解答】解：由直线x+y+c0与圆（x2）2+（y+1）22相切，则 或c3，所以为充分不必要条件故选：B【点评】本题以充分与必要条件的判断为载体，主要考查了直
11、线与圆相切的性质的应用7（3分）已知双曲线C：（a0，b0）的左右顶点分别为A1（a，0），A2（a，0），点B（0，b），若三角形BA1A2为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）ABC2D3【分析】利用已知条件列出关系式，求解e的大小即可【解答】解：由已知可得aba2b2，故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查8（3分）已知直线l：（2k+1）x+（k+1）y+10（kR）与圆（x1）2+（y2）225交于A，B两点，则弦长|AB|的取值范围是（）A4，10B3，5C8，10D6，10【分析】通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点，说明直线l被圆C截得的弦长
12、最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，由勾股定理即可得到最短弦长【解答】解：由直线l：（2k+1）x+（k+1）y+10（kR）得：（x+y+1）+k（2x+y）0，故l恒过定点D（1，2）因为（11）2+（22）2825，则点D在圆C的内部，直线l与圆C相交圆心C（1，2），半径为5，|CD|4，当截得的弦长最小时，lCD，最短的弦长是226再由l经过圆心时弦长最长为2r10，则|AB|6，10故选：D【点评】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题9（3分）经过点P（1，1）作直线l交椭圆于M，N两点，且P为MN的中点，则直线的斜率为
13、（）ABCD【分析】设出M、N的坐标，利用平方差法以及线段的中点坐标，转化求解直线的斜率即可【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由可得，经过点P（1，1）作直线l交椭圆于M，N两点，且P为MN的中点，xp2，yp2，则故选：A【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，平方差法的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题10（3分）已知圆M：（x2）2+y225（M为圆心，点N（2，0），点A是圆M上的动点，线段AN的垂直平分线交线段AM于P点，则动点P的轨迹是（）A两条直线B椭圆C圆D双曲线【分析】画出图形，利用已知条件，转化判断P的轨迹即可【解答】解：由已知可得|AM|
14、AP|+|PM|r5，由|AP|PN|，|PM|+|PN|5|MN|4，则P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆故选：B【点评】本题考查轨迹的判断，椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查11（3分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|8，过左焦点F1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，连接PF2，QF2，若三角形PQF2的周长为20，QPF290，则三角形PF1F2的面积为（）A9B18C25D50【分析】利用已知条件求出a，c，求出b，然后利用三角形的面积公式求解即可【解答】解：由已知可得2c8，4a20c4，故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查12（3分）已知圆
15、C1：（x1）2+（y1）21，圆C2：（x2）2+（y1）24，A，B分别是圆C1，C2上的动点若动点M在直线l1：x+y10上，动点N在直线l2：x+y+10上，记线段MN的中点为P，则|PA|+|PB|的最小值为（）A3BCD【分析】判断动点的轨迹，利用椭圆的简单性质推出结果即可【解答】解：由已知可得点P在直线x+y0上，由|PA|+|PB|PC1|r1+|PC2|r2|PC1|+|PC2|3，点C1（1，1）关于直线x+y0对称的点C（1，1），则，所以|PA|+|PB|的最小值为故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查二、填空题：13（3分）双曲线的其中一个焦点
16、坐标为，则实数k2【分析】根据题意，由双曲线的焦点坐标分析双曲线的焦点位置以及c的值，进而可得k+46，解可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的其中一个焦点坐标为，则该双曲线的焦点在x轴上，且c，则有k+46，解可得k2；故答案为：2【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程的应用，属于基础题14（3分）两圆x2+y220，x2+y2xy0相交于M，N两点，则公共弦MN所在的直线的方程是x+y20（结果用一般式表示）【分析】因为两圆相交，故公共弦方程直接用两圆的方程相减即可【解答】解：两圆x2+y220，x2+y2xy0相交于M，N两点，公共弦所在直线方程为x2+y22（x2+y2
17、xy），即x+y20，故答案为：x+y20【点评】本题考查了圆的公共弦的方程的求法，考查分析解决问题的能力和计算能力，本题属于基础题15（3分）已知定点A（2，0），B（2，0），若动点M满足|MA|+|MB|8，则|MA|的取值范围是2，6【分析】判断动点M的轨迹为椭圆，利用椭圆的性质求解|MA|的范围即可【解答】解：动点M满足|MA|+|MB|8|AB|4，则M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，所以a4，c2|MA|ac，a+c|MA|2，6故答案为：2，6【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查16（3分）给出下列说法：方程表示的图形是一个点；命题“若x+y0，则x1或y1”为
18、真命题；已知双曲线x2y24的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2被双曲线截得的弦长为4的直线有3条；已知椭圆C：（ab0）上有两点A（x0，y0），B（x0，y0），若点P（x，y）是椭圆C上任意一点，且xx0，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2为定值；已知命题“x，yR满足x2+y24，”是真命题，则实数m2其中说法正确的序号是【分析】利用曲线与方程判断的正误；逆否命题的真假判断的正误；双曲线的性质判断的正误；直线与椭圆的位置关系判断的正误；命题的真假判断的正误【解答】解：由表示点（1，1），正确；逆否命题为“若x1且y1，则x+y0”为真，则原命题为真，正确；根据异支焦点
19、弦实轴最短，同支焦点弦通径最短，满足条件的直线只有2条，不正确；由已知可得，由相减可得则，正确；令，数形结合如图：y2kx3k，圆心到直线的距离为：，解得可知，由已知可得存在成立，则，不正确故答案为：【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及椭圆以及双曲线的性质，四中命题的真假关系，曲线与方程的关系，是基本知识的考查三、解答题：17命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线：命题q：若存在，使得m2tanx00成立（1）如果命题p是真命题，求实数m的取值范围；（2）如果“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围【分析】（1）利用双曲线的性质，列出不等式即可求解m的范围（2）命题q是真命
20、题，求出m的范围，然后利用复合命题的真假，求解m的范围即可【解答】解：（1）命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线，若命题p为真命题，则3m10，m30，即m的取值范围是（2）若命题q为真命题，则m2tanx0在有解，得2m2，又“pq”为假命题，“pq”为真命题，则p、q两个命题一真一假，若p真q假，则，解得2m3，若p假q真，则，解得，综上，实数m的取值范围为【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，是基本知识的考查18已知直线l1：y2x+4，直线l2经过点（2，1）（1）若l1l2，求直线l2的方程；（2）若l2与两坐标轴的正半轴分别交于P、Q两点，求OPQ面积的最小
21、值（其中O为坐标原点）【分析】（1）设直线l2的方程为，根据直线经过（2，1）点，可得b的值，从而求出l2的方程（2）解法一：设l2：y1k（x2），k0，求出它和坐标轴的交点坐标，求出三角形OPQ的面积表达式，再利用基本不等式求出它的最小值解法二：设则l2：，a0，b0，因为直线l2经过点（2，1），故，求出三角形OPQ的面积表达式，再利用基本不等式求出它的最小值【解答】解：（1）由题意，可设直线l2的方程为，由直线经过（2，1）点，可得b2，即直线方程为（或写成：x+2y40）（2）解法一：由题意可知，直线l2的斜率存在且小于0，设为k（k0），即l2：y1k（x2）令x0，可得l2与y轴
22、的交点为Q（0，2k+1）令y0，可得l2与x轴的交点为，其中k0故三角形OPQ的面积4（当且仅当时等号成立）即三角形OPQ的面积最小值为4解法二：由题意可知，直线l2在两个坐标轴上的截距都存在且大于0，设P（a，0），Q（0，b），其中a0，b0，则l2：因为直线l2经过点（2，1），故，由基本不等式：（当且仅当a4，b2时等号成立）可得ab8，所以，即三角形OPQ面积最小值为4【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，用待定系数法求直线的方程，基本不等式的应用，属于中档题19已知圆C经过M（3，0），N（2，1）两点，且圆心在直线l：2x+y40上（1）求圆C的方程；（2）从y轴上一个动点P
23、向圆C作切线，求切线长的最小值及对应切线方程【分析】（1）解法一：设出圆的一般方程，由题意列出方程组求出解即可写出圆的方程解法二：由题意求出圆心和半径，即可写出圆的方程（2）解法一：设切线长为d，要使得切线长最短，必须且只需|PC|最小即可，由此求得|PC|的最小值，计算出切线长的最小值，讨论切线的斜率存在与否，从而求得切线方程和对应切线长解法二：同解法一得切线长最小值时对应点为原点，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径求出斜率，写出切线方程，计算对应切线长【解答】解：（1）解法一：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0，由题意得：9+3D+F0，5+2D+E+F0，又圆心在直线2x+
24、y40上，所以；由解得：D4，E0，F3；所以圆的方程为：x2+y24x+30（或写成：（x2）2+y21）解法二：由题意，圆心在MN的中垂线yx2上，又在已知直线l：2x+y40上，解得圆心坐标为C（2，0），于是半径r|MC|1，故所求圆的方程为：（x2）2+y21（2）解法一：对于动点P，设切线长为d，则|PC|2d2+r2d2+1；所以，要使得切线长最短，必须且只需|PC|最小即可，且最小值为圆心（2，0）到y轴的距离，等于2，所以切线长的最小值为；当切线长取最小值时，对应P点为原点，过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C相切；当斜率存在时，设直线方程为ykx；代入C：x2+y24x
25、+30，得x2+（kx）24x+30，即（1+k2）x24x+30；令（4）243（1+k2）0，解得；所以切线方程为，对应切线长为解法二：同解法一得切线长最小值为且对应P点为原点，过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C相切；当斜率存在时，设直线方程为ykx，因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即，解得；所以切线方程为，对应切线长为【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了运算与求解能力，是基础题20已知双曲线的实轴长为2（1）若C的一条渐近线方程为y2x，求b的值；（2）设F1、F2是C的两个焦点，P为C上一点，且PF1PF2，PF1F2的面积为9，求C的标准方程【分析】
26、（1）利用双曲线的简单性质求出a，然后求解b即可（2）利用双曲线的定义，结合三角形的面积，转化求解双曲线方程即可【解答】解：（1）因为双曲线的实轴长为2，即2a2，则a1，又双曲线一条渐近线方程为y2x，即，所以b2（2）双曲线定义可得：|PF1|PF2|2a2，又PF1PF2，PF1F2的面积为9，所以：|PF1|PF2|18，且，所以，故c210，所以b21019，因此，b3；故双曲线C的标准方程为：【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题21已知直线l1：x+my0（mR），l2：mxy2m+40（mR）（1）求证：无论m取何实数，直线l1与
27、l2一定相交；（2）求l1与l2的交点P的轨迹方程C【分析】（1）解法一：联立方程组：，求出动点坐标，即可解法二：当m0时，求出直线有交点（0，4），当m0时，直线l1斜率为，直线l2的斜率k2m，令k1k2，对应m无解，判断求解说明即可（2）解法一：由可知当y0时，得：，代入整理得：x2+y22x4y0（y0）转化求解，P点轨迹方程解法二：由（1）解法二可知，m0时两直线垂直，m0时，k1k21，即两条直线始终垂直，又l1过定点（0，0），l2过定点（2，4），推出交点P的轨迹方程为：（x1）2+（y2）25动点结论【解答】解：（1）解法一：联立方程组：解得：即点P的坐标为，无论m取何实数，
28、点P均存在，即l1与l2一定相交解法二：当m0时，l1：x0，l2：y4，两直线有交点（0，4），当m0时，直线l1斜率为，直线l2的斜率k2m，令k1k2，对应m无解，故两直线斜率不可能相等，即两直线必定相交（2）解法一：由可知当y0时，得：代入整理得：x2+y22x4y0（y0），当y0时，由得x0，即交点坐标为（0，0），故P点轨迹方程为：x2+y22x4y0（或（x1）2+（y2）25）（除去（2，0）点），（注：结论未除去（2，0）点，扣1分）解法二：由（1）解法二可知，m0时两直线垂直，m0时，k1k21，即两条直线始终垂直，又l1过定点（0，0），l2过定点（2，4），则l1与l
29、2的交点在以（0，0）和（2，4）为直径端点的圆周上可得交点P的轨迹方程为：（x1）2+（y2）25，注意到l1表示的过（0，0）点的直线中，不能表示y0，同理，l2表示的过（2，4）点的直线中，不能表示x2，故交点P的轨迹中，应去掉点（2，0）【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线系方程的应用，考查发现问题解决问题的能力，是中档题22已知椭圆C长轴的两个端点分别为A（2，0），B（2，0），离心率（1）求椭圆C的标准方程；（2）作一条垂直于x轴的直线，使之与椭圆C在第一象限相交于点M，在第四象限相交于点N，若直线AM与直线BN相交于点P，且直线OP的斜率大于，求直线AM的斜率k的取值范围【分析】（1）利用已知条件求出a，c，得到b，然后求解椭圆的标准方程（2）设M（x0，y0），其中0x02，0y01，则N（x0，y0），推出直线AM，直线BN的方程，利用直线与椭圆方程联立，求出P的坐标，得到OP的斜率，转化求解即可【解答】解：（1）由已知椭圆C长轴的两个端点分别为A（2，0），B（2，0），得a2，再由，得，又a2b2+c2，所以b1，所以椭圆C的标准方程为（2）设M（x0，y0），其中0x02，0y01，则N（x0，y0），则直线AM为：直线BN为：，由得：，令，则，即【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题
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