1、2019-2020学年四川省成都市列五中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）F1、F2是顶点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，则点M的轨迹是（）A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线2（5分）已知命题x02，则p是（）A不存在x02Bx02CD3（5分）抛物线y8x2的焦点坐标是（）A（2，0）B（2，0）C（0，）D（0，）4（5分）与椭圆x2+4y216有共同焦点，且渐近线方程是的双曲线方程是（）ABCD5（5分）点M在圆（x5）2+（y3）29上，则M点到直线3x+4y2
2、0的最短距离为（）A9B8C5D26（5分）已知命题p：方程1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程1表示双曲线，则p是q的（）条件A充分不必要B必要不充分C充分必要D既不充分也不必要7（5分）在椭圆+1内，通过点M（1，1），且被这点平分的弦所在的直线方程为（）Ax+4y50Bx4y50C4x+y50D4xy508（5分）斜率为2的直线l过双曲线C：1（a0，b0）的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A2，+）B（1，）CD（，+）9（5分）椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AFBF，则AFB的面积是（）A2B4C1D10（5分）平面内到
3、点A（1，2），B（3，1）的距离分别为3和1的直线的条数是（）A1B2C3D411（5分）已知椭圆E：，圆O：x2+y2a2与y轴正半轴交于点B，过点B的直线与椭圆E相切，且与圆O交于另一点A，若AOB60，则椭圆E的离心率为（）ABCD12（5分）已知椭圆C：+1，三角形ABC的三个顶点都在椭圆C上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1、k2、k3（均不为0）O为坐标原点，若直线OD、OE、OM的斜率之和为1，则（）ABCD3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）请将答案填在答题卡相应位置上13（5分）双曲线1的焦点到渐近线的距离
4、为 14（5分）过点A（4，1）的圆C与直线xy10相切于点B（2，1），则圆C的方程为 15（5分）已知F是抛物线y2x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为 16（5分）AB是圆C：x2+（y1）21的直径，P是椭圆E：上的一点，则的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题各12分，总70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知mR，p：xR，x2mx+10，g：指数函数ymx（m0，且m1）在R上单调递增（）若pq是真命题，求m的取值范围；（）在（）的条件下，求椭圆1的离心率e的取值范围18（12
5、分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，渐近线方程为，且双曲线过点（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点作倾斜角为30的直线l，交双曲线于A，B两点，求线段|AB|的长度19（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知以A为圆心的圆A的方程为x2+y28x8y+280（1）设圆B与x轴相切，与圆A外切，且圆心在直线x4上，求圆B的方程；（2）设与OA垂直的直线l与圆A相交于M，N两点，且|MN|OA|，求直线l的方程20（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点M在椭圆C上，且MF2F1F2，F1MF2的面积为（）求椭圆C的方程；（）已知直线l与椭圆C交于A、B
6、两点，0，若直线l始终与圆x2+y2r2（r0）相切，求半径的r的值21（12分）已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1（）求动点P的轨迹C的方程；（）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值22（12分）记平面内与两定点A1（2，0），A2（2，0）连线的斜率之积等于常数m（其中m0）的动点B的轨迹，加上A1，A2两点所构成的曲线为C（I）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的值的关系；（）当m时，过点F（1，0）且斜率为k（k#0）的直线l1交曲线C于MN两点，若弦MN的中点为P，过点P
7、作直线l2交x轴于点Q，且满足试求的取值范围2019-2020学年四川省成都市列五中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）F1、F2是顶点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，则点M的轨迹是（）A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线【分析】首先确定点M在直线上，再利用长度关系，确定点M在线段F1F2上【解答】解：若点M与F1，F2可以构成一个三角形，则|MF1|+|MF2|F1F2|，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，点M在F1F2的延长线上，是一条射
8、线故选：D【点评】本题考查轨迹的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题2（5分）已知命题x02，则p是（）A不存在x02Bx02CD【分析】命题的否定是只否定结论，存在改为全称即可【解答】解：由题意：p：xR，2xx2，故选：C【点评】考查命题的否定，属于简单题3（5分）抛物线y8x2的焦点坐标是（）A（2，0）B（2，0）C（0，）D（0，）【分析】把抛物线y8x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标【解答】解：抛物线y8x2的标准方程为 x2y，p，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选：C【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；
9、把抛物线y8x2的方程化为标准形式，是解题的关键4（5分）与椭圆x2+4y216有共同焦点，且渐近线方程是的双曲线方程是（）ABCD【分析】求得椭圆方程的标准形式可得焦点坐标，可设双曲线的方程为1（a0，b0），由焦点坐标和渐近线方程，可得a，b的方程组，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的方程【解答】解：椭圆x2+4y216即+1的焦点为（2，0），可设双曲线的方程为1（a0，b0），可得a2+b212，渐近线方程是，可得，解得a3，b，则双曲线的方程为1故选：A【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题5（5分）点M在圆（x5）2+（y3）29上，则M点
10、到直线3x+4y20的最短距离为（）A9B8C5D2【分析】先求出圆心到直线的距离，再由圆与直线的位置关系得圆上的点M到直线的最小距离等于圆心到直线的距离减去圆的半径【解答】解：由题意得圆的圆心为（5，3）则圆心到直线3x+4y20的距离为d所以M点到直线3x+4y20的最短距离为532，故选：D【点评】解决此类题目的关键是熟悉直线与圆的位置关系，熟记点到直线的距离公式，然后准确的计算出最小距离6（5分）已知命题p：方程1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程1表示双曲线，则p是q的（）条件A充分不必要B必要不充分C充分必要D既不充分也不必要【分析】求出命题p，q成立时m的范围，根据p，q对应的
11、集合关系判断p，q关系即可【解答】解：若p成立，则，解得，设Am|，若q成立，则m（1m）0即0m1，设Bm|0m1，AB，故pq，即p是q的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及椭圆和双曲线的定义，考查分析和解决问题的能力，是一道基础题7（5分）在椭圆+1内，通过点M（1，1），且被这点平分的弦所在的直线方程为（）Ax+4y50Bx4y50C4x+y50D4xy50【分析】设出以点M（1，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法可求得以M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率再由点斜式可求得直线方程【解答】解：设以点M（1，
12、1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x22，y1+y22又，得：0又据对称性知x1x2，以点M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率k，中点弦所在直线方程为y1（x1），即x+4y50故选：A【点评】本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求的方法在求解直线方程中的应用8（5分）斜率为2的直线l过双曲线C：1（a0，b0）的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A2，+）B（1，）CD（，+）【分析】根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出a，b的关系，然后求出离心率的范围【解答】解：依题意，斜率为2的直线l过
13、双曲线C：1的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即b2a，因此该双曲线的离心率e故选：D【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线的斜率的应用，考查转化思想，是基础题9（5分）椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AFBF，则AFB的面积是（）A2B4C1D【分析】椭圆中a4，b2，c2，椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，AFBF，可得AO2，求出A的纵坐标，即可求出三角形AF2B的面积【解答】解：椭圆中a4，b2，c2，椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AFBF，AOBOOF2，设A
14、（x，y），则x2+y212，椭圆，联立消去x，化简可得|y|，三角形AF2B的面积是224，故选：B【点评】本题考查三角形AFB的面积，考查椭圆的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题10（5分）平面内到点A（1，2），B（3，1）的距离分别为3和1的直线的条数是（）A1B2C3D4【分析】由平面内到点A（1，2）的距离为3的直线的是以A为圆心，以3为半径的圆的切线，到B（3，1）的距离为1的点的直线的是以B为圆心，以1为半径的圆的切线，故满足题设的直线是两圆的公切线，结合两圆的位置关系即可判断【解答】解：平面内到点A（1，2）的距离为3的直线的是以A为圆心，以3为半径的圆的切线，同理
15、，到B（3，1）的距离为1的点的直线的是以B为圆心，以1为半径的圆的切线，故满足题设的直线是两圆的公切线，而两圆的圆心距AB5，半径之和3+14，因为54，故两圆外离，公切线有4条故选：D【点评】本题主要考查了两圆位置关系的简单应用，属于基础试题11（5分）已知椭圆E：，圆O：x2+y2a2与y轴正半轴交于点B，过点B的直线与椭圆E相切，且与圆O交于另一点A，若AOB60，则椭圆E的离心率为（）ABCD【分析】由等边三角形可得|AB|a，设直线AB的方程为ykx+a（k0），求得圆心到直线的距离，由圆的弦长公式可得k，联立椭圆方程，运用相切的条件：判别式为0，化简整理，由离心率公式计算即可得到
16、所求值【解答】解：由AOB60，可得ABO为等边三角形，即|AB|a，设直线AB的方程为ykx+a（k0），圆心到直线的距离为d，弦长|AB|a2，解得k，可得直线yx+a，代入椭圆方程b2x2+a2y2a2b2，可得（b2+a2）x2+a3x+a4a2b20，由直线和椭圆相切，可得：a64（b2+a2）（a4a2b2）0，化简可得b2a2，由b2a2c2，可得c2a2，即有e故选：D【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线和圆相交的弦长公式，联立直线和椭圆方程，由相切的条件：判别式为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题12（5分）已知椭圆C：+1，三角形ABC的三个顶点都在椭圆C上
17、，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1、k2、k3（均不为0）O为坐标原点，若直线OD、OE、OM的斜率之和为1，则（）ABCD3【分析】设出ABC的坐标，通过平方差法转化求解斜率，然后推出结果即可【解答】解：由题意知：+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则：，：+1，两式作差得，则，kOD，同理可得kOM，kOE；所以（kOD+kOM+kOE），故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）请将答案填在答题卡相应位置上13（5分）双曲
18、线1的焦点到渐近线的距离为4【分析】根据题意，先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论【解答】解：根据题意，双曲线的方程为1，其中a3，b4；其焦点坐标为（5，0），（5，0），渐近线方程为yx，即4x3y0，则焦点到其渐近线的距离d4；故答案为：4【点评】本题考查双曲线的简单集合性质，关键是正确求出该双曲线的焦点以及渐进线方程14（5分）过点A（4，1）的圆C与直线xy10相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x3）2+y22【分析】求出直线xy10的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为1求出过点B的直径所在直线方程的斜率，求出此直线方程，根据直线方程设出圆心
19、C坐标，根据|AC|BC|，利用两点间的距离公式列出方程，求出方程的解确定出C坐标，进而确定出半径，写出圆的方程即可【解答】解：直线xy10的斜率为1，过点B直径所在直线方程斜率为1，B（2，1），此直线方程为y1（x2），即x+y30，设圆心C坐标为（a，3a），|AC|BC|，即，解得：a3，圆心C坐标为（3，0），半径为，则圆C方程为（x3）2+y22故答案为：（x3）2+y22【点评】此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两点间的距离公式，两直线垂直时斜率满足的关系，求出圆心坐标与半径是解本题的关键15（5分）已知F是抛物线y2x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|3，
20、则线段AB的中点到y轴的距离为【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，即可得到线段AB的中点到y轴的距离【解答】解：由于F是抛物线y2x的焦点，得F（，0），准线方程x，设A（x1，y1），B（x2，y2），|AF|+|BF|x1+x2+3，解得x1+x2，线段AB的中点横坐标为线段AB的中点到y轴的距离为故答案为：【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题16（5分）AB是圆C：x2+（y1）21的直径，P是椭圆E：上的一点，则的取值范围是1，【分析】由，得（）（x2+（
21、y1）21x2+y22y3y22y+4 再结合y的范围即可求出结论【解答】解：设P（x，y），（）（x2+（y1）21x2+y22y3y22y+4y1，1，3y22y+4，的取值范围是：1，故答案为：1，【点评】本题主要考查椭圆的基本性质，向量数量积的基本运算技巧，选好基底是解决向量问题的基本技巧之一，及二次函数的值域问题，属于中档题，三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题各12分，总70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知mR，p：xR，x2mx+10，g：指数函数ymx（m0，且m1）在R上单调递增（）若pq是真命题，求m的取值范围；（）在（）的条件下
22、，求椭圆1的离心率e的取值范围【分析】（）由pq是真命题，可知p，q都是真命题，当p为真命题时，解得m的范围，当q为真命题时，求出m的范围，取交集即可求出m的取值范围；（）由（）知，1m2，结合椭圆的性质，可得，再由函数在（1，2上单调递增，即可求出椭圆离心率e的取值范围【解答】解：（）pq是真命题，p，q都是真命题当p为真命题时，x2mx+10，则m240，解得2m2当q为真命题时，m1m的取值范围是m|1m2；（）由（）知，1m2，1m2，而函数在（1，2上单调递增，该椭圆离心率e的取值范围是（，【点评】本题考查了复合命题的真假判断，考查了不等式的解法以及函数的单调性，是中档题18（12分
23、）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，渐近线方程为，且双曲线过点（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点作倾斜角为30的直线l，交双曲线于A，B两点，求线段|AB|的长度【分析】（1）由题意可设双曲线的方程为2x2y2（0），代入点，解方程可得所求双曲线的方程；（2）设过双曲线右焦点（3，0）作倾斜角为30的直线l的方程设为y（x3），联立双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，可得所求距离【解答】解：（1）由渐近线方程，可设双曲线的方程为2x2y2（0），双曲线过点，可得2912，即6，则双曲线的方程为2x2y26，即1；（2）过双曲线右焦点（3，0）作倾斜角为30的直线l的方
24、程设为y（x3），由可得5x2+6x270，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x2，可得|AB|【点评】本题考查双曲线的渐近线方程与双曲线的关系，考查直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题19（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知以A为圆心的圆A的方程为x2+y28x8y+280（1）设圆B与x轴相切，与圆A外切，且圆心在直线x4上，求圆B的方程；（2）设与OA垂直的直线l与圆A相交于M，N两点，且|MN|OA|，求直线l的方程【分析】（1）化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由已知求得圆B的圆心坐标与半径，则圆B的
25、方程可求；（2）求出|OA|，得到|MN|，由题意设出直线l的方程yx+m，利用圆心到直线的距离列式求得m，则直线方程可求【解答】解：（1）由x2+y28x8y+280，得（x4）2+（y4）24，则A（4，4），圆B的圆心在直线x4上，且与x轴相切，与圆A外切，圆B的圆心坐标为（4，1），半径为1，则圆B的方程为（x4）2+（y1）21；（2）|OA|，则|MN|OA|，又kOA1，设所求直线l的方程为yx+m，即x+ym0|MN|，圆A的半径为2，则圆心A到直线x+ym0的距离为由，解得m6或m10直线l的方程为x+y60或x+y100【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的
26、应用，考查计算能力，是中档题20（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点M在椭圆C上，且MF2F1F2，F1MF2的面积为（）求椭圆C的方程；（）已知直线l与椭圆C交于A、B两点，0，若直线l始终与圆x2+y2r2（r0）相切，求半径的r的值【分析】（）由椭圆离心率为，点M在椭圆C上，且MF2F1F2，F1MF2的面积为，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（）设直线l的方程为ykx+m，代入椭圆方程式，得（4k2+1）x2+8kmx+4m240，由此利用韦达定理、根的判别式、点到直线的距离公式能求出半径的r的值【解答】解：（）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心
27、率为，点M在椭圆C上，且MF2F1F2，F1MF2的面积为，解得a2，b1，c，椭圆C的方程为（）设直线l的方程为ykx+m，联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m240，直线l与椭圆C交于A、B两点，0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，64k2m24（4k2+1）（4m24）0，y1y2（kx1+m）（kx2+m）k2x1x2+k（x1+x2）+b2，（k2+1）+m20，5m24k2+4，直线l始终与圆x2+y2r2（r0）相切，圆心（0，0）到直线ykx+m的距离：dr，半径的r的值为【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查圆的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性
28、质、韦达定理、根的判别式、点到直线的距离公式的合理运用21（12分）已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1（）求动点P的轨迹C的方程；（）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值【分析】（）设动点P的坐标为（x，y），根据两点间距离公式和点到直线的距离公式，列方程，并化解即可求得动点P的轨迹C的方程；（）设出直线l1的方程，理想直线和抛物线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线l2的方程与抛物线的交点坐标，代入利用基本不等式求最值，即
29、可求得其的最小值【解答】解：（）设动点P的坐标为（x，y），由题意得，化简得y22x+2|x|当x0时，y24x；当x0时，y0，所以动点P的轨迹C的方程为y24x（x0）和y0（x0）（）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零，设为k，则l1的方程为yk（x1）由，得k2x2（2k2+4）x+k20设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x22+，x1x21l1l2，直线l2的斜率为设D（x3，y3），E（x4，y4），则同理可得x3+x42+4k2，x3x41故（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+x3+x4+11+2+
30、1+1+2+4k2+18+4（k2+）8+4216，当且仅当k2，即k1时，的最小值为16【点评】此题是个难题考查代入法求抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力22（12分）记平面内与两定点A1（2，0），A2（2，0）连线的斜率之积等于常数m（其中m0）的动点B的轨迹，加上A1，A2两点所构成的曲线为C（I）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的值的关系；（）当m时，过点F（1，0）且斜率为k（k#0）的直线l1交曲线C于MN两点，若弦MN的中点为P，过点P作直线l2交x轴于点Q，且满足试求的取值范围【分析】（）设动点M（x，y
31、），由条件可得mx2y24m（x2），对m分m1，m1，1m0三种情况讨论即可；（）设出直线l1的方程为yk（x1），代入椭圆方程，利用韦达定理，确定|MN|、|PQ|，即可求得结论【解答】解：（I）设动点B（x，y）当x2时，由条件可得m即mx2y24m（x2）又A1（2，0）、A2（2，0）的坐标满足mx2y24m当m1时，曲线C的方程为+1，曲线C是焦点在y轴上的椭圆；当m1时，曲线C的方程为x2+y24，曲线C是圆心在原点上的圆；当1m0时，曲线C的方程为+1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆；（）由（I）知，曲线C的方程为+1依题意，直线l1的方程为yk（x1）代入椭圆方程可得：（3+4k2）x28k2x+4k2120设M（x1，y1），N（x2，y2），则由韦达定理得：x1+x2，x1x2弦MN的中点为P（，）|MN|直线l2的方程为由y0，可得x，则Q（，0），|PQ|k2+11，01的取值范围为（0，）【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查圆锥曲线的轨迹问题，突出化归思想、分类讨论思想、方程思想的考查，综合性强
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