2018-2019学年四川省达州市高二（上）期末数学试卷（文科）含详细解答

1、2018-2019学年四川省达州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共60分，每小题四个选项中只有一个是符合题意的，请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置.1（5分）抛物线y28x的焦点坐标为（）A（2，0）B（2，0）C（0，2）D（1，0）2（5分）圆C：x2+y2+mx+2y+10的圆心在直线2x+y10上，则实数m的值为（）A2B2C1D13（5分）以F1、F2为双曲线的左右焦点，点P在双曲线右支上，且|PF2|6，则|PF1|的值为（）A4B6C10D144（5分）直线ykx+1与椭圆的位置关系为（）A相离B相切C相交D以上都有可能5（5分）已知双曲线C：1（

2、a0，b0）的一条渐近线与直线l：xy+20平行，则双曲线C的离心率为（）ABCD6（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为（）A6BCD47（5分）已知圆锥SO的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥SO的体积为（）A2BCD8（5分）执行如图的程序框图，若输入的x的值为，则输出的y的值为（）ABCD9（5分）已知抛物线y28x，过焦点F的直线l与抛物线交于不同的A、B两点，4为A、B横坐标等差中项，则|AB|的值为（）A4B8C10D1210（5分）若m、n、l为互不重合的直线，、为不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A若m，n，mn，则B若，l，ml，则mC若m，n，

3、mn，则Dm、n，lm，ln，则l11（5分）点F1、F2为椭圆的左右焦点，点P为椭圆上异于左右顶点的一点，则PF1F2的面积的最大值为（）ABCD12（5分）已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，点E为棱AD上任意一点，F为棱CC1中点，若棱C1D1上存在唯一点P，使得PEPF，则长方体ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1的值为（）ABC1D2二、填空題：每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上相应位置13（5分）某个球的最大截面圆面积为，则该球的体积为 14（5分）圆心为（1，0），且与y轴相切的圆的标准方程为 15（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，

4、点E、F分别为AB、B1C1中点，则异面直线A1E与BF所成角余弦值为 16（5分）点A1、A2为双曲线的左右顶点，点F为其右焦点，点P到A1、A2的距离之比为的轨迹为M，渐近线与轨迹M有唯一公共点Q，且，则点P到原点O距离的最大值为 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟.17（10分）已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，且双曲线C的离心率为2（1）求双曲线C的标准方程；（2）求双曲线C的右焦点F到渐近线的距离18（12分）已知圆C1：x2+y25与圆C2：x2+y24x+30相交于A、B两点（1）求过圆C1的圆心与圆C2相切的直线方程；（2）求圆C1与圆C2的公共弦长|A

5、B|19（12分）如图，已知AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为的中点，点P为圆柱上底面圆O1上一点，PA平面ABC，PAAB，过A作AEPC，交PC于点E（1）求证：AEPB；（2）若点C到平面PAB的距离为1，求圆柱OO1的表面积20（12分）平面内动圆P与直线x1相切且经过点F（1，0），圆心P（x，y）的轨迹为曲线T，O为坐标原点（1）求曲线T的方程；（2）过点Q（4，0）的直线l与曲线T交于不同的两点A、B，证明：OAOB21（12分）已知等边ABC中，D、E分别为边AB和AC上的中点，沿DE将ABC折起至PDE的位置，使得平面PDE平面DECB，M为PC的中点（1）求证：ME平面P

6、BD；（2）求直线PB与平面BCDE所成角的余弦值22（12分）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，抛物线y24x的准线经过椭圆C的左焦点F1，且椭圆C与抛物线的交点到椭圆C的两个焦点的距离之和为4（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过右焦点F2的两直线l1、l2互相垂直，且直线l1交椭圆C于A、B两点，直线l2交y轴于点P，证明：为定值，并求出该定值2018-2019学年四川省达州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分，每小题四个选项中只有一个是符合题意的，请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置.1（5分）抛物线y28x的焦点坐标为（）A（

7、2，0）B（2，0）C（0，2）D（1，0）【分析】根据抛物线的标准方程，进而可求得p，根据抛物线的性质进而可得焦点坐标【解答】解：抛物线y28x，所以p4，焦点（2，0），故选：B【点评】本题主要考查抛物线的简单性质属基础题2（5分）圆C：x2+y2+mx+2y+10的圆心在直线2x+y10上，则实数m的值为（）A2B2C1D1【分析】求出圆心坐标，根据直线2x+y10过圆心C，将圆心C坐标代入直线方程即可求出m的值【解答】解：由圆的方程得：圆心C坐标为（，1），代入直线2x+y10中，得：2（）+（1）10，解得：m2故选：A【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是求出圆心坐标，

8、属于基础题目3（5分）以F1、F2为双曲线的左右焦点，点P在双曲线右支上，且|PF2|6，则|PF1|的值为（）A4B6C10D14【分析】求出双曲线的实轴长，结合双曲线的定义，求解即可【解答】解：F1、F2为双曲线的左右焦点，点P在双曲线右支上，双曲线中的a2，|PF2|6，所以|PF1|PF2|+2a6+410故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题4（5分）直线ykx+1与椭圆的位置关系为（）A相离B相切C相交D以上都有可能【分析】判断直线恒过的定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系【解答】解：直线ykx+1恒过（0，1），定点（0，1）在椭圆

9、内部，所以直线ykx+1与椭圆的位置关系为相交；故选：C【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，是基本知识的考查，是基础题5（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线与直线l：xy+20平行，则双曲线C的离心率为（）ABCD【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为yx，结合题意可得有1，即ba，计算可得ca，由双曲线离心率公式计算可得答案【解答】解：根据题意，双曲线C的方程为1，则其渐近线方程为yx，又由其一条渐近线与直线l：xy+20平行，有1，即ba，则ca，则其离心率e，故选：B【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的渐近线方程的形式6（5分）某几何

10、体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为（）A6BCD4【分析】由已知中的三视图，可判断出几何体是一个底面以边长为3、2，高为4的四棱锥，判断最长棱长求解即可【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个四棱锥，几何体的最长棱的长是PD故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键是中档题7（5分）已知圆锥SO的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥SO的体积为（）A2BCD【分析】根据题意，利用圆锥的体积公式计算即可【解答】解：如图所示，圆锥SO中，底面圆半径为rOA1，高为h；所以圆锥SO的体积为：V圆锥r2h12故选：D

11、【点评】本题考查了圆锥体积的计算问题，是基础题8（5分）执行如图的程序框图，若输入的x的值为，则输出的y的值为（）ABCD【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算x的值并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得x，满足条件x，执行循环体，x满足条件x，执行循环体，x满足条件x，执行循环体，x此时，不满足条件x，退出循环体，可得ysin故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9（5分）已知抛物线y28x，过焦点F的直线l与抛物线交于不同的A、B

12、两点，4为A、B横坐标等差中项，则|AB|的值为（）A4B8C10D12【分析】利用抛物线方程求出p，利用4为A、B横坐标等差中项，转化求解|AB|即可【解答】解：抛物线y28x，可得p4，过焦点F的直线l与抛物线交于不同的A、B两点，4为A、B横坐标等差中项，可得xA+xB8，由抛物线的性质可得|AB|xA+xB+p8+412故选：D【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题10（5分）若m、n、l为互不重合的直线，、为不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A若m，n，mn，则B若，l，ml，则mC若m，n，mn，则Dm、n，lm，ln，则l【分析】对于A，根据垂直于同

13、一条直线的两个平面平行来判断；对于B，根据平面垂直的性质定理来判断；对于C，根据空间位置关系来判断；对于D，根据直线与平面垂直的判定定理来判断【解答】解：选项A中，m，n，mn，m，根据垂直于同一直线的两个平面平行，得，故A正确选项B中，根据平面垂直的性质定理知，当两平面互相垂直时，在一个平面内，垂直于交线的直线垂直于另一个平面，而m未必在平面内，所以m未必成立；故B错误；选项C中，若m，n，mn，则或相交，故C错误；选项D中，当直线垂直于平面内两条相交直线时，该直线垂直于平面，而条件中直线m，n未必相交，故D错误故选：A【点评】本题考查空间直线位置关系问题，考查面面平行的判定，线面垂直的判定

14、，考查学生的空间想象能力11（5分）点F1、F2为椭圆的左右焦点，点P为椭圆上异于左右顶点的一点，则PF1F2的面积的最大值为（）ABCD【分析】判断P的位置，然后求解PF1F2面积的表达式，利用基本不等式求解最大值【解答】解：点F1、F2为椭圆的左右焦点，a1，P是椭圆上一点，PF1F2面积的最大值时，P在椭圆的短轴的端点，此时三角形的面积最大，Scb，当且仅当bc时，三角形的面积最大故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，中档题12（5分）已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，点E为棱AD上任意一点，F为棱CC1中

15、点，若棱C1D1上存在唯一点P，使得PEPF，则长方体ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1的值为（）ABC1D2【分析】如图建立空间直角坐标系，n22n+2z20，若棱C1D1上存在唯一点P，则n只有唯一的解，通过判别式得出z的值，进而得出侧棱长【解答】解：如图建立空间直角坐标系，设点E（m，0，0），F（0，2，z），P（0，n，2z），（m，n，2z）（0，2n，z）n22n+2z20，若棱C1D1上存在唯一点P，则n只有唯一的解，所以（2）2412z20，解得z，侧棱长AA12z故选：B【点评】本题考查特殊几何体棱柱，属于中档题二、填空題：每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上相应位

16、置13（5分）某个球的最大截面圆面积为，则该球的体积为【分析】球的最大截面圆为球的大圆，半径为球的半径，根据其面积为，即可得到球的半径，进而得到球的体积【解答】解：依题意，球的最大截面圆为球的大圆，半径为球的半径，设球的半径为r，则r2，解得r1，故该球的体积为V，故答案为：【点评】本题考查了球的截面圆的最值，考查了球的体积，主要考查空间想象能力和计算能力，属于基础题14（5分）圆心为（1，0），且与y轴相切的圆的标准方程为（x1）2+y21【分析】根据圆与y轴相切，求出圆的半径，然后进行求解即可【解答】解：圆与y轴相切，半径R1，则圆的标准方程为（x1）2+y21，故答案为：（x1）2+y2

17、1【点评】本题主要考查圆的标准方程的求法，结合相切的性质求出圆的半径是解决本题的关键比较基础15（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别为AB、B1C1中点，则异面直线A1E与BF所成角余弦值为【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与BF所成角余弦值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），E（2，1，0），B（2，2，0），F（1，2，2），（0，1，2），（1，0，2），设异面直线A1E与BF所成角为，

18、则cos异面直线A1E与BF所成角余弦值为故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16（5分）点A1、A2为双曲线的左右顶点，点F为其右焦点，点P到A1、A2的距离之比为的轨迹为M，渐近线与轨迹M有唯一公共点Q，且，则点P到原点O距离的最大值为3+2【分析】由题意得A，B，F的坐标及P的轨迹方程，再由渐近线与轨迹M有唯一公共点Q，可得判别式为零可得a，b，c 的关系，再由QF的值求出a的值，即p的轨迹方程，P到原点的最大距离为圆心到原点的距离加半径【解答】解：由题意得：A（a，0），B（a，0），F（c

19、，0），且c2a2+b2，设P（x，y），则由题意得：，整理得：x2+y26ax+a20，渐近线与轨迹M有唯一公共点Q，联立方程组整理得：c2x26a3x+a40，由题意可得：36a64c2a40c29a2，b28a2，且x，y，即Q（，），|QF|2a21，b28，所以P的轨迹方程：x2+y26x+10（x3）2+y22，圆心M到原点O的距离为3，所以P到原点的最大距离为：3+2故答案为：3+2【点评】考查轨迹方程，即圆上一点到原点的距离等于圆心到原点的距离加半径，属于中档题三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟.17（10分）已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，且双曲线C

20、的离心率为2（1）求双曲线C的标准方程；（2）求双曲线C的右焦点F到渐近线的距离【分析】（1）由题意方程求得半焦距c，再由双曲线的离心率求解双曲线的实半轴长，进一步得到虚半轴长，则双曲线方程可求；（2）求出双曲线的右焦点坐标及渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解【解答】解：（1）由椭圆，得，则所求双曲线的半焦距c2，设双曲线的实半轴长为m，虚半轴长为n，由双曲线C的离心率为2，得，即m1，n双曲线C的标准方程为；（2）双曲线C的右焦点F为（2，0），渐近线方程为y，不妨取一条为y，即，则右焦点F到渐近线的距离d【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题1

21、8（12分）已知圆C1：x2+y25与圆C2：x2+y24x+30相交于A、B两点（1）求过圆C1的圆心与圆C2相切的直线方程；（2）求圆C1与圆C2的公共弦长|AB|【分析】（1）直接利用点到直线的距离公式的应用求出直线的方程（2）利用两圆的位置关系式的应用和垂径定理的应用及勾股定理的应用求出结果【解答】解：（1）已知圆C1：x2+y25的圆心坐标为（0，0）半径为，圆C2：x2+y24x+30的圆心坐标为（2，0）半径为1过圆C1的圆心（0，0）的直线方程为ykx与圆C2相切，则：圆心（2，0）到直线kxy0的距离d整理得3k21，解得k，所以直线方程为，（2）圆C1：x2+y25与圆C2

22、：x2+y24x+30相交于A、B两点，则过点A和B的直线方程为4x35，即x所以（0，0）到直线x的距离d，所以弦|AB|2【点评】本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型19（12分）如图，已知AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为的中点，点P为圆柱上底面圆O1上一点，PA平面ABC，PAAB，过A作AEPC，交PC于点E（1）求证：AEPB；（2）若点C到平面PAB的距离为1，求圆柱OO1的表面积【分析】（1）由题意通过证明BC平面PAC，可证BCAE，进而利用线面垂直的判定定理证明AE平面PBC，利用

23、线面垂直的性质可证AEPB；（2）由题意可求PAAB2，即可计算得解圆柱OO1的表面积【解答】解：（1）AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为的中点，BCAC，PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAACA，BC平面PAC，AE平面PAC，BCAE，又AEPC，且PCBCC，AE平面PBC，由PB平面PBC，可证AEPB；（2）点C到平面PAB的距离为1，PAAB2，圆柱OO1的表面积S212+2126【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面垂直的性质，圆柱的表面积求法，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题20（12分）平面内动圆P与直线x1相切且经过点F（1，0），圆心P（x

24、，y）的轨迹为曲线T，O为坐标原点（1）求曲线T的方程；（2）过点Q（4，0）的直线l与曲线T交于不同的两点A、B，证明：OAOB【分析】（1）确定动圆圆心P的轨迹是以F为焦点，以x1为准线的抛物线，即可求得曲线T的方程；（2）直线方程与抛物线方程联立，运用韦达定理求得x1x2，y1y2的值，即证【解答】解：（1）过动圆圆心P作PN直线x1；垂足为N，则有|PF|PN|；动圆圆心P的轨迹是以F为焦点，以x1为准线的抛物线；曲线T的方程为y24x；（2）设直线方程为xay+4，A（x1，y1），B（x2，y2）；联立，可得y24ay160；，OAOB【点评】本题考查了圆锥曲线的轨迹方程及直线与抛

25、物线的综合运用，考查了学生的转化能力属于中档题21（12分）已知等边ABC中，D、E分别为边AB和AC上的中点，沿DE将ABC折起至PDE的位置，使得平面PDE平面DECB，M为PC的中点（1）求证：ME平面PBD；（2）求直线PB与平面BCDE所成角的余弦值【分析】（1）第一问根据题目当中的中点提示信息，模拟线段平移至平面PBD时可以容纳，故可以尝试用平行四边形法证明；（2）第二问根据面面垂直的信息快速找出垂线段与射影，即可求出线面角【解答】（1）证明：取PB中点N，连接MN、ND、ME，因为M是PC中点，所以MN是三角形PBC的中位线，所以MNBC，且，且在三角形ABC中，D、E是AB、A

26、C中点，所以DE是三角形ABC的中位线，所以DEBC，且，所以MNDE，且MNDE，所以四边形DEMN是平行四边形，所以MEDN，且MN平面PBD，DN平面PBD，所以ME平面PBD（2）解：因为平面PDE平面BCED，且PDPE，所以，取DE中点Q，连接PQ，则有PQDE，所以PQ平面BCED，连接QB，则QB为PB在底面上的射影，则PBQ即为所求线面角，设AB4a，则PDPE2a，PQ，BQ，所以，所以【点评】（1）第一问考查平行四边形法证线面平行，属于基础题；（2）第二问考查线面角的求解，属于中档题22（12分）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，抛物线y24x的准线经过椭圆C的左焦

27、点F1，且椭圆C与抛物线的交点到椭圆C的两个焦点的距离之和为4（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过右焦点F2的两直线l1、l2互相垂直，且直线l1交椭圆C于A、B两点，直线l2交y轴于点P，证明：为定值，并求出该定值【分析】（1）由题意得椭圆的左焦点和2a的值，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）分斜率存在和不存在两种情况讨论，得到结果与斜率没有关系，恒为定值【解答】解：（1）由题意得抛物线的准线x1，所以椭圆的焦点F1（1，0），c1，又椭圆C与抛物线的交点到椭圆C的两个焦点的距离之和为4，则2a4，所以a2，b2a2c23，所以椭圆C的标准方程：+1；（2）由（1）得右焦点

28、F2（1，0），显然直线l2的斜率存在，当l2的斜率为零时，l1的斜率不存在，又过焦点F2（1，0），所以l1的方程为：x1，代入椭圆C中得所A（1，），B（1，），且P（0，0），所以（1，0），|21，（0，）（0，），所以+3；当l1的斜率存在且不为零时，设直线l1的方程为：xmy+1，则直线l2的方程为：ym（x1），设A（x，y），B（x，y），所以P（0，m），联立直线l1与椭圆整理得：（4+3m2）y2+6my90，y+y，yy，x+xm（y+y）+2，xxm2，yy+m（y+y）+1，（1，m），|21+m2，（x1，y）（x1，y）xx（x+x）+1+yy+，所以+3，综上可知：+为定值，且为3【点评】开心直线与圆锥曲线的综合，属于中档题