1、专题22 正方形 专题知识回顾 1正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即
2、有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。4正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b ，S正方形=专题典型题考法及解析 【例题1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知A90，BD4，CF6，则正方形ADOF的边长是（）A2B2C3D4【答案】B【解析】设正方形ADOF的边长为x，由题意得：BEBD4，CECF6，BCBE+CEBD+CF10，在RtABC中，AC2+AB2BC2，即（6+x）2+（x+4）2102，整理得，x2+10x240，解得：x2
3、，或x12（舍去），x2，即正方形ADOF的边长是2【例题2】（2019四川省凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB过点A作AMBE，垂足为M，AM与BD相交于点F求证：OEOF【答案】见解析。【解析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OBOA，根据AMBE，即可得出MEA+MAE90AFO+MAE，从而证出RtBOERtAOF，得到OEOF证明：四边形ABCD是正方形BOEAOF90，OBOA又AMBE，MEA+MAE90AFO+MAE，MEAAFOBOEAOF（AAS）OEOF 专题典型训练题 一、选择题1（2019内蒙古包头）如图，在正方形
4、ABCD中，AB1，点E，F分别在边BC和CD上，AEAF，EAF60，则CF的长是（）ABC1D【答案】C 【解析】四边形ABCD是正方形，BDBAD90，ABBCCDAD1，在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BAEDAF，EAF60，BAE+DAF30，DAF15，在AD上取一点G，使GFADAF15，如图所示：AGFG，DGF30，DFFGAG，DGDF，设DFx，则DGx，AGFG2x，AG+DGAD，2x+x1，解得：x2，DF2，CFCDDF1（2）1；故选：C2（2019湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45后
5、得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A（，）B（1，0） C（，） D（0，1）【答案】A.【解析】解：四边形OABC是正方形，且OA1，A（0，1），将正方形OABC绕点O逆时针旋转45后得到正方形OA1B1C1，A1（，），A2（1，0），A3（，），发现是8次一循环，所以20198252余3，点A2019的坐标为（，）故选：A3.（2019四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为 【答案】A【解析】阴影部分面积=1=4.（2019贵州省铜仁市）如图，正
6、方形ABCD中，AB6，E为AB的中点，将ADE沿DE翻折得到FDE，延长EF交BC于G，FHBC，垂足为H，连接BF、DG以下结论：BFED；DFGDCG；FHBEAD；tanGEB；SBFG2.6；其中正确的个数是（）A2B3C4D5【答案】C【解答】正方形ABCD中，AB6，E为AB的中点ADDCBCAB6，AEBE3，ACABC90ADE沿DE翻折得到FDEAEDFED，ADFD6，AEEF3，ADFE90BEEF3，DFGC90EBFEFBAED+FEDEBF+EFBDEFEFBBFED故结论正确；ADDFDC6，DFGC90，DGDGRtDFGRtDCG结论正确；FHBC，ABC9
7、0ABFH，FHBA90EBFBFHAEDFHBEAD结论正确；RtDFGRtDCGFGCG设FGCGx，则BG6x，EG3+x在RtBEG中，由勾股定理得：32+（6x）2（3+x）2解得：x2BG4tanGEB故结论正确；FHBEAD，且BH2FH设FHa，则HG42a在RtFHG中，由勾股定理得：a2+（42a）222解得：a2（舍去）或aSBFG42.4故结论错误。5（2019黑龙江省绥化）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB4，EF2，设AEx当PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是（）当x0（即E、A两点
8、重合）时，P点有6个当0x42时，P点最多有9个当P点有8个时，x22当PEF是等边三角形时，P点有4个ABCD【答案】B【解析】当x0（即E、A两点重合）时，如下图，分别以A、F为圆心，2为半径画圆，各2个P点，以AF为直径作圆，有2个P点，共6个，所以，正确。当0x42时，P点最多有8个，故错误。 二、填空题6（2019湖南邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图”如图，设勾a=6，弦c=10，则小正方形ABCD的面积是 .【答案】4【解析】勾a6，弦c10，股8，小正方形的边长862，小正方形的面积224.故答案是：4.7（2019湖南张家界）如图：正方形AB
9、CD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tanAPD 【答案】2【解析】解：连接AF，E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，CFBE，在ABE和BCF中，RtABERtBCF（SAS），BAECBF，又BAE+BEA90，CBF+BEA90，BPEAPF90，ADF90，ADF+APF180，A、P、F、D四点共圆，AFDAPD，tanAPDtanAFD2，故答案为：28.（2019湖北省随州市）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF给出下列判
10、断：EAG=45；若DE=a，则AGCF；若E为CD的中点，则GFC的面积为a2；若CF=FG，则DE=（-1）a；BGDE+AFGE=a2其中正确的是_（写出所有正确判断的序号）【答案】【解析】四边形ABCD是正方形，AB=BC=AD=a，将ADE沿AE对折至AFE，AFE=ADE=ABG=90，AF=AD=AB，EF=DE，DAE=FAE，在RtABG和RtAFG中，RtABGRtAFG（HL），BAG=FAG，GAE=GAF+EAF=90=45，故正确；BG=GF，BGA=FGA，设BG=GF=x，DE=a，EF=a，CG=a-x，在RtEGC中，EG=x+a，CE=a，由勾股定理可得（
11、x+a）2=x2+（a）2，解得x=a，此时BG=CG=a，GC=GF=a，GFC=GCF，且BGF=GFC+GCF=2GCF，2AGB=2GCF，AGB=GCF，AGCF，正确；若E为CD的中点，则DE=CE=EF=，设BG=GF=y，则CG=a-y，CG2+CE2=EG2，即，解得，y=a，BG=GF=，CG=a-，故错误；当CF=FG，则FGC=FCG，FGC+FEC=FCG+FCE=90，FEC=FCE，EF=CF=GF，BG=GF=EF=DE，EG=2DE，CG=CE=a-DE，即，DE=（-1）a，故正确；设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得
12、，（b+y）2=（a-b）2+（a-c）2，整理得bc=a2-ab-ac，=，即SCEG=BGDE，SABG=SAFG，SAEF=SADE，S五边形ABGED+SCEG=S正方形ABCD，BGDE+AFEG=a2，故正确故答案为：由折叠得AD=AF=AB，再由HL定理证明RtABGRtAFG便可判定正误；设BG=GF=x，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2，求得BG=a，进而得GC=GF，得GFC=GCF，再证明AGB=GCF，便可判断正误；设BG=GF=y，则CG=a-y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比，求得CGF的面积，便可判断正
13、误；证明FEC=FCE，得EF=CF=GF，进而得EG=2DE，CG=CE=a-DE，由等腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误；设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得bc=a2-ab-ac，再得CEG的面积为BGDE，再由五边形ABGED的面积加上CEG的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误9（2019福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与O的交点，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）【答案】1【解析】延长DC，CB交O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论延长DC
14、，CB交O于M，N，则图中阴影部分的面积（S圆OS正方形ABCD）（44）1，10.（2019四川省凉山州）如图，正方形ABCD中，AB12，AEAB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQEP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 【答案】4 【解析】先证明BPECQP，得到与CQ有关的比例式，设CQy，BPx，则CP12x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值BEP+BPE90，QPC+BPE90，BEPCPQ又BC90，BPECQP设CQy，BPx，则CP12x，化简得y（x212x），整理得y（x6）2+4，所以当x6时，y有最大值为411. （2019广
15、东广州）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），DAM45，点F在射线AM上，且AFBE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：ECF45； AEG的周长为（1+）a；BE2+DG2EG2；EAF的面积的最大值a2其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）【答案】【解析】正确如图1中，在BC上截取BHBE，连接EH证明FAEEHC（SAS），即可解决问题错误如图2中，延长AD到H，使得DHBE，则CBECDH（SAS），再证明GCEGCH（SAS），即可解决问题正确设BEx，则AEax，AFx，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题如图
16、1中，在BC上截取BHBE，连接EHBEBH，EBH90，EHBE，AFBE，AFEH，DAMEHB45，BAD90，FAEEHC135，BABC，BEBH，AEHC，FAEEHC（SAS），EFEC，AEFECH，ECH+CEB90，AEF+CEB90，FEC90，ECFEFC45，故正确，如图2中，延长AD到H，使得DHBE，则CBECDH（SAS），ECBDCH，ECHBCD90，ECGGCH45，CGCG，CECH，GCEGCH（SAS），EGGH，GHDG+DH，DHBE，EGBE+DG，故错误，AEG的周长AE+EG+AGAG+GHAD+DH+AEAE+EB+ADAB+AD2a，故
17、错误，设BEx，则AEax，AFx，SAEF（ax）xx2+ax（x2ax+a2a2）（xa）2+a2，0，xa时，AEF的面积的最大值为a2故正确，故答案为12.（2019广西贺州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分BAE交BC于点F，将ADE绕点A顺时针旋转90得ABG，则CF的长为 【答案】62【解析】作FMAD于M，FNAG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM4，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，DE2，AE2，ADE绕点A顺时针旋转90得ABG，AGAE2，BGDE2，34，GAE90，ABGD90，而ABC90，点G在CB的延长线上，AF平
18、分BAE交BC于点F，12，2+41+3，即FA平分GAD，FNFM4，ABGFFNAG，GF2，CFCGGF4+2262故答案为6213（2019山东青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF若AD4cm，则CF的长为 cm【答案】6【解析】设BFx，则FGx，CF4x，在RtGEF中，利用勾股定理可得EF2（4）2+x2，在RtFCE中，利用勾股定理可得EF2（4x）2+22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4x即可设BFx，则FGx，CF4x在RtADE中，利用勾股定理可得AE根据折叠的性质可知AGAB4，所以GE4在R
19、tGEF中，利用勾股定理可得EF2（4）2+x2，在RtFCE中，利用勾股定理可得EF2（4x）2+22，所以（4）2+x2（4x）2+22，解得x2则FC4x614.（2019江苏镇江）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD （结果保留根号）【答案】1【解析】本题考查了正方形的性质、旋转、等腰三角形的判定与性质、勾股定理由正方形的对角线与相邻的边夹角为45，得CFEECF45，而在RtCEF中，由勾股定理，得CF，从而DF1，易知DHF是等腰直角三角形，于是DHDF1因此本题答案为115（2019辽宁抚
20、顺）如图，在26的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，网格中小正方形的顶点叫格点，点A，B，C在格点上，连接AB，BC，则tanABC 故答案为：【解析】连接AD，根据网格利用勾股定理求出AB，AD，BD的长，利用勾股定理的逆定理判断出三角形ABD为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出所求即可连接AD，由勾股定理得：AD，AB2，BD，（）2+（2）2（）2，即AD2+AB2BD2，ABD为BAD是直角的直角三角形，tanABC三、解答题16（2019湖南湘西州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AFCE（1）求证：ABFCBE；（2）若AB4，AF1，求四边形
21、BEDF的面积【答案】（1）见解析；（2）12【解答】（1）在ABF和CBE中，ABFCBE（SAS）；（2）由已知可得正方形ABCD面积为16，ABF面积CBE面积412所以四边形BEDF的面积为16221217. (2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.(1)求证:PDEQCE;(2)过点E作EFBC交PB于点F,连接AF,当PBPQ时,求证:四边形AFEP是平行四边形;请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.【答案】见解析。【解析】由正方形性质得到边角关系,从而证明全等;通过证明全等
22、得到APEF,由平行线的传递性得到平行,故四边形AFEP是平行四边形;列出方程得到AP的长,与PE比较,不能判定四边形AFEP是菱形.(1) 证明:四边形ABCD是正方形,DBCD90,ECQ90D.E是CD的中点,DECE,又DEPCEQ,PDEQCE;(2) (2)证明:如图,由(1)得PDEQCE,PEQEPQ,又EFBC,PFFBPB,PBPQ,PFPE,12,四边形ABCD是正方形,BAD90,在RtABP中,F是PB的中点,AFBPFP,34,ADBC,EFBC,ADEF,14,23,又PFFP,APFEFP,APEF,又APEF,四边形AFEP是平行四边形.四边形AFEP不是菱形
23、,理由如下:设PDx,则AP1x,由(1)可知PDEQCE,CQPDx,BQBC+CQ1+x,点E,F分别是PQ,PB的中点,EF是PBQ的中位线,EFBQ.由可知APEF,即1x,解得x,PD,AP,在RtPDE中,DE,PE,APPE,四边形AFEP不是菱形.18（2019湖南株洲）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG（1）求证：DOGCOE；（2）若DGBD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM，求正方形OEFG的边长【答案】（1）见解析；（2）2【解析】解：（1）正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、B
24、DDOOCDBAC，DOADOC90GOE90，GOD+DOEDOE+COE90GODCOEGOOE在DOG和COE中DOGCOE（SAS）（2）如图，过点M作MHDO交DO于点HAM，DA2，DMMDB45MHDHsin45DM，DOcos45DAHODODH在RtMHO中，由勾股定理得MODGBD，MHDO，MHDG易证OHMODG，得GO2则正方形OEFG的边长为219.（2019湖北省仙桃市）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BECF，过点E作EGBF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF求证：（1）AEBF；（2）四边形BEGF是平行四边形【答案】见解
25、析。【解析】由SAS证明ABEBCF得出AEBF，BAECBF，由平行线的性质得出CBFCEG，证出AEEG，即可得出结论；延长AB至点P，使BPBE，连接EP，则APCE，EBP90，证明APEECG得出AEEG，证出EGBF，即可得出结论证明：（1）四边形ABCD是正方形，ABBC，ABCBCD90，ABEBCF90，在ABE和BCF中，ABEBCF（SAS），AEBF，BAECBF，EGBF，CBFCEG，BAE+BEA90，CEG+BEA90，AEEG，AEBF；（2）延长AB至点P，使BPBE，连接EP，如图所示：则APCE，EBP90，P45，CG为正方形ABCD外角的平分线，EC
26、G45，PECG，由（1）得BAECEG，在APE和ECG中，APEECG（ASA），AEEG，AEBF，EGBF，EGBF，四边形BEGF是平行四边形20（2019山东泰安）如图，四边形ABCD是正方形，EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且CEF90，FGAD，垂足为点C（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由【答案】见解析。【解析】过点F作FMAB交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得AGMF，AMFG，由“AAS”可证EFMCEB，可得BEMF，MEBCAB，可得BEMAMFAGFG；延
27、长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得，且CHFH，可得GHHN，NCFG，即可求DGDN，由等腰三角形的性质可得DHHG（1）AGFG，理由如下：如图，过点F作FMAB交BA的延长线于点M四边形ABCD是正方形ABBC，B90BADFMAB，MAD90，FGAD四边形AGFM是矩形AGMF，AMFG，CEF90，FEM+BEC90，BEC+BCE90FEMBCE，且MB90，EFECEFMCEB（AAS）BEMF，MEBCMEABBCBEMAMFAGFG，（2）DHHG理由如下：如图，延长GH交CD于点N，FGAD，CDADFGCD，且CHFH，GHHN，NCFG，AGFGNC又ADC
28、D，GDDN，且GHHN，DHGH21（2019湖北襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQAE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GFAE求证：DQAE；推断：的值为 ；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，k（k为常数）将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k时，若tanCGP，GF2，求CP的长【答案】见解析。24【解析】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABDA，A
29、BE90DAQQAO+OAD90AEDH，ADO+OAD90QAOADOABEDAQ（ASA），AEDQ解：结论：1理由：DQAE，FGAE，DQFG，FQDG，四边形DQFG是平行四边形，FGDQ，AEDQ，FGAE，1故答案为1（2）解：结论：k理由：如图2中，作GMAB于MAEGF，AOFGMFABE90，BAE+AFO90，AFO+FGM90，BAEFGM，ABEGMF，AMGDDAM90，四边形AMGD是矩形，GMAD，k（3）解：如图21中，作PMBC交BC的延长线于MFBGC，FEGP，CGPBFE，tanCGPtanBFE，可以假设BE3k，BF4k，EFAF5k，FG2，AE3，（3k）2+（9k）2（3）2，K1或1（舍弃），BE3，AB9，BC：AB2：3，BC6，BECE3，ADPEBC6，BEFFEPPME90，FEB+PEM90，PEM+EPM90，FEBEPM，FBEEMP，EM，PM，CMEMEC3，PC
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