1、专题18 解直角三角形问题 专题知识回顾 一、勾股定理1勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2=c2。2勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。 3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。 4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5.直角三角形的性质：(1)直角三角形的两锐角互余；(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)直角三角形中30角所对直角边等于斜边的一半；(4)直角三角形斜边上的中线
2、等于斜边的一半。6.直角三角形的判定：(1)有一个角等于90的三角形是直角三角形(2) 两锐角互余的三角形是直角三角形(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形二、锐角三角函数1.各种锐角三角函数的定义（1）正弦：在ABC中，C=90把锐角A的对边与斜边的比值叫做A的正弦，记作sinA （2）余弦：在ABC中，C=90，把锐角A的邻边与斜边比值的叫做A的余弦，记作cosA （3） 正切：在ABC中，C=90，把锐角A的对边与邻边的比值叫做A的正切，记作tanA 2.特殊值的三角函数：sincostancot0010不存在304
3、511609010不存在0三、仰角、俯角、坡度概念1仰角：视线在水平线上方的角；2俯角：视线在水平线下方的角。 3坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。四、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系sinA=cos(90A)，cosA=sin(90A)tanA=cot(90A)，cotA=tan(90A)（2）平方关系 （3）倒数关系 tanAtan(90A)=1（4）弦切关系 tanA=专题典型题考法及解析 【例题1】（2019湖北省鄂州市）如图，已知线段AB4，O是AB的中点，直线l经过点O，160，P点是直线l
4、上一点，当APB为直角三角形时，则BP 【答案】2或2或2【解析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2c2分APB90、PAB90、PBA90三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可AOOB2，当BP2时，APB90，当PAB90时，AOP60，APOAtanAOP2，BP2，当PBA90时，AOP60，BPOBtan12，故答案为：2或2或2【例题2】（2019湖南长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45方向上的B处，这时轮船B与小岛
5、A的距离是（）A30nmileB60nmileC120nmileD（30+30）nmile【答案】D 【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线过点C作CDAB，则在RtACD中易得AD的长，再在直角BCD中求出BD，相加可得AB的长过C作CDAB于D点，ACD30，BCD45，AC60在RtACD中，cosACD，CDACcosACD6030在RtDCB中，BCDB45，CDBD30，ABAD+BD30+30答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile【例题3】（2019江苏连云港）如图，
6、海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53的方向上，位于哨所B南偏东37的方向上（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截（结果保留根号）（参考数据：sin37cos53，cos37sin53，tan37，tan764）【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截【解析】（1）先根据三
7、角形内角和定理求出ACB90，再解RtABC，利用正弦函数定义得出AC即可；在ABC中，ACB180BBAC180375390在RtABC中，sinB，ACABsin372515（海里）答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）过点C作CMAB于点M，易知，D.C.M在一条直线上解RtAMC，求出CM、AM解RtAMD中，求出DM、AD，得出CD设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可过点C作CMAB于点M，由题意易知，D.C.M在一条直线上在RtAMC中，CMACsinCAM1512，AMACcosCAM159
8、在RtAMD中，tanDAM，DMAMtan769436，AD9，CDDMCM361224设缉私艇的速度为x海里/小时，则有，解得x6经检验，x6是原方程的解答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截 专题典型训练题 一、选择题1（2019渝北区）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（）A1，2B1，3，4C2，3，6D4，5，6【答案】A【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可A.12+（）222，故是直角三角形，故此选项正确；B.12+3242，故不是直角三角形，故此选项错误；C.22+3262，故不是直角三角形，故此选项错误；D.
9、42+5262，故不是直角三角形，故此选项错误2（2019巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（）A，B32，42，52CD0.3，0.4，0.5【答案】D【解析】先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可A.（）2+（）2（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B.（32）2+（42）2（52）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C.（）2+（）2（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D.0.032+0.0420.052，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意。3.（2019广西省贵港市）将
10、一条宽度为的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为，重叠部分为（图中阴影部分），若，则重叠部分的面积为ABCD 【答案】【解析】过作于，则，依据勾股定理得出的长，进而得到重叠部分的面积如图，过作于，则，中，重叠部分的面积为，故选：4.（2019贵州省毕节市） 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB1，EC2，那么正方形ABCD的面积为（）AB3CD5【答案】B【解析】勾股定理四边形ABCD是正方形，B90，BC2EC2EB222123，正方形ABCD的面积BC23故选：B5（2019南岸区）如图，在RtABC中，A90，C30，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC于点E，若ED3，则AC的长
11、为（）A3B3C6D9【答案】D【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DCDB，DEBC，求出BDDC2DE3，根据直角三角形的性质计算即可DE是线段BC的垂直平分线，DCDB，DEBC，C30，BDDC2DE3，DBCC30，在ABC中，A90，C30，ABC60，ABD603030，ADBD3，ACDC+AD96（2019西藏）如图，在O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在O上，E22.5，AB2，则半径OB等于（）A1BC2D2【答案】B 【解析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出ODB是等腰直角三角形，进而得出答案半径OC弦AB于点D，EBOC22.5，BOD45，ODB是等腰直角三角
12、形，AB2，DBOD1，则半径OB等于：7.（2019江苏苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是（ ）ABCD【答案】C 【解析】考察角的三角函数值，中等偏易题目过作交于，在中，8.（2019湖南长沙）如图，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A2B4C5D10【答案】B【解析】如图，作DHAB于H，CMAB于M由tanA2，设AEa，BE2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DHBD，推出CD+BDCD+DH，
13、由垂线段最短即可解决问题如图，作DHAB于H，CMAB于MBEAC，ABE90，tanA2，设AEa，BE2a，则有：100a2+4a2，a220，a2或2（舍弃），BE2a4，ABAC，BEAC，CMAC，CMBE4（等腰三角形两腰上的高相等）DBHABE，BHDBEA，sinDBH，DHBD，CD+BDCD+DH，CD+DHCM，CD+BD4，CD+BD的最小值为4二、填空题9.（2019贵州安顺）如图，在RtABC中，BAC90，且BA3，AC4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DMAB于点M，DNAC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 【答案】【解析】BAC90，且BA3，
14、AC4，BC5，DMAB，DNAC，DMADNABAC90，四边形DMAN是矩形，MNAD，当ADBC时，AD的值最小，此时，ABC的面积ABACBCAD，AD，MN的最小值为。10. （2019贵州省毕节市） 三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，ABCF，FACB90，E45，A60，AC10，则CD的长度是 【答案】155【解析】考查含30度角的直角三角形；勾股定理过点B作BMFD于点M，在ACB中，ACB90，A60，AC10，ABC30，BC10tan6010 ，ABCF，BMBCsin30105，CMBCcos3015，在EFD中
15、，F90，E45，EDF45，MDBM5 ，CDCMMD155 故答案是：15511. (2019海南)如图,将RtABC的斜边AB绕点A顺时针旋转(090)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转(090)得到AF,连接EF,若AB3,AC2,且+B,则EF_.【答案】【解析】+B,EAFBAC+B90,AEF是直角三角形,且AEAB3,AFAC2,EF12.（2019黑龙江哈尔滨）如图将ABC绕点C逆时针旋转得到ABC,其中点A与A是对应点,点B与B是对应点,点B落在边AC上,连接AB,若ACB=45,AC=3,BC=2,则AB的长为 【答案】：【解析】将ABC绕点C逆时针旋转得到ABC，AC
16、AC3，ACBACA45ACB90AB13.（2019山东东营）已知等腰三角形的底角是30，腰长为2，则它的周长是_【答案】【解析】如图，过A作ADBC于D，则ADBADC90，ABAC2，B30，ADAB，由勾股定理得：BD3，同理CD3，BC6，ABC的周长为BC+AB+AC6+2+26+414.（2019浙江宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为 米（精确到1米，参考数据：1.414，1.732）【答案】456 【解析】考查了解直角三角形的应用方向角的问题此题是
17、一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想通过解直角OAC求得OC的长度，然后通过解直角OBC求得OB的长度即可如图，设线段AB交y轴于C，在直角OAC中，ACOCAO45，则ACOCOA400米，OCOAcos45400200（米）在直角OBC中，COB60，OC200米，OB400456（米）故答案是：45615.（2019海南省）如图，将RtABC的斜边AB绕点A顺时针旋转（090）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转（090）得到AF，连结EF若AB3，AC2，且+B，则EF 【答案】【解析】由旋转的性质可得AEAB3，ACA
18、F2，由勾股定理可求EF的长由旋转的性质可得AEAB3，ACAF2，B+BAC90，且+B，BAC+90EAF90EF16（2019山东临沂）如图，在ABC中，ACB120，BC4，D为AB的中点，DCBC，则ABC的面积是 【答案】8【解析】根据垂直的定义得到BCD90，得到长CD到H使DHCD，由线段中点的定义得到ADBD，根据全等三角形的性质得到AHBC4，HBCD90，求得CD2，于是得到结论DCBC，BCD90，ACB120，ACD30，延长CD到H使DHCD，D为AB的中点，ADBD，在ADH与BCD中，ADHBCD（SAS），AHBC4，HBCD90，ACH30，CHAH4，CD
19、2，ABC的面积2SBCD2428，故答案为：8三、解答题17.（2019黑龙江省龙东地区）如图，在ABC中，ABBC，ADBC于点D，BEAC于点E，AD与BE交于点F，BHAB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H（1）如图所示，若ABC30，求证：DFBH BD；（2）如图所示，若ABC45，如图所示，若ABC60（点M与点D重合），猜想线段DF，BH，BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明图图图【答案】见解析。【解析】条件中有等腰三角形ABC，故考虑用等腰三角形的性质；条件中有30角，且有ADBC，故可以找到与BD有关的的数量关系，即ADBD；条件中有中
20、点，故考虑构造全等三角形.结合以上信息，再结合问题中的DF,BH两条线段，因此连接CF，问题可解.对于图和图，可仿照（1）的思路求解.（1）证明：连接CF，AB=BC，ABC=30，BAC=ACB=75.ADBC，ADB=90，BAD=60，DAC=15AB=BC，BEAC，BE垂直平分AC，AF=CF，ACF=DAC=15，BCF=75-15=60，BHAB，ABC=30，CBH=60，CBH=BCF=60.在BHM和CFM中，CBH=BCF，BM=CM，BMH=CMF，BHMCFM，BH=CF,BH=AF，AD=DF+AF=DF+BH.在RtADB中，ABC=30，AD=BD,DFBHBD
21、.（2）图猜想结论：DFBHBD；图猜想结论：DFBHBD18.（2019广西池河）如图，在河对岸有一棵大树A，在河岸B点测得A在北偏东60方向上，向东前进120m到达C点，测得A在北偏东30方向上，求河的宽度（精确到0.1m）参考数据：1.414，1.732【答案】见解析。【解析】过点A作AD直线BC，垂足为点D，在RtABD和RtACD中，通过解直角三角形可求出BD，CD的长，结合BCBDCD120，即可求出AD的长过点A作AD直线BC，垂足为点D，如图所示在RtABD中，tanBAD，BDADtan60AD；在RtACD中，tanCAD，CDADtan30ADBCBDCDAD120，AD
22、103.9河的宽度为103.9米19. （2019湖南怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30方向，试计算此段河面的宽度【答案】这条河的宽度为30米【解析】如图，作AD于BC于D由题意可知：BC1.54060米，ABD30，ACD60，BACACDABC30，ABCBAC，BCAC60米在RtACD中，ADACsin606030（米）答：这条河的宽度为30米20.（2019四川巴中）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相
23、垂直某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65方向，另测得BC414m，AB300m，求出点D到AB的距离（参考数据sin650.91，cos650.42，tan652.14）【答案】点D到AB的距离是214m【解析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确根据三角函数列方程是解题的关键如图，过点D作DEAB于E，过D作DFBC于F，则四边形EBFD是矩形，设DEx，在RtADE中，AED90，tanDAE，AE，BE300，又BFDEx，CF414x，在RtCDF中，DFC90，DCF45，DFCF414x，又BE
24、CF，即：300414x，解得：x21421.（2019湖北省荆门市）如图，已知平行四边形ABCD中，AB5，BC3，AC2（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求证：BDBC【答案】见解析。【解析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定与性质，综合性较强（1）作CEAB交AB的延长线于点E，如图：设BEx，CEh在RtCEB中：x2+h29在RtCEA中：（5+x）2+h252联立解得：x，h平行四边形ABCD的面积ABh12；（2）作DFAB，垂足为FDFACEB90平行四边形ABCDADBC，ADBCDAFCBE又DFACEB90，ADBCADFBCE（
25、AAS）AFBE，BF5，DFCE在RtDFB中：BD2DF2+BF2（）2+（）216BD4BC3，DC5CD2DB2+BC2BDBC22.（2019广东深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，ADBC，施工队站在点D处看向B，测得仰角45，再由D走到E处测量，DEAC，DE=500米，测得仰角为53，求隧道BC长.（sin53，cos53，tan53）.【答案】隧道BC的长度为700米【解析】作EMAC于点M，构建直角三角形，解直角三角形解决问题如图，ABD是等腰直角三角形，AB=AD=600作EMAC于点M，则AM=DE=500，BM=100在RtCEM中，tan53
26、=，即=，CM=800，BC=CMBM=800100=700（米），隧道BC的长度为700米答：隧道BC的长度为700米23.（2019湖北十堰）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD3m，坝高AEDF6m，坡角45，30，求BC的长【答案】BC的长（9+63）m【解析】解直角三角形的应用坡度坡角问题过A点作AEBC于点E，过D作DFBC于点F，则四边形AEFD是矩形，有AEDF6，ADEF3，坡角45，30，BEAE6，CF=3DF63，BCBE+EF+CF6+3+63=9+63，BC（9+63）m，答：BC的长（9+63）m24. （2019湖南郴州）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北
27、偏东45方向上，距离A处30km在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救已知B处在A处的北偏东60方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km参考数据：21.414，31.732，62.449）【答案】巡逻船与渔船的距离约为8.97km【解析】延长CB交过A点的正东方向于D，则CDA90，由题意得：AC30km，CAD45，BAD30，由直角三角形的性质得出ADCD=22AC152，AD=3BD，BD=1523=56，即可得出答案延长CB交过A点的正东方向于D，如图所示：则CDA90，由题意得：AC30km，CAD904545，BAD906030，ADCD=22AC152，AD=3BD，BD=1523=56，BCCDBD152-56151.41452.4498.97（km）；答：巡逻船与渔船的距离约为8.97km
浙公网安备33030202001339号