1、专题17 等腰、等边三角形问题 专题知识回顾 一、等腰三角形1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角.2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴5.等腰三角
2、形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.二、等边三角形1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形2. 性质性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60；性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。3.判定（1） 三个角都相等的三角形是等边三角形；（2） 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形；（3） 有两个角是60的三角形是等边三角形。三、含30的直
3、角三角形的性质在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它对的等于的一半.四、解题方法要领1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据
4、边是腰还是底来分类。专题典型题考法及解析 【例题1】（2019重庆）如图，在ABC中，ABAC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分ABC交AC于点E，过点E作EFBC交AB于点F（1）若C36，求BAD的度数；（2）求证：FBFE【答案】见解析。【解析】（1）ABAC，CABC，C36，ABC36，BDCD，ABAC，ADBC，ADB90，BAD903654（2）证明：BE平分ABC，ABECBEABC，EFBC，FEBCBE，FBEFEB，FBFE【例题2】（2019黑龙江哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，ABAD，BCDC，A60，点E为AD边上一点，连接BD.CE，CE与BD交于点F
5、，且CEAB，若AB8，CE6，则BC的长为 【答案】2【解析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，ABD是等边三角形，可得BAODAO30，ABADBD8，BOOD4，通过证明EDF是等边三角形，可得DEEFDF2，由勾股定理可求OC，BC的长如图，连接AC交BD于点OABAD，BCDC，A60，AC垂直平分BD，ABD是等边三角形BAODAO30，ABADBD8，BOOD4CEABBAOACE30，CEDBAD60DAOACE30AECE6，DEADAE2CEDADB60EDF是等边三角形，DEEFDF2CFCEEF4，OFODDF2OC2BC2【例题3】（2019黄石）如图
6、，在ABC中，B50，CDAB于点D，BCD和BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CDCF，则ACD+CED（）A125B145C175D190【答案】C 【解析】根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到CDF是等边三角形，进而得到ACD60，根据BCD和BDC的角平分线相交于点E，即可得出CED115，即可得到ACD+CED60+115175CDAB，F为边AC的中点，DFACCF，又CDCF，CDDFCF，CDF是等边三角形，ACD60，B50，BCD+BDC130，BCD和BDC的角平分线相交于点E，DCE+CDE65，CED115，ACD+CED60+115175，故选：
7、C 专题典型训练题 一、选择题1.（2019宁夏） 如图，在ABC中，点D和E分别在AB和AC上，且连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若，则的度数为（ ） A B C D 【答案】C【解析】平行线的性质、等腰三角形的性质因为，所以，因为，所以，因为，所以，故本题正确选项为C2.（2019浙江衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若BDE=75，则CDE的度数是（ ） A.60B.65C.75D.80【答案
8、】 D 【解析】考点是三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质 。 OC=CD=DE， O=ODC，DCE=DEC，设O=ODC=x，DCE=DEC=2x，CDE=180-DCE-DEC=180-4x，BDE=75，ODC+CDE+BDE=180，即x+180-4x+75=180，解得：x=25，CDE=180-4x=80.3.（2019湖南长沙）如图，RtABC中，C90，B30，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则CAD的度数是（）A20 B30 C45 D60【答案】B 【解析】在ABC中，B30，C90
9、，BAC180BC60，由作图可知MN为AB的中垂线，DADB，DABB30，CADBACDAB304.（2019湖南长沙）如图，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A2B4C5D10【答案】B 【解析】如图，作DHAB于H，CMAB于M由tanA2，设AEa，BE2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DHBD，推出CD+BDCD+DH，由垂线段最短即可解决问题如图，作DHAB于H，CMAB于MBEAC，ABE90，tanA2，设AEa，BE2a，则有：100a2+4a2，a220，a2或2（舍弃），BE2a4，ABAC，B
10、EAC，CMAC，CMBE4（等腰三角形两腰上的高相等）DBHABE，BHDBEA，sinDBH，DHBD，CD+BDCD+DH，CD+DHCM，CD+BD4，CD+BD的最小值为45.（2019湖南邵阳）如图，在RtABC中，BAC90，B36，AD是斜边BC上的中线，将ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则BED等于（）A120B108C72D36【答案】B 【解析】根据三角形内角和定理求出C90B54由直角三角形斜边上的中线的性质得出ADBDCD，利用等腰三角形的性质求出BADB36，DACC54，利用三角形内角和定理求出ADC180DACC72再根据折叠的性质
11、得出ADFADC72，然后根据三角形外角的性质得出BEDBAD+ADF108在RtABC中，BAC90，B36，C90B54AD是斜边BC上的中线，ADBDCD，BADB36，DACC54，ADC180DACC72将ACD沿AD对折，使点C落在点F处，ADFADC72，BEDBAD+ADF36+72108二、填空题6.（2019湖南怀化）若等腰三角形的一个底角为72，则这个等腰三角形的顶角为【答案】36【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论等腰三角形的一个底角为72，等腰三角形的顶角1807272367.（2019湖南邵阳）如图，将等边AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为
12、（4，0），点B在第一象限，将等边AOB绕点O顺时针旋转180得到AOB，则点B的坐标是【答案】（2，2）【解析】作BHy轴于H，如图，利用等边三角形的性质得到OHAH2，BOA60，再计算出BH，从而得到B点坐标为（2，2），然后根据关于原点对称的点的坐标特征求出点B的坐标作BHy轴于H，如图，OAB为等边三角形，OHAH2，BOA60，BHOH2，B点坐标为（2，2），等边AOB绕点O顺时针旋转180得到AOB，点B的坐标是（2，2）故答案为（2，2）8.（2019湖北天门）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30，点C与
13、点B在同一水平线上已知CD9.6m，则旗杆AB的高度为 m【答案】14.4【解析】作DEAB于E，如图所示：则AED90，四边形BCDE是矩形，BECD9.6m，CDEDEA90，ADC90+30120，ACB60，ACD30，CAD30ACD，ADCD9.6m，在RtADE中，ADE30，AEAD4.8m，ABAE+BE4.8m+9.6m14.4m9.（2019贵州毕节）如图，以ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD若B40，C36，则DAC的大小为 【答案】34【解析】根据三角形的内角和得出BAC180BC104，根据等腰三角形两底角相等得出BADADB（180B
14、）270，进而根据角的和差得出DACBACBAD34B40，C36，BAC180BC104ABBDBADADB（180B）270，DACBACBAD3410. （2019湖北武汉）如图，在ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AEEFCD，ADF90，BCD63，则ADE的大小为 【答案】21【解析】设ADEx，由等腰三角形的性质和直角三角形得出DAEADEx，DEAFAEEF，得出DECD，证出DCEDEC2x，由平行四边形的性质得出DCEBCDBCA63x，得出方程，解方程即可设ADEx，AEEF，ADF90，DAEADEx，DEAFAEEF，AEEFCD，DECD，DCEDEC2x，四边
15、形ABCD是平行四边形，ADBC，DAEBCAx，DCEBCDBCA63x，2x63x，解得：x21，即ADE2111.(2019黑龙江绥化)如图,在ABC中,ABAC,点D在AC上,且BDBCAD,则A_度.【答案】16【解析】BDAD,设AABDx,BDC2x,BDBC,CBDC2x,ABAC,ABCC2x,x+2x+2x180,x36.三、解答题12.（2019湖北孝感）如图，已知CD90，BC与AD交于点E，ACBD，求证：AEBE【答案】见解析。【解析】由HL证明RtACBRtBDA得出ABCBAD，由等腰三角形的判定定理即可得出结论证明：CD90，ACB和BDA是直角三角形，在Rt
16、ACB和RtBDA中，AB=BAAC=BD，RtACBRtBDA（HL），ABCBAD，AEBE13.（2019杭州）如图，在ABC中，ACABBC（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：APC2B（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ若AQC3B，求B的度数【答案】见解析。【解析】（1）证明：线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，PAPB，BBAP，APCB+BAP，APC2B；（2）根据题意可知BABQ，BAQBQA，AQC3B，AQCB+BAQ，BQA2B，BAQ+BQA+B180，5B180，B3614（2019重庆）如图，在AB
17、C中，ABAC，ADBC于点D（1）若C42，求BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EFAC交AD的延长线于点F求证：AEFE【答案】见解析。【解析】（1）ABAC，ADBC于点D，BADCAD，ADC90，又C42，BADCAD904248；（2）ABAC，ADBC于点D，BADCAD，EFAC，FCAD，BADF，AEFE15（2019南岸区）如图，直线ABCD，ACD的平分线CE交AB于点F，AFE的平分线交CA延长线于点G（1）证明：ACAF；（2）若FCD30，求G的大小【答案】见解析。【解析】（1）证明：ACD的平分线CE交AB于点F，ACFDCF，ABCD，AFCDCF，ACF
18、AFC，ACAF；（2）解：FCD30，ABCD，ACDGAF60，AFC30，AFE的平分线交CA延长线于点G75，G180GAFAFG18060754516（2019攀枝花）如图，在ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BDCE求证：（1）点D在BE的垂直平分线上；（2）BEC3ABE【答案】见解析。【解析】（1）连接DE，CD是AB边上的高，ADCBDC90，BE是AC边上的中线，AECE，DECE，BDCE，BDDE，点D在BE的垂直平分线上；（2）DEAE，AADE，ADEDBE+DEB，BDDE，DBEDEB，AADE2ABE，BECA+ABE，BEC3ABE17.
19、（2019湖北十堰）如图，ABC中，ABAC，以AC为直径的O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且CDEBAC（1）求证：DE是O的切线；（2）若AB3BD，CE2，求O的半径【答案】见解析。【解析】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形（1）如图，连接OD，AD，AC是直径，ADC90，ADBC，ABAC，CADBADBAC，CDEBACCDECAD，OAOD，CADADO，ADO+ODC90，ODC+CDE90ODE90又OD是O的半径DE是O的切线；（2）解：ABAC，ADBC，BDCD，AB
20、3BD，AC3DC，设DCx，则AC3x，AD2x，CDECAD，DECAED，CDEDAE，即DE4，x，AC3x14，O的半径为718.（2019甘肃武威）如图，在ABC中，ABAC，BAC120，点D在BC边上，D经过点A和点B且与BC边相交于点E（1）求证：AC是D的切线；（2）若CE2，求D的半径【答案】见解析。【解析】连接AD，根据等腰三角形的性质得到BC30，BADB30，求得ADC60，根据三角形的内角和得到DAC180603090，于是得到AC是D的切线；连接AE，推出ADE是等边三角形，得到AEDE，AED60，求得EACAEDC30，得到AECE2，于是得到结论（1）证明
21、：连接AD，ABAC，BAC120，BC30，ADBD，BADB30，ADC60，DAC180603090，AC是D的切线；（2）解：连接AE，ADDE，ADE60，ADE是等边三角形，AEDE，AED60，EACAEDC30，EACC，AECE2，D的半径AD219. （2019湖南衡阳）如图，在等边ABC中，AB6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动设运动时间为以t（s）过点P作PEAC于E，连接PQ交AC边于D以CQ、CE为边作平行四边形CQFE（1）当t为何值时，BPQ为
22、直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将BPM沿直线PM翻折，得BPM，连接AB，当t为何值时，AB的值最小？并求出最小值【答案】见解析。【解析】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题（1）ABC是等边三角形，B60，当BQ2BP时，BPQ90，6+t2（6t），t3，t3时，BPQ是直角三角形（2）存在理由：如图1中，连接BF交AC于MBF平分ABC，BABC，BFAC，AMCM3cm，EFBQ，EFMFBCABC30，EF2EM，t2（3t），解得t3（3）如图2中，作PKBC交AC于KABC是等边三角形，BA60，PKBC，APKB60，AAPKAKP60，APK是等边三角形，PAPK，PEAK，AEEK，APCQPK，PKDDCQ，PDKQDC，PKDQCD（AAS），DKDC，DEEK+DK（AK+CK）AC3（cm）（4）如图3中，连接AM，ABBMCM3，ABAC，AMBC，AM3，ABAMMB，AB33，AB的最小值为33
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