1、专题13 反比例函数 专题知识回顾 1反比例函数：形如y（k为常数，k0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k、 。 2图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点。它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3性质:（1）当k0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； （2）当k0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与
2、两坐标轴围成的矩形的面积。5反比例函数解析式的确定由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。专题典型题考法及解析 【例题1】（2019山东枣庄）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上，ABC90，CAx轴，点C在函数y（x0）的图象上，若AB1，则k的值为（）A1BCD2【答案】A 【解析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上，ABC90，CAx轴，AB1，BACBAO4
3、5，OAOB，AC，点C的坐标为（，），点C在函数y（x0）的图象上，k1故选：A【例题2】（2019湖南郴州）如图，点A，C分别是正比例函数yx的图象与反比例函数y=4x的图象的交点，过A点作ADx轴于点D，过C点作CBx轴于点B，则四边形ABCD的面积为 【答案】8【解析】A、C是两函数图象的交点，A、C关于原点对称，CDx轴，ABx轴，OAOC，OBOD，SAOBSBOCSDOCSAOD，又反比例函数y=4x的图象上，SAOBSBOCSDOCSAOD=1242，S四边形ABCD4SAOB428，故答案为：8【例题3】（2019江苏镇江）如图，点A(2，n)和点D是反比例函数y（m0，x0
4、）图像上的两点，一次函数ykx3（k0）的图像经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DEx轴，垂足为E，连接OA、OD已知OAB与ODE的面积满足SOABSODE34（1）SOAB_，m_；（2）已知点P(6，0)在线段OE上，当PDECBO时，求点D的坐标【答案】见解析。【解析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质等，解题的关键是利用反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质先求出B点纵坐标和A点的横坐标，利用利用三角形面积公式可得OBA的面积，再根据面积的比较关系求出ODE的面积，最后根据反比例函数的比例系数的几何意义求出m的值
5、；先由点A在双曲线上，求出A点坐标；再先求出直线AB的解析式；连接DP，通过条件PDECBO，PEDCOB90，得PDAB，于是可令直线PD的解析式为yxt，则06t，求出PD的解析式；最后由解得，从而锁定D点的坐标（1）一次函数ykx3（k0）的图像经过点A，与y轴交于点B，B(0，3)，OB3点A(2，n)，2SAOBOB323SOABSODE34，SDOE4DEx轴，且点D在双曲线y上，4m0，m8（2）如答图，连接PD， 点A(2，n)在双曲线y上，2n8，n4，A(2，4)一次函数ykx3（k0）的图像经过点A，与y轴交于点B，42k3k，直线AB的解析式为yx3PDECBO，PED
6、COB90，DPEBCOPDAB令直线PD的解析式为yxt，则06tt3，直线PD的解析式为yx3由解得，点D在第一象限，D(8，1) 专题典型训练题 一、选择题1. （2019贵州省毕节市）若点A（4，y1）、B（2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）Ay1y2y3By3y2y1Cy2y1y3Dy1y3y2【答案】C【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论点A（4，y1）、B（2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y的图象上，y1，y2，y3，又，y3y1y2故选：C2.(2019安徽)已知点A（1
7、，3）关于x轴的对称点A在反比例函数y的图象上，则实数k的值为（）A3BC3D【答案】A 【解析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A的坐标为（1，3），然后把A的坐标代入y中即可得到k的值点A（1，3）关于x轴的对称点A的坐标为（1，3），把A（1，3）代入y得k133故选：A3.（2019黑龙江哈尔滨）点(1,4)在反比例函数y的图象上,则下列各点在此函数图象上的是（ ）。A（4，-1） B（-，1） C（-4，-1） D（，2）【答案】A【解析】反比例函数的图象及性质将点（1，4）代入y，k4，y，点（4，1）在函数图象上。4. （2019湖北十堰）如图，平面直角坐标系中，A（8，0）
8、，B（8，4），C（0，4），反比例函数y=kx的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k（）A20B16C12D8【答案】【解析】根据点的坐标可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值解：过点E作EGOA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则BDEFDE，BDFD，BEFE，DFEDBE90易证ADFGFEAFEG=DFFE，A（8，0），B（8，4），
9、C（0，4），ABOCEG4，OABC8，D、E在反比例函数y=kx的图象上，E（k4，4）、D（8，-k8）OGEC=-k4，AD=-k8，BD4+k8，BE8+k4BDBE=4+k88+k4=12=DFFE=AFEG，AF=12EG=2，在RtADF中，由勾股定理：AD2+AF2DF2即：（-k8）2+22（4+k8）2解得：k125.（2019湖北仙桃）反比例函数y=-3x，下列说法不正确的是（）A图象经过点（1，3）B图象位于第二、四象限C图象关于直线yx对称Dy随x的增大而增大【答案】D【解析】由点（1，3）的坐标满足反比例函数y=-3x，故A是正确的；由k30，双曲线位于二、四象限
10、，故B也是正确的；由反比例函数的对称性，可知反比例函数y=-3x关于yx对称是正确的，故C也是正确的，由反比例函数的性质，k0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的。6. （2019黑龙江省龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数 的图象上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（ ）A B C4D6【答案】C【解析】反比例函数的图象和性质；平行四边形的面积。设A(a,b)，B（a+m，b），依题意得，化简得m=4a.，ab=1，S平行四边形OABC=mb=4ab=
11、41=4，故选C.7.（2019广西贺州）已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能【答案】A【解析】若反比例函数经过第一、三象限，则所以则一次函数的图象应该经过第一、二、三象限；若反比例函数经过第二、四象限，则所以则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限故选项正确。8.（2019湖南衡阳）如图，一次函数y1kx+b（k0）的图象与反比例函数y2（m为常数且m0）的图象都经过A（1，2），B（2，1），结合图象，则不等式kx+b的解集是（）Ax1B1x0Cx1或0x2D1x0或x2【答案】C【解析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b的解集由函数图象
12、可知，当一次函数y1kx+b（k0）的图象在反比例函数y2（m为常数且m0）的图象上方时，x的取值范围是：x1或0x2，不等式kx+b的解集是x1或0x29.（2019湖北黄石）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BAx轴于点A，反比例函数y（x0）的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，点C关于直线yx的对称点C的坐标为（1，n）（n1），若OAB的面积为3，则k的值为（）AB1C2D3【答案】D【解析】根据对称性求出C点坐标，进而得OA与AB的长度，再根据已知三角形的面积列出n的方程求得n，进而用待定系数法求得k点C关于直线yx的对称点C的坐标为（1，n）（n1），C（n，
13、1），OAn，AC1，AB2AC2，OAB的面积为3，解得，n3，C（3，1），k31310.（2019内蒙古赤峰）如图，点P是反比例函数y=kx（k0）的图象上任意一点，过点P作PMx轴，垂足为M若POM的面积等于2，则k的值等于（）A4B4C2D2【答案】A【解析】POM的面积等于2，12|k|2，而k0，k411.（2019四川泸州）如图，一次函数y1ax+b和反比例函数y2=kx的图象相交于A，B两点，则使y1y2成立的x取值范围是（）A2x0或0x4Bx2或0x4Cx2或x4D2x0或x4【答案】B【解析】观察函数图象可发现：当x2或0x4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，使y1
14、y2成立的x取值范围是x2或0x4故选：B二、填空题12.（2019贵州省毕节市） 如图，在平面直角坐标中，一次函数y4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数y（k0）的图象上若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是 【答案】3.【解析】过点D作DEx轴过点C作CFy轴，可证ABODAE（AAS），CBFBAO（AAS），则可求D（5，1），C（4，5），确定函数解析式y，C向左移动n个单位后为（4n，5），进而求n的值；过点D作DEx轴，过点C作CFy轴，ABAD，BAODAE，ABAD，BO
15、ADEA，ABODAE（AAS），AEBO，DEOA，易求A（1，0），B（0，4），D（5，1），顶点D在反比例函数y上，k5，y，易证CBFBAO（AAS），CF4，BF1，C（4，5），C向左移动n个单位后为（4n，5），5（4n）5，n3，故答案为3；13.（2019湖北孝感）如图，双曲线y=9x（x0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y=kx（x0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF若OD：OB2：3，则BEF的面积为 【答案】2518【解析】设D（2m，2n），OD：OB2：3，A（3m，0），C（0，3n），B（3m，3n），双曲线y=9x（x0）经过
16、矩形OABC的顶点B，93m3n，mn1，双曲线y=kx（x0）经过点D，k4mn双曲线y=4mnx（x0），E（3m，43n），F（43m，3n），BE3n-43n=53n，BF3m-43m=53m，SBEF=12BEBF=2518mn=2518故答案为251814.（2019北京市）在平面直角坐标系中，点在双曲线上点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为_. 【答案】0【解析】关于x轴对称的点的坐标特点、双曲线上点的坐标与k的关系.A、B两点关于x轴对称，B点的坐标为.又A、B两点分别在又曲线和上；.；故填0.15.（2019贵州省安顺市） 如图，直线lx轴于点P，且与反比例函数y1k1/x（
17、x0）及y2k2/x（x0）的图象分别交于A，B两点，连接OA，OB，已知OAB的面积为4，则k1k2 第15题图【答案】8【解析】反比例函数y1（x0）及y2（x0）的图象均在第一象限内，k10，k20APx轴，SOAPk1，SOBPk2SOABSOAPSOBP（k1k2）4，解得：k1k28故答案为：816.（2019辽宁本溪）如图，在平面直角坐标系中，等边OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，SABD=，反比例函数(x0)的图象经过点B，则k的值为 【答案】.【解析】过点D、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，设OE=2a，OA=2b，根据四边形OCDE是菱形和
18、OAB为等边三角形可得DM=a和BN=b进而得出SABD=S梯形BDMN+SABN-SADM，进而求出b2的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k的值.过点D、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N.设OE=2a，OA=2b.四边形OCDE是菱形，DM=a.OAB为等边三角形，BN=b，SABD=S梯形BDMN+SABN-SADM=，解得b2=1.点B的坐标为（b，b），且点B在反比例函数的图象上，k=b2=17.（2019广西桂林）如图，在平面直角坐标系中，反比例的图象和都在第一象限内，轴，且，点的坐标为若将向下平移个单位长度，两点同时落在反比例函数图象上，则的值为【答案】【解析】
19、，点，将向下平移个单位长度，两点同时落在反比例函数图象上，三、解答题18.（2019年广西柳州市）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90得到线段AC，反比例函数y（k0，x0）的图象经过点C（1）求直线AB和反比例函数y（k0，x0）的解析式；（2）已知点P是反比例函数y（k0，x0）图象上的一个动点，求点P到直线AB距离最短时的坐标【答案】见解析。【解析】将点A（1，0），点B（0，2），代入ymx+b，可求直线解析式；过点C作CDx轴，根据三角形全等可求C（3，1），进而确定k；设与AB平行的直线y2x+h，联立2x+b，当b224
20、0时，点P到直线AB距离最短；（1）将点A（1，0），点B（0，2），代入ymx+b，b2，m2，y2x+2；过点C作CDx轴，线段AB绕点A顺时针旋转90得到线段AC，ABOCAD（AAS），ADAB2，CDOA1，C（3，1），k3，y；（2）设与AB平行的直线y2x+h，联立2x+b，2x2+bx30，当b2240时，b，此时点P到直线AB距离最短；P（，）；19. (2019黑龙江大庆)如图,反比例函数和一次函数ykx1的图象相交于A(m,2m),B两点.(1)求一次函数的表达式;(2)求出点B的坐标,并根据图象直接写出满足不等式kx1的x的取值范围.【答案】见解析。【解析】(1)因为
21、点A(m,2m)在反比例函数图象上,所以,所以m1,所以点A(1,2)反比例函数,将点A代入一次函数可得,2k1,k3,所以一次函数表达式为:y3x1;(2)令3x1,解之,得,x11,x2,所以B(,3),根据图象可得不等式kx1的解集为:x1.20.（2019吉林省）已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6,（1） 求y关于x的函数解析式；（2） 当x=4时，求y的值【答案】见解析。【解析】将x=2时，y=6代入解析式即可求出待定系数，即可求出解析式； 当x=4时，代入解析式，可求出y的值（1）y是x的反比例函数，设y=(k0），当x=2时，y=6,k=xy=12,y=(2)当x=4时，代入y=得，y=
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