1、专题08 分式方程及其应用 专题知识回顾 1分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。（1）去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值;（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原分式方程无解；若不等于零，就是原方程的根。专题典型题考法及解析 【例题1】（2019湖北孝感）方程的解为 【答案】x1【解析】解一个分式方程时，可按照“一去（去分母）、二解（解整式方程）、三检验（检查求出的根是否是增根）”的步骤求出方程的解即可注意：解分式方
2、程时，最后一步的验根很关键观察可得方程最简公分母为2x（x+3）去分母，转化为整式方程求解结果要检验两边同时乘2x（x+3），得x+34x，解得x1经检验x1是原分式方程的根【例题2】（2019黑龙东地区）已知关于x的分式方程 的解是非正数，则m的取值范围是（ ）Am3Bm3Cm3Dm3【答案】A【解析】知识点是分式方程的增根。由得x=m-3，方程的解是非正数，m-30，m3.当x-3=0即x=3时，3=m-3，m=6，m=6不在m3内，m3.故选A.【例题3】（2019广东省广州市）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每
3、小时做x个零件，下列方程正确的是（）ABCD【答案】【解析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可设甲每小时做x个零件，可得：【例题4】（2019四川自贡）解方程：1【答案】x2【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解去分母得：x22x+2x2x，解得：x2，检验：当x2时，方程左右两边相等，所以x2是原方程的解【例题5】（2019江苏扬州）“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，甲乙两工程队承担河道整治任务，甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，甲工程队整治3600米所用的
4、时间与乙工程队整治2400米所用时间相等。甲工程队每天整治河道多少米？【答案】甲工程队每天整治河道900米.【解析】解设甲工程队每天整治河道xm，则乙工程队每天整治（1500-x）m由题意得：，解得：x=900经检验的x=900是该方程的解。 专题典型训练题 一、选择题1.（2019黑龙江哈尔滨）方程的解为（）AxBxCxDx【答案】C【解析】本题考查解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键将分式方程化为，即可求解x；同时要进行验根即可求解。，2x9x3，x；将检验x是方程的根，方程的解为x2.（2019山东淄博）解分式方程2时，去分母变形正确的是（）A1+x12（x2）B1x12
5、（x2）C1+x1+2（2x） D1x12（x2）【答案】D 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果去分母得：1x12（x2）3.（2019广西贵港）若分式的值等于0，则x的值为（）A1 B0 C1 D1【答案】D 【解析】化简分式x10即可求解。x10，x1；经检验：x1是原分式方程的解。4.（2019辽宁本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元.若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是A. B. C. D. 【答案】A.
6、【解析】本题考查了分式方程的应用，设甲种型号机器人每台的价格是x万元，根据“用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于x的分式方程设甲型机器人每台x万元，根据题意，可得：5. （2019湖北十堰）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（）A15B15C20D20【答案】A【解析】考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程设原计划每天铺设钢轨x米，根据如果实际施工时每天比原计
7、划多铺设20米，就能提前15天完成任务可列方程设原计划每天铺设钢轨x米，可得：6. （2019山东省济宁市 ）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（）A45 B45C45 D45【答案】A【解析】由实际问题抽象出分式方程直接利用5G网络比4G网络快45秒得出等式进而得出答案设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是：457.（2019江苏苏州）小明5元买售价相同
8、的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】考察分式方程的应用，简单题型。找到等量关系为两人买的笔记本数量二、填空题8.（2019甘肃）分式方程的解为 【答案】x【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解去分母得：3x+65x+5，解得：x，经检验x是分式方程的解9.（2019山东省滨州市）方程+1的解是 【答案】x1【解析】本题考查了解分式方程（1）解分式方程的基本思
9、想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根去分母，得x3+x23，移项、合并，得2x2，解得x1，检验：当x1时，x20，所以，原方程的解为x110.（2019山东省德州市）方程1的解为 【答案】x4【解析】根据分式方程的解法，先将式子通分化简为1，最后验证根的情况，进而求解。1，1，1，1，x+13，x4，经检验x4是原方程的根。11.（2019湖北黄石）分式方程：1的解为 【答案】x1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解去分母得：4xx24x，即x23x40，解得：x4或x1，经检验x4是增根，分式
10、方程的解为x112.（2019四川巴中）若关于x的分式方程+2m有增根，则m的值为 【答案】1 【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x20，得到x2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值方程两边都乘x2，得x2m2m（x2）原方程有增根，最简公分母x20，解得x2，当x2时，m1故m的值是113.（2019江苏宿迁）关于x的分式方程+1的解为正数，则a的取值范围是【答案】a5且a3【解析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案去分母得：1a+2x2，解得：x5a，5a0，解得：a
11、5，当x5a2时，a3不合题意，故a5且a314.（2019贵州省安顺市）某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为 【答案】20【解析】设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，依题意，得：20故答案为：2015. (2019黑龙江绥化)甲乙两辆汽车同时从A地出发,开往相距200km的B地,甲,乙两
12、车的速度之比是4:5,结果乙车比甲车早30分钟到达B地,则甲车速度为_km/h.【答案】80【解析】分式方程的应用。设甲车速度为4x,乙车速度为5x,根据题意得:,解之,得x20,甲车速度为4x80.三、解答题16.（2019广西梧州）解方程：【答案】是分式方程的解【解析】直接利用分式方程的解法解方程得出答案正确去分母、检验是解题关键方程两边同乘以得：，则，解得：，检验：当时，故不是方程的根，是分式方程的解17.（2019湖北天门）解分式方程：【答案】见解析。【解析】去分母化分式方程为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得两边都乘以（x+1）（x1），得：2（x+1）5，解得：x，检验：当x时
13、，（x+1）（x1）0，原分式方程的解为x18.（2019贵州省毕节市）解方程：1【答案】见解析。【解析】观察可得最简公分母是2（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解去分母得，2x+2（x3）6x，x+56x，解得，x1经检验：x1是原方程的解19.（2019年陕西省）解分式方程： 【答案】【解析】去分母，解整式方程，检验根的情况，回答问题方程两边同乘，得解得 检验：当时，所以是原分式方程的解所以原分式方程的解为20.(2019黑龙江大庆)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同,求该工厂原来平均每
14、天生产多少台机器?【答案】见解析。【解析】由已知列出分式方程,解之可得.设原来每天生产x台机器,则现在每天生产(x+50)台,根据题意得:,解之,得x150,经检验,x150是原分式方程的解.答:该工厂原来平均每天生产150台机器.21.（2019吉林长春）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务。求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.【答案】300套【解析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x套，由题意得：，解得：x=300，经检验，x=300是原方程的解，且
15、符合题意。22.（2019湖南衡阳）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？【答案】见解析。【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个
16、A商品需要（x+10）元，依题意，得：，解得：x5，经检验，x5是原方程的解，且符合题意，x+1015答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80m）个，依题意，得：，解得：15m16m为整数，m15或16商店有2种购买方案，方案：购进A商品65个、B商品15个；方案：购进A商品64个、B商品16个23.（2019湖南湘西）列方程解应用题：某列车平均提速80km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶300km，提速后比提速前多行驶200km，求该列车提速前的平均速度【答案】该列车提速前的平均速度为120km/h【解析】设该列车提速前的平均速度为xkm/h，则提速后的平均速度为（x+80）km/h，根据时间路程速度结合提速前行驶300km和提速后行驶500km（300+200）所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论设该列车提速前的平均速度为xkm/h，则提速后的平均速度为（x+80）km/h，依题意，得：300x=300+200x+80，解得：x120，经检验，x120是原方程的解，且符合题意
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