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    2020中考数学 专题练习:圆的综合题(含答案)

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    2020中考数学 专题练习:圆的综合题(含答案)

    1、2020中考数学 专题练习:圆的综合题(含答案)类型一与全等结合1. 如图,O的直径AB4,C为O上一点,AC2.过点C作O的切线DC,P点为优弧上一动点(不与A、C重合)(1)求APC与ACD的度数;(2)当点P移动到劣弧的中点时,求证:四边形OBPC是菱形;(3)当PC为O的直径时,求证:APC与ABC全等第1题图(1)解:AC2,OAOBOCAB2,ACOAOC,ACO为等边三角形,AOCACOOAC60,APCAOC30,又DC与O相切于点C,OCDC,DCO90,ACDDCOACO906030;第1题解图(2)证明:如解图,连接PB,OP,AB为直径,AOC60,COB120,当点P

    2、移动到的中点时,COPPOB60,COP和BOP都为等边三角形,OCCPOBPB,四边形OBPC为菱形;(3)证明:CP与AB都为O的直径,CAPACB90,在RtABC与RtCPA中,RtABCRtCPA(HL)2. 如图,AB为O的直径,CA、CD分别切O于点A、D,CO的延长线交O于点M,连接BD、DM.(1)求证:ACDC;(2)求证:BDCM;(3)若sinB,求cosBDM的值第2题图(1)证明:如解图,连接OD,CA、CD分别与O相切于点A、D,OAAC,ODCD,在RtOAC和RtODC中,RtOACRtODC(HL),ACDC;(2)证明:由(1)知, OACODC,AOCD

    3、OC,AOD2AOC,AOD2OBD,AOCOBD,BDCM;(3)解:BDCM,BDMM,DOCODB,AOCB,ODOBOM,ODMOMD,ODBBDOC,DOC2DMO,DOC2BDM,B2BDM,如解图,作OE平分AOC,交AC于点E,作EFOC于点F,第2题解图EFAE,在RtEAO和RtEFO中,RtEAORtEFO(HL),OAOF,AOEAOC,点F在O上,又AOCB2BDM,AOEBDM,设AEEFy,sinB,在RtAOC中,sinAOC,设AC4x,OC5x,则OA3x,在RtEFC中,EC2EF2CF2,EC4xy,CF5x3x2x,(4xy)2y2(2x)2,解得yx

    4、,在RtOAE中,OEx,cosBDMcosAOE.3. 如图,O是ABC的外接圆,AC为直径,BEDC交DC的延长线于点E.(1)求证:1BCE;(2)求证:BE是O的切线;(3)若EC1,CD3,求cosDBA.第3题图(1)证明:如解图,过点B作BFAC于点F,ABBD在ABF与DBE中,ABFDBE(AAS),BFBE,BEDC,BFAC,1BCE;(2)证明:如解图,连接OB,AC是O的直径,ABC90,即1BAC90,BCEEBC90,且1BCE,BACEBC,OAOB,BACOBA,EBCOBA,EBCCBOOBACBO90,EBO90,又OB为O的半径,BE是O的切线;第3题解

    5、图(3)解:在EBC与FBC中,EBCFBC(AAS),CECF1.由(1)可知:AFDE134,ACCFAF145,cosDBAcosDCA.类型二与相似结合4. 如图,ABC内接于O,ABAC,BAC36,过点A作ADBC,与ABC的平分线交于点D,BD与AC交于点E,与O交于点F.(1)求DAF的度数;(2)求证:AE2EFED;(3)求证:AD是O的切线第4题图(1)解:ABAC,BAC36,ABCACB(18036)72,AFBACB72,BD平分ABC,DBC36,ADBC,DDBC36,DAFAFBD723636;(2)证明:EAFFBCD,AEFAED,EAFEDA,AE2EF

    6、ED;(3)证明:如解图,过点A作BC的垂线,G为垂足,ABAC,AG垂直平分BC,AG过圆心O,ADBC ,ADAG ,AD是O的切线第4题解图5. 如图,AB为半圆的直径,O为圆心,OCAB,D为的中点,连接DA、DB、DC,过点C作DC的垂线交DA于点E,DA交OC于点F.(1)求证:CED45;(2)求证:AEBD;(3)求的值第5题图(1)证明:CDACOA9045,又CEDC,DCE90,CED180904545;(2)解:如解图,连接AC,D为的中点,BADCAD4522.5,而CEDCAEACE45,CAEACE22.5,AECE,ECD90,CED45,CECD,又,CDBD

    7、,AECECDBD,AEBD;第5题解图(3)解:设BDCDx,AECEx,由勾股定理得,DEx,则ADxx,又AB是直径,则ADB90,AOFADB,1.6. 如图,AB为O的直径,P点为半径OA上异于点O和点A的一个点,过P点作与直径AB垂直的弦CD,连接AD,作BEAB,OE/AD交BE于E点,连接AE、DE,AE交CD于点F.(1)求证:DE为O的切线;(2)若O的半径为3,sinADP,求AD;(3)请猜想PF与FD的数量关系,并加以证明第6题图(1)证明:如解图,连接OD,OAOD,OADODA,OEAD,OADBOE,DOEODA,BOEDOE,在BOE和DOE中,BOEDOE(

    8、SAS),ODEOBE,BEAB,OBE90,ODE90,OD为O的半径,DE为O的切线;(2)解:如解图,连接BD,AB为O的直径,ADB90,ABDBAD90,ABCD,ADPBAD90,ABDADP,sinABDsinADP,O的半径为3,AB=6,ADAB2;第6题解图(3)解:猜想PFFD,证明:CDAB,BEAB,CDBE,APFABE,PF,在APD和OBE中,APDOBE,PD,AB2OB,PFPD,PFFD.7. 如图,O是ABC的外接圆,AB是O的直径,ODAC,OD交O于点E,且CBDCOD.(1)求证:BD是O的切线;(2)若点E为线段OD的中点,求证:四边形OACE是

    9、菱形(3)如图,作CFAB于点F,连接AD交CF于点G,求的值第7题图(1)证明:AB是O的直径,BCA90,ABCBAC90,ODAC,ACOCOD.OAOC,BACACO,又CODCBD,CBDBAC,ABCCBD90,ABD90,即OBBD,又OB是O的半径,BD是O的切线;(2)证明:如解图,连接CE、BE,OEED,OBD90,BEOEED,OBE为等边三角形,BOE60,又ACOD,OAC60,又OAOC,OAC为等边三角形,ACOAOE,ACOE且ACOE,四边形OACE是平行四边形,而OAOE,四边形OACE是菱形;第7题解图(3)解:CFAB,AFCOBD90,而ACOD,C

    10、AFDOB,RtAFCRtOBD,即FC,又FGBD,AFGABD,即FG,2,.8. 如图,AB是O的直径,点E为线段OB上一点(不与O、B重合),作ECOB交O于点C,作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P,作AFPC于点F,连接CB.(1)求证:AC平分FAB;(2)求证:BC2CECP;(3)当AB4且时,求劣弧的长度第8题图(1)证明:PF切O于点C,CD是O的直径,CDPF,又AFPC,AFCD,OCACAF,OAOC,OACOCA,CAFOAC,AC平分FAB;(2)证明:AB是O的直径,ACB90,DCP90,ACBDCP90,又BACD,ACBDCP,EBCP,CEAB,

    11、BEC90,CD是O的直径,DBC90,CBP90,BECCBP,CBECPB,BC2CECP;(3)解:AC平分FAB,CFAF,CEAB,CFCE,设CE3k,则CP4k,BC23k4k12k2,BC2k,在RtBEC中,sinEBC,EBC60,OBC是等边三角形,DOB120,.类型三与全等相似结合9. 如图,四边形ABCD内接于圆O,BAD90,AC为直径,过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E,过AC的三等分点F(靠近点C)作CE的平行线交AB于点G,连接CG.(1)求证:ABCD;(2)求证:CD2BEBC;(3)当CG,BE,求CD的长第9题图(1)证明:AC为直径,ABCAD

    12、C90,ABCBAD90,BCAD,BCACAD,又ACCA,ABCCDA(AAS),ABCD;(2)证明:AE为O的切线且O为圆心,OAAE,即CAAE,EABBAC90,而BACBCA90,EABBCA,而EBAABC,EBAABC,AB2BEBC,由(1)知ABCD,CD2BEBC;(3)解:由(2)知CD2BEBC,即CD2BC,FGBC且点F为AC的三等分点,G为AB的三等分点,即CDAB3BG,在RtCBG中,CG2BG2BC2,即3(CD)2BC2,将代入,消去CD得,BC2BC30,即2BC2BC60,解得BC或BC2(舍),将代入得,CD.10如图,AB为O的直径,C为圆外一

    13、点,AC交O于点D,BC2CDCA,BE交AC于点F.(1)求证:BC为O的切线;(2)判断BCF的形状并说明理由;(3)已知BC15,CD9,BAC36,求的长度(结果保留). 第10题图(1)证明:BC2CDCA,CC,CBDCAB,CBDBAC,又AB为O的直径,ADB90,即BACABD90,ABDCBD90,即ABBC,又AB为O的直径,BC为O的切线;(2)解:BCF为等腰三角形证明如下:,DAEBAC,又CBDCAB,BACCBD,CBDDAE,DAEDBF,DBFCBD,BDF90,BDCBDF90,BDBD,BDFBDC,BFBC,BCF为等腰三角形;(3)解:由(1)知,BC为O的切线,ABC90BC2CDCA,AC25,由勾股定理得AB20,O的半径为r10,BAC36,所对圆心角为72.则4.


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