1、垂直模型中的相似及变形 知识互联网 题型一：模型中的相似思路导航模型中的相似例题精讲【引例】 如图，是一块锐角三角形余料，边mm，高mm，要把它加工成长方形零件，使长方形的边在上，其余两个顶点分别在上求这个长方形零件面积的最大值；在这个长方形零件面积最大时，能否将余下的材料剪下再拼成（不计接缝用料及损耗）与长方形大小一样的长方形？若能，试给出一种拼法；若不能，试说明理由【解析】 设长方形零件的边，则， ，解得 所以长方形的面积当时， （mm）所以这个长方形零件面积的最大值是 ，从理论上说，恰能拼成一个与长方形大小一样的长方形拼法：作的中位线，分别过、作的垂线，垂足分别为、，过作的平行线，交、的
2、延长线于、，易知，所以将剪下拼接到的位置，即得四边形，此四边形即为与长方形零件面积最大时大小一样的长方形典题精练【例1】 如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方场内的点B，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离MN= 米 如右图，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是米和米已知小华的身高为米，那么他所住楼房的高度为 米 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，使得，点在上，并且点，在同一条直线上，若测得，则河的宽度等于ABCD 如图，正方形中，为的
3、中点，于点，则等于（）A B C D 如图1，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图2所示的四边形若，那么这个四边形的面积是_【解析】 C； ； B； D； .题型二：模型中的相似思路导航 在中，于，则在这个图形中，我们可以得到个直角三角形，这个直角三角形两两相似，即进而可以得到组比例关系，这组比例关系中，有个比例式比较特殊： ； ； ，这个比例式转化为乘积式为：； ； ，这就是著名的“射影定理”典题精练【例2】 如图，在中，为直角，于点，写出其中的一对相似三角形是 和 ；并写出它的面积比 如图，中，于，一定能确定为直角三角形的条件的个数是（ ）； ； ； A1 B2 C3
4、D4 如图，是斜边上的高，如果两条直角边，则 【解析】 答案不唯一，和，； C； 由题意，则，又，则，【例3】 如图，已知中，是边上中线，是边上的中线，且于点，于点，若，求的长【解析】 连结，即，又，且则，是边中线，是边中线，在中，题型三：三垂直的应用思路导航三垂直模型中包括三垂直全等和三垂直相似，在解题的过程中要善于发现和使用，并要学会根据具体情况构造三垂直模型.例题精讲【引例】 如图，在矩形中，点、分别在边、上，求的长 【解析】 ，；在中，典题精练【例4】 如图，梯形中，为上一点，且，若，则= 如图，已知，是线段的中点，且，那么 【解析】 10； 4【例5】 如图，正方形ABCD的边长为1
5、0，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则DE的长为 如图，一个边长分别为、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个正方形的面积是 【解析】 2 抓住相似模型，设，在中，正方形的面积为【例6】 等边ABC边长为6，P为BC边上一点，MPN=60，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F. 如图，若点P在BC边上运动，且MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长. 如图，梯形中，点 分别在线段上，且，若，求长【解析】 可证EBPPCF. 设BP=x，则 解得 . PE的长为4或 在梯形中，
6、，即： 解得：【例7】 如图，在矩形中，为中点，交于，连结与是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由设，是否存在这样的值，使得与相似， 若存在，证明你的结论，并求出的值；若不存在，说明理由【解析】 相似在矩形中，因为，、共线，所以又，又 存在，由于，只能是，由知，即反过来，在时，精讲: 相似三角形经典模型总结【探究一】模型介绍： A字型与反A字型； 8字型与反8字型； 双垂直模型与母子型； 三垂直模型与一线三等角模型； 手拉手相似模型；【探究二】模型联系： 思维拓展训练(选讲)训练1. 如图，中，于，平分交于，于求证：【解析】 由，即又和中，是的平分线，则训练2. 已知：如图，在正
7、方形中，点是边上的动点（点不与端点重合），的垂直平分线分别交于点，交的延长线于点 设，试用含的代数式表示的值； 在的条件下，当时，求的长【解析】 过点作，分别交于两点是线段的垂直平分线，H是AE的中点，M是AD的中点是的中位线，四边形是正方形，四边形是矩形，即 过点作于点，则四边形和四边形都是矩形，解得，即又解得训练3. 已知，为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图1所示） 当，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长； 在图1中，连结当，且点在线段上时，设点之间的距离为，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出自变量的范围； 当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小
8、 【解析】 中，即，过点作于E，如图则而 如图，过点分别作于，于点.，设，则，,， 答：证明：如图，过点分别作于，于点.，又，训练4. 等腰直角中，、分别为直角边、上的点，且，过、分别作的垂线，交斜边于、求证：【解析】 如图，延长至，使，连接则，于是可证于是复习巩固题型一 模型中的相似 巩固练习【练习1】 如图，是一块锐角三角形余料，边长毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？【解析】 四边形为正方形设边长为，即（毫米）答：边长为毫米题型二 模型中的相似 巩固练习【练习2】 如图，斜边上的高为，若，则 ， ， 【解析】 ，【
9、练习3】 如图，中，于，是上任意一点，连结，过作于，求证：【解析】 ，又，即又为直角三角形，又，即【练习4】 如图，在中，点在斜边上，分别作，垂足分别为、，得四边形设， 用含的代数式表示为 ； 求与之间的函数关系式，并求出的取值范围； 设四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值【解析】 ； 可证 当时，取到最大值为题型三 三垂直的应用 巩固练习【练习5】 如图，矩形中，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形点为线段上一点（不包括端点），且，求的面积 【解析】 如图，设，则，又，又即 解得，（不符合题意，舍去），即 当时， 发现别人的优点一个娇生惯养的富家女哭着跑回娘家，向父母诉说新婚丈夫的种
10、种不是。在双亲耐心地劝慰之下，仍旧表示要离婚。这时，充满智慧的爷爷从书房出来，手里拿出一大张白纸和一支毛笔交给孙女儿，并对她说：“孙女婿欺负你，很可恶是不是啊？”女孩接过纸与笔，委屈地答道：“是啊！整天欺负我，爷爷要替孙女儿做主。”爷爷慈祥地说：“好！你先照我的话去做。现在你只要想他一个缺点，就用毛笔在白纸上点一个黑点。”女孩遵照爷爷的嘱咐，拿起笔不停地在白纸上点黑点。她点了一阵子后，爷爷拿起白纸问她：“就这些，还有吗？”女孩想了想，提笔又点了三点。在她点完之后，爷爷平静地问她：“你在这张白纸上看到了什么呢？”女孩恨声答道：“黑点啊！全都是那死没良心的缺点啊！”爷爷仍旧平静地问道：“你再看一看，除了黑点之外，还看到了什么。“没有啊！除了黑点之外什么都没有了。”在爷爷不断追问之下，女孩不耐烦地说：“除了许多黑点之外，就是白纸的空白部分了。”爷爷笑道：“好极了！黑点就是缺陷点，而空白部分的大白点就是优点。你总算看到了优点。想想看，孙子婿是否也有优点呢？”女孩若有所悟，想了很久，终于勉强地点点头，开始说出丈夫的优点。阴晦慢慢扫去，语气逐渐缓和。最后终于破涕为笔。当你讨厌一个人之时，只会看到他的缺点，这是人性盲点。 在取得成功获得成就的道路上，一定要学会从周围事物上发现优点，只有这样，才能不停地学习别人，完善自己，从而取得成就！今天我学到了 13
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