1、图形中动点的运动 知识互联网 题型一:因动点产生的函数关系问题思路导航我们初二已经学过了三角形、四边形上动点产生的函数问题,初三已学习了新的图形圆,出现了一些以圆为背景,因点的运动产生的函数问题,这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系. 典题精练1. 圆中点的运动产生函数图象问题【例1】 如图,是的直径,为圆上一点点从点出发,沿运动到点,然后从点沿运动到点假如点在整个运动过程中保持匀速,则下面各图中,能反映点与点的距离随时间变化的图象大致是( )A B C D 如图,点、为圆的四等分点,动点从圆心出发,沿线段线段的路线作匀速运动设运动时间为秒,的度数为度,则下列图象中表示与的函数关系最恰
2、当的是( ) A B C D 如图,点是以为圆心,为直径的半圆上的动点,设弦的长为, 的面积为,则下列图象中,能表示与的函数关系的图象大致是( )OyxOOOxxxyyy 如图,AB为半圆所在O的直径,弦CD为定长且小于O的半径(点C与点A不重合),CFCD交AB于F,DECD交AB于E, G为半圆中点, 当点C在上运动时,设的长为,CF+DE= y,则下列图象中,能表示y与的函数关系的图象大致是( ) A B C D【解析】 B C A B2. 因动点产生的面积问题【例2】 如图1,已知ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动,同时点Q由A出
3、发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/s连接PQ,设运动的时间为t(单位:s)()解答下列问题:(1)当t为何值时,PQBC(2)设AQP面积为S(单位:cm2),当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值(3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把ABC的面积平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由(4)如图2,把AQP沿AP翻折,得到四边形AQPQ那么是否存在某时刻t,使四边形AQPQ为菱形?若存在,求出此时菱形的面积;若不存在,请说明理由【答案】AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,由勾股定理逆定理得ABC为直角三角形,C为直角(1)BP=2t,则AP=10-2tP
4、QBC,即,解得t=,当t=s时,PQBC(2)如答图1所示,过P点作PDAC于点DPDBC,即,解得PD=6-tS=AQPD=2t(6-t)= -t2+6t=-(t-)2+,当t=s时,S取得最大值,最大值为cm2(3)假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把ABC的面积平分,则有SAQP=SABC,而SABC=ACBC=24,此时SAQP=12由(2)可知,SAQP=-t2+6t,-t2+6t=12,化简得:t2-5t+10=0,=(-5)2-4110=-150,此方程无解,不存在某时刻t,使线段PQ恰好把ABC的面积平分(4)假设存在时刻t,使四边形AQPQ为菱形,则有AQ=PQ=BP=2t如
5、答图2所示,过P点作PDAC于点D,则有PDBC,即,解得:PD=6-t,AD=8-t,QD=AD-AQ=8-t-2t=8-t在RtPQD中,由勾股定理得:QD2+PD2=PQ2,即(8t)2+(6t)2=(2t)2,化简得:13t290t+125=0,解得:t1=5,t2=,t=5s时,AQ=10cmAC,不符合题意,舍去,t=由(2)可知,SAQP=-t2+6tS菱形AQPQ=2SAQP=2(-t2+6t)=2-()2+6=cm2所以存在时刻t,使四边形AQPQ为菱形,此时菱形的面积为cm2题型二:因动点产生的特殊图形问题典题精练1. 因动点产生的等腰三角形问题【例3】 如图,四边形为矩形
6、,动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动,动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动当其中一点到达终点时,运动结束过点作交于点,连接已知动点运动了秒 请直接写出的长;(用含的代数式表示) 试求的面积与时间秒的函数关系式,写出自变量的取值范围,并求出的最大值; 在这个运动过程中,能否为一个等腰三角形若能,求出所有的对应值;若不能,请说明理由【解析】 ; 其中,当时,取得最大值 由可知:若,则,解得,若,则过点作于,易得是矩形,又,则,解得(舍去),另解:过点作.,又,解得.若,则过点作于,易得是矩形,且,解得综上所述,若可以成为等腰三角形,满足条件的的值可以为2. 因动点产生的直角三角形问题
7、【例4】 如图,已知是线段上的两点,以为中心顺时针旋转点,以为中心逆时针旋转点,使、两点重合成一点,构成,设求的取值范围;若为直角三角形,求的值.【解析】 在中,解得 若为斜边,则,即,无解若为斜边,则,解得,满足若为斜边,则,解得,满足或 3. 因动点产生的特殊四边形问题【例5】 如图,在矩形中,分别从,出发沿,方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止已知在相同时间内,若,则,CM=3xcm,当为何值时,以,为两边,以矩形的边(或)的一部分为第三边构成一个三角形;当为何值时,以,为顶点的四边形是平行四边形;以,为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求的值
8、;如果不能,请说明理由【解析】 当点与点重合或点与点重合时,以,为两边,以矩形的边(或)的一部分为第三边可能构成一个三角形当点与点重合时,由得,(舍去)因为,此时点与点不重合所以符合题意 当点与点重合时,由得此时,不符合题意故点与点不能重合所以所求的值为 由知,点只能在点的左侧,当点在点的左侧时,由,解得当时,四边形是平行四边形 当点在点的右侧时,由, 解得当时四边形是平行四边形所以当时,以,为顶点的四边形是平行四边形 过点,分别作的垂线,垂足分别为点,由于,所以点一定在点的左侧若以,为顶点的四边形是等腰梯形, 则点一定在点的右侧,且, 即解得由于当时, 以,为顶点的四边形是平行四边形,所以以
9、,为顶点的四边形不能为等腰梯形 【例6】 如图,在中,动线段(端点从点开始)沿边以的速度向点运动,当端点到达点时运动停止过点作交于点(当点与点重合时,与重合),连接,设运动的时间为秒()直接写出用含的代数式表示线段、的长;在这个运动过程中,能否为等腰三角形?若能,请求出的值;若不能,请说明理由;设、分别是、的中点,求整个运动过程中,所扫过的面积【解析】,分三种情况讨论:当时,有,点与点重合,当时,解得: 当时,有,即,解得: 综上所述,当、或秒时,为等腰三角形设是的中点,连接,又,点沿直线运动,也随之平移如图,设从位置运动到位置,则四边形是平行四边形 、分别是、的中点,且分别过点、作,垂足为,
10、垂足为,延长交于点,则四边形是矩形,当时,;当时,整个运动过程中,所扫过的面积为复习巩固题型一 因动点产生的函数关系问题 巩固练习【练习1】 如图,直线与两坐标轴分别交于、两点,边长为2的正方形沿着轴的正方向移动,设平移的距离为,正方形与AOB重叠部分的面积为则表示与的函数关系的图象大致是( ) 【解析】 D.ABCDEF题型二 因动点产生的特殊图形问题 巩固练习【练习2】 如图,在矩形中,(是大于的常数),为线段上的动点(不与、重合)连结,作,与射线交于点,设,求关于的函数关系式; 若,求为何值时,的值最大,最大值是多少?若,要使DEF为等腰三角形,m的值应为多少?【解析】 因为与都是的余角
11、,所以又因为,所以因为,即整理,得关于的函数关系为 如图1,当时,因此当时,取得最大值为2 若,那么整理,得解得或要使为等腰三角形,只存在的情况因为,所以,即将代入,得(如图2);将代入,得(如图3)【练习3】 如图,已知中,P、Q分别是边AB、BC上的动点,且点P不与A、B重合,点Q不与B、C重合,当CQ的长取不同的值时,是否可能为直角三角形?若可能,请求出CQ的范围;若不能,说明理由【解析】 为直角三角形,可能有三种情况,但点P不与点A重合,所以么不可能为直角,因此有两种情况: 若为直角,如图,则CQ的范围为 若为直角,则点P在以CQ为直径的上,而点P在边AB上,就必须与边AB有公共点,即
12、与边AB相切或相交,我们先从与边AB相切入手求出CQ的长:如图,连结OP,则,得设,得,解得,若为直角,CQ的范围为【点评】 从相等到不等求范围,要抓住变化中图形的特殊位置,而在直线与圆的位置关系中则以相切作为解题的突破口【练习4】 已知:如图,在直角梯形中,以为原点建立平面直角坐标系,三点的坐标分别为,点为线段的中点,动点从点出发,以每秒1个单位的速度,沿折线的路线移动,移动的时间为秒求直线的解析式;若动点在线段上移动,当为何值时,四边形的面积是梯形面积的?动点从点出发,沿折线的路线移动过程中,设的面积为,请直接写出与的函数关系式,并指出自变量的取值范围;当动点在线段上移动时,能否在线段上找
13、到一点,使四边形为矩形?请求出此时动点的坐标;若不能,请说明理由ABDCOxy(此图备用)ABDCOPxy【解析】 直线的解析式为 如图1,过点作轴,垂足为在中,所以梯形的面积解方程,解得因此,当时,四边形的面积是梯形的面积的 如图1, 当在线段上时,; 如图2,当在线段上时,; 如图3,当在线段上时, 四边形不可能成为矩形说理如下:如图4,当时,作交轴于在中,在中,所以,因此四边形不是矩形【练习5】 已知:如图,在中,点由出发沿方向向点匀速运动,速度为1cm/s;点由出发沿方向向点匀速运动,速度为2cm/s;连接若设运动的时间为()AQCPB图AQCPB图如图,连接,并把沿翻折,得到四边形,
14、那么是否存在某一时刻,使四边形为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由【解析】 如图过点P作PMAC于,PNBC于N,P BAQPCMN若四边形PQP C是菱形,那么PQPCPMAC于M,QM=CMPNBC于N,易知PBNABC, ,解得:当时,四边形PQP C 是菱形 此时,在RtPMC中,菱形PQP C边长为课后测【测试1】如图:等边中,边长,点在线段上,点在射线上,点沿方向从点以每秒1个单位的速度向终点运动,点沿方向从点以每秒2个单位的速度运动,当点停止时点也停止运动,设运动时间为秒,若、三点围成的图形的面积为来表示,则与的图象是()ABC【解析】B【测试2】 矩形中,点是
15、线段上一动点,为的中点,的延长线交于 求证:; 若厘米,厘米,从点出发,以1厘米/秒的速度向运动(不与重合)设点运动时间为秒,请用表示的长;并求为何值时,四边形是菱形【解析】 证明:四边形是矩形,又, 四边形是矩形,当四边形是菱形时,又,即,解得,即运动时间为秒时,四边形是菱形 第十七种品格:成就换个思维想问题,成功马上就来临有一家效益相当好的大公司,为扩大经营规模,决定高薪招聘营销主管。广告一打出来,报名者云集。 面对众多应聘者,招聘工作的负责人说:“相马不如赛马,为了能选拔出高素质的人才,我们出一道实践性的试题:就是想办法把木梳尽量多的卖给和尚。”绝大多数应聘者感到困惑不解,甚至愤怒:出家
16、人要木梳何用?这不明摆着拿人开涮吗?于是纷纷拂袖而去,最后只剩下三个应聘者:甲、乙和丙。负责人交待:“以10日为限,届时向我汇报销售成果。” 10日到。负责人问甲:“卖出多少把?”答:“1把。”“怎么卖的?”甲讲述了历尽的辛苦,游说和尚应当买把梳子,无甚效果,还惨遭和尚的责骂,好在下山途中遇到一个小和尚一边晒太阳,一边使劲挠头皮。甲灵机一动,递上木梳,小和尚用后满心欢喜,于是买下一把。负责人问乙:“卖出多少把?”答:“10把。”“怎么卖的?”乙说他去了一座名山古寺,由于山高风大,进香者的头发都被吹乱了,他找到寺院的住持说:“蓬头垢面是对佛的不敬。应在每座庙的香案前放把木梳,供善男信女梳理鬓发。”住持采纳了他的建议。那山有十座庙,于是买下了10把木梳。负责人问丙:“卖出多少把?”答:“1000把。”负责人惊问:“怎么卖的?”丙说他到一个颇具盛名、香火极旺的深山宝刹,朝圣者、施主络绎不绝。丙对住持说:“凡来进香参观者,多有一颗虔诚之心,宝刹应有所回赠,以做纪念,保佑其平安吉祥,鼓励其多做善事。我有一批木梳,您的书法超群,可刻上积善梳三个字,便可做赠品。”住持大喜,立即买下1000把木梳。得到“积善梳”的施主与香客也很是高兴,一传十、十传百,朝圣者更多,香火更旺。 把木梳卖给和尚,听起来真有些匪夷所思,但不同的思维,却有不同的结果。 今天我学到了 15