1、图形中的二次函数解析式与复杂图象变换 知识互联网 题型一：二次函数的解析式思路导航二次函数的三种解析式示例剖析一般式顶点式或交点式其中是方程的两个实根例题精讲【引例】 如图，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，若,则抛物线的解析式为 . 【解析】 当时，与轴交于，点的坐标为，点的坐标为把点和代入得解得，抛物线的解析式为.典题精练【例1】 根据给定条件求出下列二次函数解析式 抛物线，当1x5时，y值为正；当x1或x5时，y值为负； 抛物线与轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线的对称点恰好是点M； 如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C在x轴上，点A，E在y轴上，OBOC=13，AE=7，且
2、tanOCE=3，tanABO=2，抛物线经过A，B，C. 【解析】 抛物线与y轴交点为M 抛物线与x轴的交点为和，它们关于直线的对称点分别为和.由题意，可得：，即m=2或m=3. 【例2】 抛物线的最低点A的纵坐标是3；则抛物线的解析式为 . (2013房山二模)如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且则抛物线的解析式为 .设抛物线，其中，与轴交于、两点（在的左侧），若点的坐标为，且，求抛物线的解析式.【解析】 .由题意可知：点坐标，抛物线对称轴，轴，点坐标，则在中，点坐标为， 代入抛物线解析式得，解得抛物线解析式为 当时，得，,或 抛物线与轴的交点分别为、，在的左侧，则，
3、解得 ，抛物线的解析式为题型二：二次函数的图象变换思路导航 平移“左加右减，上加下减”对称关于轴对称的图象关于轴对称后得到图象的解析式是关于轴对称的图象关于轴对称后得到图象的解析式是关于原点对称的图象关于原点对称后得到图象的解析式是旋转主要旋转和.例题精讲【引例】 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点求该二次函数的解析式；将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标【解析】 设二次函数解析式为， 二次函数图象过点，得 二次函数解析式为，即 令，得，解方程，得， 二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和二次函数图象向右平
4、移个单位后经过坐标原点平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为典题精练【例3】 把抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，则得到的抛物线经过点 和，求、的值 把抛物线向左平移个单位，向下平移个单位后，所得抛物线为，其图象经过点，求原解析式【解析】 把向左平移个单位，向上平移个单位，得到的抛物线为于是，由题设得解得即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位 首先，抛物线经过点，可求得，设原来的二次函数为，可得解得所以原二次函数为，即说明：将抛物线向右平移个单位，得到的抛物线是；向左平移个单位得到；向上平移个单位，得到；向下平移个单位得到【例4】 在同一坐标平面内，图象不可能由函数的图象通过平移变换
5、、轴对称变换得到的函数是（）AB CD将抛物线绕它的顶点旋转，所得抛物线的解析式是（ ）A BC D已知抛物线的对称轴为，且与轴只有一个交点.求的值；把抛物线沿轴翻折，再向右平移个单位，向下平移个单位，得到新的抛物线，求新抛物线的解析式.【解析】 D D 抛物线的对称轴为， 抛物线与轴只有一个交点 ， ，沿轴翻折后得到，向右平移个单位，向下平移个单位得到抛物线的解析式为 题型三：二次函数中的特殊三角形例题精讲【引例】 已知抛物线的顶点为，点、是抛物线上的动点，若是等边三角形，求的边长【分析】 要注意等边三角形和抛物线具有轴对称这一特性【解析】 点的坐标为，不妨设点在对称轴的右侧，设抛物线的对称
6、轴为与交于点在中，设，把代入（舍），.【点评】 抛物线定了，相对应的等边三角形就定了任意抛物线都可以通过平移得到通过设点坐标代入解析式可得等边三角形的边长为典题精练【例5】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的三个顶点、，则的值为 【解析】 连接交于点，（图略）首先由可得点，又根据正方形的性质可得，所以有，点，代入抛物线解析式可得：，解得【例6】 已知抛物线的顶点为，点、是抛物线上的动点，点为直角坐标系内一点，若四边形是正方形，求正方形的面积【分析】 要注意正方形和抛物线具有轴对称这一特性【解析】 点的坐标为，不妨设点在对称轴的右侧，设抛物线的对称轴交于点在 中，设，则把代入得
7、解得（舍），正方形的面积为【点评】 其实抛物线定了，相对应的正方形就定了任意抛物线都可以通过平移为通过设点坐标代入解析式可得正方形的对角线为【例7】 若如图，抛物线m：与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为M（3，），将抛物线m绕点B旋转180，得到新的抛物线n，它的顶点为D； 求抛物线n的解析式； 设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF如果P点的坐标为（x，y），PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值 【解析】 抛物线的顶点为，的解析式为=，. 抛物线是由抛物线绕
8、点旋转得到，的坐标为，抛物线的解析式为：，即. 点与点关于点中心对称，.设直线的解析式为，则 . 又点坐标为，S=，当时，S有最大值， 但,所以的面积S没有最大值精讲：抛物线的内接特殊三角形探究【探究对象】抛物线的内接特殊三角形【探究过程】【探究1】以抛物线顶点为顶点的对称图形变式1已知抛物线的顶点为，点、是抛物线上的动点，若是等边三角形，求的边长变式2变式1中，如果把换成，若是等边三角形时，则的边长会发生怎样的变化？变式2前面的问题的换成等腰直角三角形或正方形时，它们的边长又会发生怎样的变化？总结：(1) 抛物线定了，相对应的等边三角形就定了任意抛物线都可以通过平移得到通过设点坐标代入解析式
9、可得等边三角形的边长为(2) 其实抛物线定了，相对应的正方形就定了任意抛物线都可以通过平移为通过设点坐标代入解析式可得正方形的对角线为【探究2】抛物线与轴两个交点和顶点确定的三角形变式1已知，二次函数与轴的两个交点、都在原点右侧，顶点为。当是等腰直角三角形时，求判别式 变式2 变式1中，如果把换成，是等腰直角三角形时，判别式的值会发生变化吗？变式3前面的问题中当为等边三角形时，的判别式又是多少？变式4前面的问题中当为顶角为120的等腰三角形时，的判别式又是多少？总结：(1) 当与轴交于、两点，是顶点，当为等腰直角三角形时，则(2) 当与轴交于、两点，是顶点，当为等边三角形时，则(3) 当与轴交
10、于、两点，是顶点，当为顶角为120的等腰三角形时，则【探究3】抛物线与坐标轴的三个交点确定的三角形变式1已知抛物线与轴正、负半轴分别交于、两点，与轴负AyxBOC半轴交于点若，求抛物线解析式分析：由双垂图联想到射影定理，结合条件易想到，可求点坐标再利用交点式求解析式变式2若上例中把条件，去掉，其它条件不变，则、之间满足什么关系？变式3请你设计一种平移方案，将平移，使其与坐标轴三个交点为直角三角形三个顶点分析：上下平移开口方向和对称轴不变，则、不变，只需求出平移后的解析式，再确定平移了多少个单位总结：当抛物线与轴有交点、，和轴交于点，一般结论：是复习巩固题型一 二次函数的解析式 巩固练习【练习1
11、】 抛物线与轴的交点为 ，且顶点在直线上，则抛物线的解析式为 .【解析】 ，与轴的交点为和，抛物线的解析式为且对称轴为，当时，故抛物线的顶点为，把代入中得，抛物线的解析式为.【练习2】 如图，四边形是菱形，点的坐标是，以点为顶点的抛物线恰经过轴上的点、 求点的坐标； 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式【解析】 连接，在菱形ABCD中， 由抛物线对称性可知 都是等边三角形 点的坐标为 由抛物线的顶点为，可设抛物线的解析式为由可得，把代入上式，解得 设平移后抛物线的解析式为，把代入上式得平移后抛物线的解析式为 即题型二 二次函数的图象变换 巩固练习【练习3】 已知二次函数（为常数
12、），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”下图分别是当，时二次函数的图象它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 【解析】 【练习4】 二次函数的图象所示，请将此图象向右平移个单位，再向下平移个单位 画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式 求经过两次平移后的图象与轴的交点坐标，指出当满足什么条件时，函数值大于？【解析】 画图如图所示：依题意得：平移后图象的解析式为： 当时，平移后的图象与轴交于两点，坐标分别为和由图可知，当或时，二次函数的函数值大于题型三 二次函数中的特殊三角形 巩固练习【练习5】 已知抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为、（点在点的左边），若为等腰直角三角形，
13、求的值在的条件下，若绕点旋转，两边交抛物线于、（不与点、重合），探索和的大小关系，并证明【解析】 点的坐标为，代入得 结论：作的角平分线交于，分别从点、点引的垂线段、在和中，在和中，即，课后测【测试1】 把抛物线的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的图象的解析式是，则_【答案】11【测试2】 设抛物线，把它向右平移个单位，或向下移个单位，都能使抛物线与直线恰好有一个交点，求、的值 把抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，则得到的抛物线经过点和，求、的值 【解析】 抛物线向右平移个单位后，得到由得方程，即因为抛物线与直线恰好有一个交点，所以上述方程有两个相同的实数根，故判别式，得，这时
14、的交点为抛物线向下平移个单位，得到抛物线，于是得方程，即，该方程有两个相同的实数根，故判别式，得，这时的交点为 把向左平移个单位，向上平移个单位，得到的抛物线为于是，由题设得解得即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位 第十七种品格：成就当代保尔张海迪张海迪，1955年秋天在济南出生。5岁患脊髓病，胸以下全部瘫痪。从那时起，张海迪开始了她独到的人生。她无法上学，便在在家自学完中学课程。15岁时，海迪跟随父母，下放(山东)聊城农村，给孩子当起教书先生。她还自学针灸医术，为乡亲们无偿治疗。后来，张海迪自学多门外语，还当过无线电修理工。 在残酷的命运挑战面前，张海迪没有沮丧和沉沦，她以顽强的毅
15、力和恒心与疾病做斗争，经受了严峻的考验，对人生充满了信心。她虽然没有机会走进校门，却发愤学习，学完了小学、中学全部课程，自学了大学英语、日语、德语和世界语，并攻读了大学和硕士研究生的课程。1983年张海迪开始从事文学创作，先后翻译了海边诊所等数十万字的英语小说，编著了向天空敞开的窗口、生命的追问、轮椅上的梦等书籍。其中轮椅上的梦在日本和韩国出版，而生命的追问出版不到半年，已重印3次，获得了全国“五个一工程”图书奖。在生命的追问之前，这个奖项还从没颁发给散文作品。最近，一部长达30万字的长篇小说绝顶，即将问世。从1983年开始，张海迪创作和翻译的作品超过100万字。 为了对社会作出更大的贡献，她先后自学了十几种医学专著，同时向有经验的医生请教，学会了针灸等医术，为群众无偿治疗达1万多人次。 1983年，中国青年报发表是颗流星，就要把光留给人间，张海迪名噪中华，获得两个美誉，一个是“八十年代新雷锋”，一个是“当代保尔”。 今天我学到了 13
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