1、图形的动点问题知识互联网 题型一：点运动产生函数思路导航我们初二已经学过了三角形、四边形上动点产生的函数问题，初三已学习了新的图形圆，出现了一些以圆为背景，因点的运动产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系. 典题精练【例1】 如图，是的直径，为圆上一点点从点出发，沿运动到点，然后从点沿运动到点假如点在整个运动过程中保持匀速，则下面各图中，能反映点与点的距离随时间变化的图象大致是（ ）A B C D 如图，点、为圆的四等分点，动点从圆心出发，沿线段线段的路线作匀速运动设运动时间为秒，的度数为度，则下列图象中表示与的函数关系最恰当的是（ ） A B C D 如图，点是以为圆心
2、，为直径的半圆上的动点，设弦的长为， 的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）OyxOOOxxxyyy 如图，AB为半圆所在O的直径，弦CD为定长且小于O的半径(点C与点A不重合)，CFCD交AB于F，DECD交AB于E， G为半圆中点, 当点C在上运动时，设的长为，CF+DE= y，则下列图象中，能表示y与的函数关系的图象大致是（ ） A B C D【解析】 B C A B题型二：点运动与面积变化【例2】 如图1，已知ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/
3、s连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（）解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC（2）设AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由（4）如图2，把AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由【解析】AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，由勾股定理逆定理得ABC为直角三角形，C为直角（1）BP=2t，则AP=10-2tPQBC，即，解得t=，当t=s时，PQBC（2）如
4、答图1所示，过P点作PDAC于点DPDBC，即，解得PD=6-tS=AQPD=2t(6-t)= -t2+6t=-(t-)2+，当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分，则有SAQP=SABC，而SABC=ACBC=24，此时SAQP=12由（2）可知，SAQP=-t2+6t，-t2+6t=12，化简得：t2-5t+10=0，=(-5)2-4110=-150，此方程无解，不存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t如答图2所示，过P点作PDAC于点D，则有PDBC，
5、即，解得：PD=6-t，AD=8-t，QD=AD-AQ=8-t-2t=8-t在RtPQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（8t）2+（6t）2=（2t）2，化简得：13t290t+125=0，解得：t1=5，t2=，t=5s时，AQ=10cmAC，不符合题意，舍去，t=由（2）可知，SAQP=-t2+6tS菱形AQPQ=2SAQP=2（-t2+6t）=2-()2+6=cm2所以存在时刻t，使四边形AQPQ为菱形，此时菱形的面积为cm2【例3】 已知：在如图1所示的平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，（其中），点在轴的正半轴上动点从点出发，在四边形的边上依次沿的顺序向点移动，当点与
6、点重合时停止运动设点移动的路径的长为，的面积为，与的函数关系的图象如图2所示，其中四边形是等腰梯形 结合以上信息及图2填空：图2中的； 求、两点的坐标及图2中的长； 若是的角平分线,且点与点分别是线段与射线上的两个动点，直接写出的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由. 【解析】 四边形是等腰梯形可知四边形是平行四边形由已知可得：,连接交轴于点又， , ,且四边形是菱形(3) 如图3，在上找一点使, 连接 平分根据垂线最短可知，是点到的垂线段时，点是与的交点的最小值题型三：点运动产生特殊图形典题精练1. 因动点产生的等腰三角形问题【例4】 如图，四边形为矩形，动点从点出发以个单位/秒的速度沿向
7、终点运动，动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动当其中一点到达终点时，运动结束过点作交于点，连接已知动点运动了秒 请直接写出的长；（用含的代数式表示） 试求的面积与时间秒的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值； 在这个运动过程中，能否为一个等腰三角形若能，求出所有的对应值；若不能，请说明理由【解析】 ； 其中，当时，取得最大值 由可知：若，则，解得，若，则过点作于，易得是矩形，又，则，解得（舍去），另解：过点作.，又，解得.若，则过点作于，易得是矩形，且，解得综上所述，若可以成为等腰三角形，满足条件的的值可以为2. 因动点产生的直角三角形问题【例5】 如图，已知是线段上的两点，
8、以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时针旋转点，使、两点重合成一点，构成，设求的取值范围；若为直角三角形，求的值；探究：的最大面积是多少？【解析】 在中，解得 若为斜边，则，即，无解若为斜边，则，解得，满足若为斜边，则，解得，满足或 在中，作于，设，的面积为，则若点在线段上，则，即，即（）当时（满足），取最大值，从而取最大值 若点在线段上，则同理可得，（），易知此时综合得，的最大面积为 3. 因动点产生的特殊四边形问题【例6】 如图，在矩形中，分别从，出发沿，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若，则，CM=3xcm，当为何值时，以，为两
9、边，以矩形的边（或）的一部分为第三边构成一个三角形；当为何值时，以，为顶点的四边形是平行四边形；以，为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求的值；如果不能，请说明理由【解析】 当点与点重合或点与点重合时，以，为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点与点重合时，由得，（舍去）因为，此时点与点不重合所以符合题意 当点与点重合时，由得此时，不符合题意故点与点不能重合所以所求的值为 由知，点只能在点的左侧，当点在点的左侧时，由，解得当时，四边形是平行四边形 当点在点的右侧时，由， 解得当时四边形是平行四边形所以当时，以，为顶点的四边形是平行四边形 过点，分别作的垂线，垂足分别为点
10、，由于，所以点一定在点的左侧若以，为顶点的四边形是等腰梯形， 则点一定在点的右侧，且， 即解得由于当时， 以，为顶点的四边形是平行四边形，所以以，为顶点的四边形不能为等腰梯形 【例7】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，连结 求证：是等边三角形；点在线段的延长线上，连结，作的垂直平分线，垂足为点，并与轴交于点，分别连结、若，直接写出的度数；若点在线段的延长线上运动（不与点重合），的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数； 在的条件下，若点从点出发在的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度与交于点，设的面积为，的面积为，运动时间为秒时，求
11、关于的函数关系式【解析】 证明：如图，一次函数的图象与轴交于点，xOABC1PEy1又轴，在中，是等边三角形 答： 解：如图，作于点，轴垂直平分，是等边三角形，垂直平分，垂直平分，在中，作轴于点， 在中，在中，又，复习巩固题型一 点运动产生函数 巩固练习【练习1】 如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，边长为2的正方形沿着轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形与AOB重叠部分的面积为则表示与的函数关系的图象大致是（ ） （石景山期末）【解析】 D.【练习2】 如图，在半径为1的中，直径把分成上、下两个半圆，点是上半圆上一个动点（与点、不重合），过点作弦，垂足为，的平分线交于点，设，下列图象中，最
12、能刻画与的函数关系的图象是（ ） A B C D【解析】 A.题型二 点运动与面积变化 巩固练习【练习3】 已知：如图，在中，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接若设运动的时间为（），解答下列问题：当为何值时，？设的面积为（），求与之间的函数关系式；是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由.【解析】 在中，由题意知：，若，则， 过点作于， 若把周长平分，则，解得： 若把面积平分，则， 即代入上面方程不成立， 不存在这一时刻，使线段把的周长和面积同时平分 题型三 点运动产生特殊图形 巩固练习【练习4】 如
13、图，在梯形ABCD中，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE若设运动时间为（s）（）解答下列问题：过作，交于当为何值时，四边形是平行四边形？设=（cm2），求与之间的函数关系式，并求为何值时，有最大值，最大值是多少；连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由【解析】 四边形是平行四边形， 而，当，四边形是平行四边形平行且等于，即，=当时，有最大值 在和中，在运动过程中，五边形的面积不变【练习5】 已知：如图，在直角梯形中，以为原点建立平面直角坐标系，三点的坐标分别为，点为线段的中点，动点从点
14、出发，以每秒1个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时间为秒求直线的解析式；动点在线段上移动，为何值时，四边形的面积是梯形面积的？动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请直接写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；当动点在线段上移动时，能否在线段上找到一点，使四边形为矩形？请求出此时动点的坐标；若不能，请说明理由ABDCOxy（此图备用）ABDCOPxy 【解析】 直线的解析式为 如图1，过点作轴，垂足为在中，所以梯形的面积解方程，解得因此，当时，四边形的面积是梯形的面积的 如图1， 当在线段上时，； 如图2，当在线段上时，； 如图3，当在线段上时， 四边形不可能成为矩形说理如下：如图4，当时，作交轴于在中，在中，所以，因此四边形不是矩形15
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