1、二次函数与图形综合 知识互联网 题型一：坐标系中（函数图象上）动点产生三角形问题思路导航坐标系中（函数图象上）动点产生三角形的问题我们主要讲解3类：因动点产生的等腰三角形问题因动点产生的直角三角形问题因动点产生的相似三角形问题.一、方法与技巧：已知线段和直线，在直线上找点，使为等腰三角形 几何法：分别以点、为圆心，为半径作圆，找点，（检验） 作线段的垂直平分线，找点（检验）代数法：设点的坐标为，求出、的长度，分类讨论： ；求出点（检验）二、方法与技巧：已知线段和直线，在直线上找点，使为直角三角形几何法：分别过点、作线段的垂线，找点，（检验） 以线段为直径作圆，利用直径所对的圆周角为，找点，（检
2、验）代数法：设点的坐标为，求出、的长度，分类讨论： ；.求出点（检验）三、方法与技巧：以点、为顶点的三角形和相似 根据“两组角对应相等，两三角形相似”进行分类讨论：，.（检验）典题精练【例1】 已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴交于点 求此二次函数关系式和点的坐标； 在轴的正半轴上是否存在点使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 把点代入二次函数有：得： 所以二次函数的关系式为：当时，点的坐标为 如图：作的垂直平分线交轴于点，连接，则：设，则，在直角中，即：解得： 所以点的坐标为： 【点评】 可以把“是以为底边的等腰三角形”拓展为“是等腰三角形”.
3、【例2】 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数的图象交于点和点当时，求反比例函数的解析式；要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大，求应满足的条件以及的取值范围；设二次函数的图象的顶点为，当是以为斜边的直角三角形时，求的值【解析】当时，在反比例函数图象上，设反比例函数的解析式为：，代入得：，解得：，反比例函数的解析式为：，要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大，二次函数，的对称轴为：直线，要使二次函数满足上述条件，在的情况，必须在对称轴左边，即时，才能使得随着的增大而增大，综上所述，且；由可得：，是以为斜边的直角三角形，点与点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）原点平分，作，解
4、得：【例3】 如图，在矩形中，沿直线折叠矩形的一边，使点B落在边上的点E处分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O，D，C三点求的长及抛物线的解析式；一动点P从点E出发，沿以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【解析】四边形为矩形，由题意得，由勾股定理易得设，则，由勾股定理，得解之得，抛物线过点，抛物线过点，解之得抛物线的解析式为：，由可得，而，当时，即，解得当时，即，解得当或时，以，为顶点的三角形与相似 题型二：坐
5、标系中（函数图象上）动点产生四边形问题思路导航 坐标系中（函数图象上）动点产生四边形问题：主要讲解两类问题：因动点产生的平行四边形问题 因动点产生的梯形问题.因动点产生的平行四边形问题的方法与技巧：已知以点、点为顶点的四边形为平行四边形，寻找平行四边形的另外两个顶点为边：平移型，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形为对角线：旋转型，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形因动点产生的梯形问题的方法与技巧：如图，已知和直线，在直线上找点，使以点、为顶点的四边形为梯形分别过点、作、的平行线与直线相交检验以点、为顶点的四边形是否为平行四边形典题精练【例4】 在平面直角坐标系中，以点为圆心、半径为
6、的圆与轴相交于点、（点在点的左边），与轴相交于点、（点在点的下方）求以直线为对称轴，且经过点、的抛物线的解析式；若为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点，使得以点、为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由 【解析】 如图，圆以点为圆心，半径为5，此圆与轴交于点，连接OD在中，点的坐标为 设抛物线的解析式为，抛物线经过点，且对称轴为，解得， 抛物线的解析式为 存在符合条件的点F，使得以点、为顶点的四边形是平行四边形情况1：当为平行四边形的一边时，设点，将点、分别代入抛物线的解析式，得， 情况2：当为平行四边形的对角线时，又点在抛物线上，点必为抛物线的顶点
7、综上所述，使得以点、为顶点的四边形是平行四边形【例5】 抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为求此抛物线的解析式；试判断的形状，并证明你的结论；在坐标轴上是否存在点使得以点、为顶点的四边形是梯形若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【解析】 直线与坐标轴的两个交点坐标分别为，又抛物线经过这两个点，则可得，解得，此抛物线的解析式为 由可知：点坐标为，顶点的坐标为，过点作轴于，可知，是直角三角形 分以下三种情况讨论：若为底，则与轴交于点，由易知，直线的解析式为，直线的解析式为，若为底，则与轴交于点，由易知，直线的解析式为，直线的解析式为，若为底，则与轴、轴分别
8、交于，已知直线的解析式为，直线的解析式为，综上所述，满足以为顶点的四边形是梯形的点坐标为，【例6】 如图，已知抛物线：的顶点为，与轴相交于两点（点在点的左边），点的横坐标是yxAOBPM图1C1C2C3图 yxAOPPN图2C1C4QEF图求点坐标及的值；如图，抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为，当点关于点成中心对称时，求的解析式；如图，点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线抛物线的顶点为，与轴相交于两点（点在点的左边），当以点为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标yxAOBPM图C1C2C3HG【解析】 由抛物线：得顶点的坐标为 点在抛物线上
9、，解得连接，作轴于，作轴于点关于点成中心对称，过点，且，顶点的坐标为yxAOBPN图QEFHGK抛物线关于轴对称得到，再平移得到抛物线的解析式为抛物线由绕着轴上的点旋转得到顶点关于点成中心对称由得点的纵坐标为，设点坐标为作轴于，作轴于，作于旋转中心在轴上，点坐标为，坐标为，坐标为，根据勾股定理得，当时，解得，点坐标为当时，解得，点坐标为，综上，当点坐标为或时，以点为顶点的三角形是直角三角形复习巩固题型一 坐标系中（函数图象上）动点产生三角形问题 巩固练习【练习1】 如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点右侧），过点的直线交抛物线于另一点，点的坐标为求的值及直线的函数关系式； 是线段上一动点，过点
10、作轴的平行线，交抛物线于点，交轴于点求线段长度的最大值；在抛物线上是否存在这样的点，使得与相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由【解析】 由题意得， 抛物线的函数解析式为，与轴交于、 设直线的解析式为，则有，解得，直线的解析式为 设的横坐标为，则， 当时，的最大值为 ；提示：通过观察容易得到，需要计算过点且与垂直的直线与抛物线的交点，比较复杂；亦或过作的垂线，垂足为，则，得到，设点的横坐标为，通过点坐标与线段的转化，利用比例关系求出，进一步求出点坐标题型二 坐标系中（函数图象上）动点产生四边形问题 巩固练习【练习2】 已知：如图所示，关于的抛
11、物线与轴交于点、点，与轴交于点求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；在的条件下直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点，是否存在以、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由【解析】 根据题意，得，解得 抛物线的解析式为，顶点坐标是设直线的解析式为直线经过点，点，解得，存在，【练习3】 在平面直角坐标系中，以点为圆心、半径为的圆与轴相交于点、（点在点的左边），与轴相交于点、（点在点的下方）求以直线为对称轴，且经过点、的抛物线的解析式；若点是该抛物线对称轴上的一个动点，求的取值范
12、围；若为这个抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点，使得以点、为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【解析】 由的圆心为，半径为，及各点的位置可知，抛物线的对称轴是，且经过点，该抛物线一定经过点，设抛物线解析式为，代入，可得，解得，抛物线解析式为 由两点关于对称轴对称，则连结与对称轴交于一点，此时最小，又知，的取值范围是 若，则点横坐标为或，这两点关于对称轴对称，点的坐标为若互相平分，则点在对称轴上，点坐标为存在点，坐标为【练习4】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为点，与x轴的交点为点A，过点作轴的平行线，交抛物线于点，连接现有两动点，分别从，
13、两点同时出发，点以每秒4个单位的速度沿向终点移动，点以每秒1个单位的速度沿向点移动，点停止运动时，点也同时停止运动，线段，相交于点，过点作，交于点，射线交轴于点设动点，移动的时间为（单位：秒）求，三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；当为何值时，四边形为平行四边形?请写出计算过程；当时，的面积是否总为定值?若是，求出此定值，若不是，请说明理由；当为何值时，为等腰三角形?请写出解答过程.【解析】 ，令，得，或，；在中，令，得，即；由于，故点的纵坐标为，由，得或即，且易求出顶点坐标为，于是，顶点坐标为若四边形为平行四边形，由于故只要即可，而，故，得；设点运动秒，则，说明在线段上，且不与点、重合，由于知，
14、故，又点到直线的距离，于是的面积总为由知，构造直角三角形后易得，若，即，故，若，即，无的满足条件；若，即，得，或都不满足，故无的满足方程；综上所述：当时，是等腰三角形【练习5】 如图，抛物线与轴分别相交于点、，它的顶点为，连接，把所在的直线沿轴向上平移，使它经过原点，得到直线，设是直线上一动点.求点的坐标；以点、为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点的坐标；设以点、为顶点的四边形的面积为，点的横坐标为，当时，求的取值范围. 【解析】 由，知点的坐标为 如图2，菱形的顶点的坐标为如图3，等腰梯形的顶点的坐标为如图4，直角梯形的顶点的坐标为，直角梯形的顶点
15、的坐标为 直线的解析式为，那么点的坐标可表示为的面积 当在轴上方时，解不等式组，得 当在轴下方时，与是同底等高的三角形，面积相等因此解不等式组，得 综上所述，的取值范围.是或课后测【测试1】点在轴的负半轴上，.将绕坐标原点顺时针旋转，得到，再继续旋转，得到.抛物线经过、两点. 求抛物线的解析式； 点是否在此抛物线上，请说明理由； 在该抛物线上找一点，使得是以为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标； 在该抛物线上，是否存在两点、，使得原点是线段中点，若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】 过点作于点，又，抛物线经过、两点， 解得抛物线的解析式为 当时，点不在此抛物线上
16、 点应在线段的垂直平分线上，由题意可知，且平分，点在直线上可求得所在直线的解析式为又点是直线与抛物线的交点，由，解得，符合条件的点有两个，即点和 存在和第十七种品格：成就消除自身压力，给成功留点空间加拿大魁北克有一条南北走向的山谷。山谷没有什么特别之处，唯一能引人注意的是它的西坡长满松、柏、女贞等树，而东坡却只有雪松。这一奇异景色之谜，许多人不知所以，然而揭开这个谜的，竟是一对夫妇。 那是1993年的冬天，这对夫妇的婚姻正濒于破裂的边缘，为了找回昔日的爱情，他们打算做一次浪漫之旅，如果能找回就继续生活，否则就友好分手。他们来到这个山谷的时候，下起了大雪，他们支起帐篷，望着满天飞舞的大雪，发现由于特殊的风向，东坡的雪总比西坡的大且密。不一会儿，雪松上就落了厚厚的一层雪。不过当雪积到一定程度，雪松那富有弹性的枝丫就会向下弯曲，直到雪从枝上滑落。这样反复地积，反复地积，反复地弯，反复地落，雪松完好无损。可其它的树，却因没有这个本领，树枝被压断了。妻子发现了这一景观，对丈夫说：“东坡肯定也长过杂树，只是不会弯曲才被大雪摧毁了。”少顷，两人突然明白了什么，拥抱在一起。 生活中我们承受着来自各方面的压力，积累着终将让我们难以承受。这时候，我们需要象雪松那样弯下身来。释下重负，才能够重新挺立，避免压断的结局。弯曲，并不是低头或失败，而是一种弹性的生存方式，是一种生活的艺术。今天我学到了 17
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