1、专题六二次函数综合题类型一 代数问题 (2019安徽)一次函数ykx4与二次函数yax2c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点(1)求k，a，c的值；(2)过点A(0，m)(0m4)且垂直于y轴的直线与二次函数yax2c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记WOA2BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值【分析】 (1)把(1，2)分别代入ykx4和yax2c，得k42和ac2，然后求出二次函数图象的顶点坐标为(0，4)，可得c4，然后计算得到a的值；(2)由A(0，m)(0m4)可得OAm，令y2x24m，求出B，C坐标，进而表示出BC长度，将OA，B
2、C代入WOA2BC2中得到W关于m的函数解析式，求出最小值即可【自主解答】 1(2019长春)已知函数(1)当n5，点P(4，b)在此函数图象上，求b的值；求此函数的最大值(2)已知线段AB的两个端点坐标分别为A(2，2)、B(4，2)，当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围(3)当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围2(2014安徽)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；(2)已知关于x的二次函数y12x24mx2m21和y2ax2bx5，其中y1的图象经过点A(1，1)
3、若y1y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0x3时，y2的最大值3(2019陕西)在平面直角坐标系中，已知抛物线L：yax2(ca)xc经过点A(3，0)和点B(0，6)，L关于原点O对称的抛物线为L.(1)求抛物线L的表达式；(2)点P在抛物线L上，且位于第一象限，过点P作PDy轴，垂足为D.若POD与AOB相似，求符合条件的点P的坐标4(2019广州)已知抛物线G：ymx22mx3有最低点(1)求二次函数ymx22mx3的最小值(用含m的式子表示)；(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一
4、个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)记(2)所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围5(2019长沙)已知抛物线y2x2(b2)x(c2 020)(b，c为常数)(1)若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b，c的值；(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；(3)在(1)的条件下，存在正实数m，n(mn)，当mxn时，恰好，求m，n的值类型二 几何问题 (2018泰州)在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx22mxm22m2的图象与x轴有两个交点(1)当m2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；(2)过点
5、P(0，m1)作直线ly轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间(不包含点A在直线l上)，求m的范围；(3)在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求ABO的面积最大时m的值【分析】(1)先将m2代入，得出函数解析式，再列一元二次方程即可求解；(2)先对函数图象的大概位置有个初步的认识，结合题干中的条件“图象与x轴有两个交点”得抛物线的顶点在x轴的下方，且在直线l上方，这样可以根据点A的纵坐标列不等式组求解；(3)在(2)的基础上进一步明确抛物线的顶点A在第三象限，用含m的代数式表示出ABO的底AB和高，就可以列出其面积关于m的函数关系式，从而利用二次函数的最值解决问题【
6、自主解答】1如图，二次函数yx22xm的图象与x轴的一个交点为B(1，0)，另一个交点为A，且与y轴交于点C.(1)求m的值；(2)求直线AC的函数表达式；(3)该二次函数的图象上有点D(x，y)(不与点C重合)，使SABDSABC，求点D坐标2(2019合肥包河区一模)如图，抛物线yax2bx3经过点A(1，0)、B(4，0)，E是线段OB上一动点(点E不与O、B重合)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点D，交线段BC于点G，过点D作DFBC，垂足为点F.(1)求该抛物线的解析式；(2)试求线段DF的长h关于点E的横坐标x的函数解析式，并求出h的最大值3(2019甘肃)如图，已知二次函数yx2b
7、xc的图象与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求二次函数的解析式；(2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标4(2019本溪)抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点(点P不与C，D重合)过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)当PCF的面积为5时，求点P的
8、坐标；(3)当PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 解：(1)由题意得，k42，解得k2，则一次函数解析式为：y2x4.又二次函数顶点横坐标为0，顶点坐标为(0，4)c4.把(1，2)代入二次函数表达式得ac2，解得a2.(2)由(1)得二次函数解析式为y2x24，令ym，得2x2m40.x，设B，C两点的坐标分别为(x1，m)(x2，m)，则|x1|x2|2，WOA2BC2m24m22m8(m1)27.当m1时，W取得最小值7.跟踪训练1解：(1)当n5时，y，将P(4，b)代入yx2x，得b；当x5时，当x5时有最大值为5；当x5时，当x时有最大
9、值为，函数的最大值为；(2)将点(4，2)代入yx2nxn中，得n，当n4时，图象与线段AB只有一个交点，将点(2，2)代入yx2nxn中，得n2，将点(2，2)代入yx2x中，n，2n时图象与线段AB只有一个交点；综上所述：n4或2n4，n8，当x时，y，4，n，当xn时，yn2n2nn，n8或n0)，则y2k(x1)21y1(k2)(x1)2.由题意可知函数y2的图象经过点(0，5)，则(k2)(1)25.k25.y25(x1)25x210x5.根据y2的函数图象性质可知：当0x1时，y随x的增大而减小；当12 020.(3)由(1)可知抛物线y2x24x12(x1)21，y1，0mn，当
10、mxn时，恰好，y，1，即m1，1m1，2n22n10，解得n1(舍去)，n2.同理，由得到：(m1)(2m22m1)0，1mn，2m22m10，解得m11，m2(舍去)，m3(舍去)综上所述，m1，n.类型二【例2】 (1)当m2时，函数为yx24x2，令y0，则x24x20，解得x12，x22，则函数图象与x轴交点的坐标为(2，0)，(2，0)(2)yx22mxm22m2(xm)22m2，A(m，2m2)抛物线与x轴有两个交点，且开口向上，点A在x轴下方，由题意，得解得3m1.(3)如解图，由(2)知，抛物线对称轴为直线xm，顶点为A(m，2m2)，3m1，A在第三象限B为抛物线对称轴与l
11、的交点，B(m，m1)且点m在点A下方AB2m2(m1)m3.SABO(m)(m3)(m)2.当m时，SABO最大.综上所述，ABO的面积最大时m的值为.跟踪训练1解：(1)将点B(1，0)代入yx22xm，得：12m0，m3，即m的值为3.(2)由(1)知，抛物线的表达式为yx22x3，当y0时，x22x30，解得x11，x23.则A(3，0)，B(1，0)设直线AC的解析式为ykxb，有：解得故直线AC：yx3.(3)以AB为底，若SABDSABC，则点C，D到直线AB的距离相等D(x，y)，则y3，代入抛物线的表达式中，有：y3时，x22x33，解得x10，x22，D1(2，3)；y3时
12、，x22x33，解得x31，x41，D2(1，3)，D3(1，3)综上所述，点D的坐标为(2，3)，(1，3)，(1，3)2解：(1)抛物线 yax2bx3过点 A(1，0)，B (4，0)，可得解得则抛物线的解析式为yx2x3.(2)DFBC，DEAB，OCAB，OCDE，DGFOCB.sinOCBsinDGF，.DFDG.OC3，OB4，BC5，DFDG.直线BC经过点B(4，0)，C(0，3)，yBCx3.点G坐标为(x，x3)点D坐标为(x，x2x3)，DGx2x3(x3)x23x，DFh(x23x)x2x(x2)2.当x2时，h取最大值，h最大值.3解：(1)用交点式函数表达式得：y
13、(x1)(x3)x24x3；故二次函数表达式为：yx24x3；(2)当AB为平行四边形一条边时，如解图1，解图1则ABPF2，则点P坐标为(4，3)，当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P(4，3)或(0，3)；当AB是平行四边形的对角线时，如图2，解图2AB中点坐标为(2，0)设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点横坐标为：，即：2，解得：m2，故点P(2，1)；故：点P(4，3)或(0，3)或(2，1)；(3)直线BC的表达式为yx3，解图3设点E坐标为(x，x24x3)，则点D(x，x3)，S四边形AEBDAB(yDyE)x3x24
14、x3x23x，10，故四边形AEBD面积有最大值，当x，其最大值为，此时点E(，)4解：(1)函数的表达式为：y(x1)(x5)x2x；(2)抛物线的对称轴为x2，则点C(2，2)，设点P(2，m)，一次函数解析式为ysxt，将点P、B的坐标代入一次函数表达式：ysxt可求解得函数PB的表达式为：ymx，CEPE，直线CE表达式中的k值为，将点C的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE的表达式为：yx(2)，将y0代入并解得：x2，故点F(2，0)，SPCFPCDF(2m)(22)5，解得：m5或3(舍去5)，故点P(2，3)；(3)由(2)确定点F的坐标得：(2，0)，CP2(2m)2，CF2()24，PF2()2m2，当CPCF时，即：(2m)2()24，解得：m0或(0舍去)，当CPPF时，(2m)2()2m2，解得：m或9，当CFPF时，同理可得：m2(舍去2)，故点P(2，)或(2，)或(2，2)或(2，)
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