1、2018-2019学年陕西省渭南市合阳县高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）已知an为等差数列，a34，a5+a79，则a9（）A4B5C6D72（5分）命题“x0，总有exx+1”的否定是（）Ax0，总有exx+1Bx0，总有exx+1CD3（5分）已知集合，则（RA）B（）A1，1B（1，1C（1，1）D1，1）4（5分）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（ab），其全程的平均时速为v，则（）AavBvCvDv5（5分）“0ab”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不是充分条件也不是必要条件6（5分）已知实数x、y满足，则2x
2、+3y+4的最大值为（）A7B13C15D177（5分）在ABC中，则BC边上的中线AD的长为（）A1BC2D8（5分）过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且|AF|3|BF|，则直线AB的斜率为（）ABCD9（5分）曲线在点（0，f（0）处的切线方程为（）Ay10Bx2y+20C2xy+10D4xy+1010（5分）在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，且A45，B120，a6，则b（）ABCD11（5分）已知双曲线的左焦点与抛物线y212x的焦点相同，则此双曲线的离心率为（）A6BCD12（5分）设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）0，当x0时，
3、xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）等比数列an中，则 14（5分）双曲线的方程，则k的取值范围是 15（5分）已知两个正实数a、b满足，并且a+2bm23m+4恒成立，则实数m的取值范围是 16（5分）函数f（x）ex3x+2的单调减区间为 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）17（10分）已知数列an的首项a11，且满足an+1（nN+）（1）求证：数列为等差数列，并求数列an的
4、通项公式；（2）记bn，求数列bn的前项和为Tn18（12分）已知函数f（x）x3+ax2+bx+2（a，bR）的图象在点M（1，f（1）处的切线方程为12x+y30（1）求a、b的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求f（x）在2，4的最值19（12分）在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（1）求角B的大小；（2）若，且ABC的面积为，求的值20（12分）设点O为坐标原点，抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，若|AB|8，求：（1）抛物线C的标准方程；（2）AOB的面积21（12分）已知函数（）若曲线yf（x）在点P（
5、1，f（1）处的切线与直线yx+2垂直，求函数yf（x）的单调区间；（）若对于x（0，+）都有f（x）2（a1）成立，试求a的取值范围；（）记g（x）f（x）+xb（bR）当a1时，函数g（x）在区间e1，e上有两个零点，求实数b的取值范围22（12分）已知椭圆C：过点A，且离心率为，过点M（3，0）作直线l交椭圆C于P、Q两点（1）求椭圆C的方程，并求出直线l的斜率的取值范围；（2）椭圆C的长轴上是否存在定点N（n，0），使得PNMQNA恒成立？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由2018-2019学年陕西省渭南市合阳县高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5
6、分，共60分）1（5分）已知an为等差数列，a34，a5+a79，则a9（）A4B5C6D7【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果【解答】解：an为等差数列，a34，a5+a79，解得，d，a9a1+8d5故选：B【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）命题“x0，总有exx+1”的否定是（）Ax0，总有exx+1Bx0，总有exx+1CD【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【解答】解：命题为全称命题，则命题“x0，总有exx+1”的否定是：x00，ex0x0+1，故选：D【点评】本题
7、主要考查含有量词的命题的否定，比较基础3（5分）已知集合，则（RA）B（）A1，1B（1，1C（1，1）D1，1）【分析】Ax|x1或x3，RA1，3，B2，13，+），（RA）B1，1【解答】解：由0得x1或x3，所以Ax|x1或x3，RA1，3），B2，13，+），（RA）B1，1故选：A【点评】本题考查了交，并，补集的混合运算，属基础题4（5分）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（ab），其全程的平均时速为v，则（）AavBvCvDv【分析】设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v及0ab，利用基本不等式及作差法可比较大小【解答】解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和
8、b，行驶的路程S则v0aba+b0vava综上可得，故选：A【点评】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，比较法中的比差法在比较大小中的应用5（5分）“0ab”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不是充分条件也不是必要条件【分析】根据底数大于0小于1的指数函数在R上为减函数，先判断“0ab”“”的真假，与“”“0ab”的真假，然后根据充要条件的定义得到结论【解答】解：当“0ab”时，“”成立，故“0ab”是“”的充分条件；当“”时，“ab”成立，但“0ab”不一定成立，故“0ab”是“”的不必要条件故“0ab”是“”充分不必要条件故选：A【点评】本题考查的知识点是充
9、要条件的定义及指数函数的单调性，其中根据指数函数的单调性，判断“0ab”“”的真假，与“”“0ab”的真假，是解答本题的关键6（5分）已知实数x、y满足，则2x+3y+4的最大值为（）A7B13C15D17【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出实数x、y满足对应的平面区域（阴影部分）由z2x+3y+4，得yx+，平移直线yx+，由图象可知当直线yx+经过点A时，直线yx+的截距最大，此时z最大由，解得A（3，1）此时z的最大值为z2331+47，故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键7（
10、5分）在ABC中，则BC边上的中线AD的长为（）A1BC2D【分析】由余弦定理可得：AC2AB2+BC22ABBCcosBAB3，在ABD中，由余弦定理可得：AD2AB2+BD22ABBDcosB7，即可【解答】解：由余弦定理可得：AC2AB2+BC22ABBCcosBAB22AB30AB3 在ABD中，由余弦定理可得：AD2AB2+BD22ABBDcosB7，故选：D【点评】本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于基础题8（5分）过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且|AF|3|BF|，则直线AB的斜率为（）ABCD【分析】当点A在第一象限，通过抛物线定义及|A
11、F|3|BF|可知B为CE中点，通过勾股定理可知|AC|，|BC|的关系，进而计算可得结论【解答】解：如图，当点A在第一象限时过A、B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D、E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形由抛物线定义可知|AD|AF|，|BE|BF|，又|AF|3|BF|3m，|AD|CE|3m，|AB|4m，在RtABC中，|BC|2m，ABC60直线l的斜率为；当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为故选：D【点评】本题考查抛物线的简单性质，注意数形结合、抛物线定义的应用，属于中档题9（5分）曲线在点（0，f（0）处的切线方程为（）Ay10Bx2y+20C2xy+
12、10D4xy+10【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x0时的导数，然后由直线方程的斜截式得答案【解答】解：由，得f（x）cosx+，f（0）1，f（0）2，则曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程是y2x+1，即2xy+10故选：C【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题10（5分）在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，且A45，B120，a6，则b（）ABCD【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解【解答】解：A45，B120，a6，由正弦定理，可得：b3故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角
13、形中的应用，属于基础题11（5分）已知双曲线的左焦点与抛物线y212x的焦点相同，则此双曲线的离心率为（）A6BCD【分析】确定抛物线的焦点坐标，从而可得双曲线的几何量，由此可求双曲线的离心率【解答】解：抛物线y212x的焦点坐标为（3，0）双曲线的左焦点与抛物线y212x的焦点相同，c3，m+59m4双曲线的离心率为故选：B【点评】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题12（5分）设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1
14、，0）D（0，1）（1，+）【分析】由已知当x0时总有xf（x）f（x）0成立，可判断函数g（x）为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（，0）（0，+）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）0等价于xg（x）0，数形结合解不等式组即可【解答】解：设g（x），则g（x）的导数为：g（x），当x0时总有xf（x）f（x）成立，即当x0时，g（x）恒小于0，当x0时，函数g（x）为减函数，又g（x）g（x），函数g（x）为定义域上的偶函数又g（1）0，函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）0xg
15、（x）0或，0x1或x1故选：A【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）等比数列an中，则【分析】根据等比数列的通项公式求出公比q2，再代入计算即可【解答】解：由，即q38，q2，故答案为：【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题14（5分）双曲线的方程，则k的取值范围是k4或k2【分析】分别讨论双曲线的焦点在x，y轴上，可得k的不等式组，解不等式可得所求范围【解答】解：双曲线的方程为，若焦点在x轴上，可得4k0，k20，解得k2；若焦点在y轴上，可得4k0，k20，解得
16、k4综上可得k的范围是k4或k2故答案为：k4或k2【点评】本题考查双曲线的方程，注意运用分类讨论思想方法，考查不等式的解法，属于基础题15（5分）已知两个正实数a、b满足，并且a+2bm23m+4恒成立，则实数m的取值范围是1，2【分析】将代数式a+2b与代数式相乘，利用基本不等式可求出a+2b的最小值，然后由题意得出m23m+4（a+2b）min，解出不等式即可得出m的取值范围【解答】解：，由基本不等式可得，即a+2b2当且仅当时，等号成立，由于a+2bm23m+4恒成立，所以，m23m+42，整理得m23m+20，解得1m2因此，实数m的取值范围为1，2故答案为：1，2【点评】本题考查利
17、用基本不等式求最值，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题16（5分）函数f（x）ex3x+2的单调减区间为（，ln3）【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于0求解指数不等式得答案【解答】解：由f（x）ex3x+2，得f（x）ex3，由f（x）ex30，得xln3函数f（x）ex3x+2的单调减区间为（，ln3）故答案为：（，ln3）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查指数不等式的解法，是基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）17（10分）已知数列an的首项a11，且满足an+1（nN+）（1）求证：数列为等差数列，并
18、求数列an的通项公式；（2）记bn，求数列bn的前项和为Tn【分析】（1）由an+1，得2+，由此可判断为等差数列，可求，进而得到an（2）求出bn，利用错位相减法可求Tn【解答】解：（1）由an+1，得2+，又1，为等差数列，首项为1，公差为2，1+（n1）22n1，（2）bn（2n1）2n，Tn12+322+523+（2n1）2n，2Tn122+323+523+（2n1）2n+1，得，Tn12+222+223+22n（2n1）2n+12+23+24+2n+1（2n1）2n+12+（2n1）2n+1（32n）2n+16，【点评】该题考查等差数列的性质、数列求和等知识，考查学生的运算求解能力、
19、转化能力，错位相减法是数列求和的重要方法，要熟练18（12分）已知函数f（x）x3+ax2+bx+2（a，bR）的图象在点M（1，f（1）处的切线方程为12x+y30（1）求a、b的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求f（x）在2，4的最值【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a，b的方程组，解方程可得a，b；（2）求得f（x）的导数，令导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（3）求得f（x）的极值和端点处的函数值，即可得到所求最值【解答】解：（1）函数f（x）x3+ax2+bx+2的导数为f（x）3x2+2ax+b，图象在点M（1，f（1）处的切线
20、方程为12x+y30，可得3+2a+b12，3+a+b9，解得a3，b9；（2）由f（x）x33x29x+2的导数为f（x）3x26x9，可令f（x）0，可得x3或x1；f（x）0，可得1x3，则增区间为（，1），（3，+），减区间为（1，3）；（3）由f（x）0，可得x1，或x3，则f（1）7，f（3）25，f（2）0，f（4）18，可得f（x）在2，4的最小值为25，最大值为7【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查化简运算能力，属于中档题19（12分）在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（1）求角B的大小；（2）若，且ABC的面积为，求的值【分析
21、】（1）由已知利用诱导公式，两角和差的余弦公式，求得tanB的值，可得B的值（2）由ABC的面积为，可得ac6由余弦定理可得：b2a2+c22accosBa2+c213即可求解【解答】解：（1）由已知得cos（A+B）+cosAcosBsinAcosB0，即有sinAsinBsinAcosB0，因为sinA0，所以sinBcosB0，又cosB0，所以tanB，又0B，所以B（2）ABC的面积为，ac6由余弦定理可得：b2a2+c22accosBa2+c213【点评】本题主要考查诱导公式，两角和差的余弦公式，正弦定理的应用，属于中档题20（12分）设点O为坐标原点，抛物线C：y22px（p0）
22、的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，若|AB|8，求：（1）抛物线C的标准方程；（2）AOB的面积【分析】（1）由题可知直线AB的方程为：yx，代入y22px 化简，利用韦达定理以及抛物线的定义、|AB|8求得p的值，可得抛物线的方程（2）联立直线与抛物线方程，利用面积公式即可求解【解答】解：（1）由题可知F（，0），则该直线AB的方程为：yx，代入y22px，化简可得x23px+0设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x23p|AB|8，有x1+x2+p8，解得p2，抛物线的方程为：y24x（2）可得直线AB的方程为：yx1联立可得y24y40，y1+y24
23、，y1y24AOB的面积S2【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题21（12分）已知函数（）若曲线yf（x）在点P（1，f（1）处的切线与直线yx+2垂直，求函数yf（x）的单调区间；（）若对于x（0，+）都有f（x）2（a1）成立，试求a的取值范围；（）记g（x）f（x）+xb（bR）当a1时，函数g（x）在区间e1，e上有两个零点，求实数b的取值范围【分析】（） 求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，求出导数小于0的区间即为函数的减区间（） 根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）2（a1）恒成立，需使函数的最小值大于2（
24、a1），从而求得a的取值范围（）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间e1，e上有两个零点，得到， 解出实数b的取值范围【解答】解：（）直线yx+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+），因为，所以，所以，a1所以， 由f（x）0解得x2；由f（x）0，解得 0x2所以f（x）的单调增区间是（2，+），单调减区间是（0，2）（） ，由f（x）0解得 ； 由f（x）0解得 所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减所以，当时，函数f（x）取得最小值，因为对于x（0，+）都有f（x）2（a1）成立，所以，即可 则 由解得 所以，a的取值范围是 （） 依题得 ，则 由g（x
25、）0解得 x1； 由g（x）0解得 0x1所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+）为增函数又因为函数g（x）在区间e1，e上有两个零点，所以，解得 所以，b的取值范围是【点评】本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值22（12分）已知椭圆C：过点A，且离心率为，过点M（3，0）作直线l交椭圆C于P、Q两点（1）求椭圆C的方程，并求出直线l的斜率的取值范围；（2）椭圆C的长轴上是否存在定点N（n，0），使得PNMQNA恒成立？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）由题意可得，解得即可求出椭圆方程，设直线l的方程为：yk（x
26、+3），联立椭圆方程，运用判别式大于0，解不等式即可得到所求范围；（2）假设存在定点N（n，0），使得PNMQNA恒成立，即kPN+kQN0恒成立运用直线的斜率公式，化简整理，结合韦达定理，即可得出结论【解答】解：（1）由题意可得，解得a2，b1，c，椭圆C的方程+y21，设直线l的斜率为k，则直线的方程为yk（x+3），代入椭圆方程+y21，整理可得（1+4k2）x2+24k2x+36k240，由0，解得k，（2）假设存在定点N（n，0），使得PNMQNA恒成立，即kPN+kQN0恒成立设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由（1）知x1+x2，x1x2，由kPN+kQN+，得n，故存在定点N（，0）【点评】本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题
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